Fração contínua - Continued fraction

Uma fração contínua regular finita, onde é um inteiro não negativo, é um inteiro e é um inteiro positivo, para .

Em matemática , uma fração contínua é uma expressão obtida por meio de um processo iterativo de representar um número como a soma de sua parte inteira e o recíproco de outro número, em seguida, escrever esse outro número como a soma de sua parte inteira e outro recíproco, e assim sobre. Em uma fração contínua finita (ou fração contínua encerrada ), a iteração / recursão é encerrada após um número finito de etapas, usando um número inteiro no lugar de outra fração contínua. Em contraste, uma fração contínua infinita é uma expressão infinita . Em qualquer caso, todos os inteiros na sequência, exceto o primeiro, devem ser positivos . Os inteiros são chamados de coeficientes ou termos da fração contínua.

É geralmente assumido que o numerador de todas as frações é 1. Se valores e / ou funções arbitrárias forem usados ​​no lugar de um ou mais numeradores ou inteiros nos denominadores, a expressão resultante é uma fração contínua generalizada . Quando é necessário distinguir a primeira forma das frações continuadas generalizadas, a primeira pode ser chamada de fração contínua simples ou regular , ou considerada em forma canônica .

As frações contínuas têm várias propriedades notáveis ​​relacionadas ao algoritmo euclidiano para números inteiros ou reais . Cada número racional /tem duas expressões intimamente relacionadas como uma fração contínua finita, cujos coeficientes a i podem ser determinados aplicando o algoritmo Euclidiano a . O valor numérico de uma fração contínua infinita é irracional ; ele é definido a partir de sua sequência infinita de inteiros como o limite de uma sequência de valores para frações contínuas finitas. Cada fração contínua finita da sequência é obtida usando um prefixo finito da sequência de números inteiros que define a fração contínua infinita. Além disso, todo número irracional é o valor de uma fração contínua regular infinita única , cujos coeficientes podem ser encontrados usando a versão não terminante do algoritmo euclidiano aplicado aos valores incomensuráveis e 1. Esta forma de expressar números reais (racional e irracional) é chamada de representação de fração contínua .

O termo fração contínua também pode se referir a representações de funções racionais , surgidas em sua teoria analítica . Para este uso do termo, veja aproximação de Padé e funções racionais de Chebyshev .

Motivação e notação

Considere, por exemplo, o número racional 415/93, que é cerca de 4,4624. Como uma primeira aproximação , comece com 4, que é a parte inteira ;415/93 = 4 + 43/93. A parte fracionária é a recíproca de93/43que é cerca de 2,1628. Use a parte inteira, 2, como uma aproximação para o recíproco para obter uma segunda aproximação de 4 +1/2 = 4,5; 93/43 = 2 + 7/43. A parte fracionária restante,7/43, é o recíproco de 43/7, e 43/7é cerca de 6,1429. Use 6 como uma aproximação para obter 2 +1/6 como uma aproximação para 93/43e 4 +1/2 + 1/6, cerca de 4,4615, como a terceira aproximação; 43/7 = 6 + 1/7. Finalmente, a parte fracionária,1/7, é o recíproco de 7, então sua aproximação neste esquema, 7, é exata (7/1 = 7 + 0/1) e produz a expressão exata 4 +1/2 + 1/6 + 1/7 para 415/93.

A expressão 4 +1/2 + 1/6 + 1/7 é chamada de representação de fração contínua de 415/93. Isso pode ser representado pela notação abreviada415/93= [4; 2, 6, 7]. (É comum substituir apenas a primeira vírgula por um ponto-e-vírgula.) Alguns livros-texto mais antigos usam todas as vírgulas no ( n + 1) -tuplo, por exemplo, [4, 2, 6, 7].

Se o número inicial for racional, então este processo é exatamente paralelo ao algoritmo euclidiano aplicado ao numerador e denominador do número. Em particular, ele deve terminar e produzir uma representação finita de fração contínua do número. A seqüência de inteiros que ocorre nesta representação é a seqüência de quocientes sucessivos calculados pelo algoritmo Euclidiano. Se o número inicial for irracional , o processo continua indefinidamente. Isso produz uma sequência de aproximações, todas elas números racionais e que convergem para o número inicial como um limite. Esta é a representação contínua (infinita) da fração do número. Exemplos de representações de fração contínua de números irracionais são:

  • 19 = [4; 2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8, ...] (sequência A010124 no OEIS ). O padrão se repete indefinidamente com um período de 6.
  • e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, ...](sequência A003417 noOEIS). O padrão se repete indefinidamente com um período de 3, exceto que 2 é adicionado a um dos termos em cada ciclo.
  • π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1, ...] (sequência A001203 no OEIS ). Nenhum padrão foi encontrado nesta representação.
  • ϕ = [1; 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, ...] (sequência A000012 no OEIS ). A proporção áurea , o número irracional que é o "mais difícil" de se aproximar racionalmente. Veja: Uma propriedade da proporção áurea φ .

Frações contínuas são, de certa forma, representações mais "matematicamente naturais" de um número real do que outras representações, como representações decimais , e têm várias propriedades desejáveis:

  • A representação contínua da fração de um número racional é finita e apenas os números racionais têm representações finitas. Em contraste, a representação decimal de um número racional pode ser finita, por exemplo137/1600= 0,085625 , ou infinito com um ciclo de repetição, por exemplo4/27 = 0,148148148148 ...
  • Cada número racional tem uma representação de fração contínua simples essencialmente única. Cada racional pode ser representado exatamente de duas maneiras, uma vez que [ a 0 ; a 1 , ... a n −1 , a n ] = [ a 0 ; a 1 , ... a n −1 , ( a n −1), 1] . Normalmente, o primeiro, mais curto, é escolhido como a representação canônica .
  • A representação simples e contínua da fração de um número irracional é única. (No entanto, representações adicionais são possíveis ao usar frações continuadas generalizadas ; veja abaixo.)
  • Os números reais cuja fração contínua eventualmente se repete são precisamente os irracionais quadráticos . Por exemplo, a fração contínua de repetição [1; 1,1,1, ...] é a proporção áurea , e a fração contínua de repetição [1; 2,2,2, ...] é a raiz quadrada de 2 . Em contraste, as representações decimais de irracionais quadráticos são aparentemente aleatórias . As raízes quadradas de todos os inteiros (positivos), que não são quadrados perfeitos, são irracionais quadráticos, portanto, são frações contínuas periódicas únicas.
  • As sucessivas aproximações geradas para encontrar a representação continuada da fração de um número, isto é, truncando a representação continuada da fração, são em certo sentido (descrito abaixo) o "melhor possível".

Fórmula básica

Uma fração contínua é uma expressão da forma

onde a i e b i podem ser quaisquer números complexos. Normalmente, eles precisam ser inteiros. Se b i = 1 para todo i, a expressão é chamada de fração contínua simples . Se a expressão contém um número finito de termos, ela é chamada de fração contínua finita . Se a expressão contém infinitos termos, é chamada de fração contínua infinita .

Assim, todos os itens a seguir ilustram frações contínuas simples finitas válidas:

Exemplos de frações contínuas simples finitas
Fórmula Numérico Observações
Todos os inteiros são um caso degenerado
Forma fracionária mais simples possível
O primeiro inteiro pode ser negativo
O primeiro inteiro pode ser zero

Para frações contínuas simples do formulário

o termo também pode ser calculado usando as seguintes fórmulas recursivas:

onde e

A partir do qual pode ser entendido que a seqüência pára se .

Calculando representações de fração contínua

Considere um número real r . Seja a parte inteira de r e seja a parte fracionária de r . Então a representação da fração contínua de r é , onde é a representação da fração contínua de .

Para calcular uma representação contínua da fração de um número r , escreva a parte inteira (tecnicamente o piso ) de r . Subtraia esta parte inteira de r . Se a diferença for 0, pare; caso contrário, encontre o recíproco da diferença e repita. O procedimento será interrompido se e somente se r for racional. Este processo pode ser implementado de forma eficiente usando o algoritmo euclidiano quando o número é racional. A tabela abaixo mostra uma implementação desse procedimento para o número 3.245, resultando na expansão contínua da fração [3; 4,12,4].

Encontre a fração contínua simples para
Etapa
Número real

Parte inteira

Parte fracionária
Simplificado Recíproca
de f
1
2
3
4 PARE
Forma de fração contínua para

= 3 +1/4 + 1/12 + 1/4

Notações

Os inteiros , etc., são chamados de coeficientes ou termos da fração contínua. Pode-se abreviar a fração contínua

na notação de Carl Friedrich Gauss

ou como

,

ou na notação de Pringsheim como

ou em outra notação relacionada como

Às vezes, colchetes angulares são usados, como este:

O ponto-e-vírgula nas notações de colchetes angulares às vezes é substituído por uma vírgula.

Pode-se também definir infinitas frações contínuas simples como limites :

Este limite existe para qualquer escolha de inteiros positivos

Frações contínuas finitas

Cada fração contínua finita representa um número racional , e cada número racional pode ser representado precisamente de duas maneiras diferentes como uma fração contínua finita, com as condições de que o primeiro coeficiente é um inteiro e os outros coeficientes são inteiros positivos. Essas duas representações concordam, exceto em seus termos finais. Na representação mais longa, o termo final na fração continuada é 1; a representação mais curta diminui o 1 final, mas aumenta o novo termo final em 1. O elemento final na representação curta é, portanto, sempre maior do que 1, se presente. Em símbolos:

[ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n , 1] = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n + 1] .
[ a 0 ; 1] = [ a 0 + 1] .

Recíprocos

As representações continuadas da fração de um número racional positivo e seu recíproco são idênticas, exceto por um deslocamento de uma casa para a esquerda ou para a direita, dependendo se o número é menor ou maior do que um, respectivamente. Em outras palavras, os números representados por e são recíprocos.

Por exemplo, se for um inteiro e então

e .

Se então

e .

O último número que gera o restante da fração contínua é o mesmo para ambos e seu recíproco.

Por exemplo,

e .

Frações e convergentes contínuos infinitos

Cada fração contínua infinita é irracional , e cada número irracional pode ser representado precisamente de uma maneira como uma fração contínua infinita.

Uma representação de fração contínua infinita para um número irracional é útil porque seus segmentos iniciais fornecem aproximações racionais para o número. Esses números racionais são chamados de convergentes da fração contínua. Quanto maior é um termo na fração contínua, mais próximo o convergente correspondente está do número irracional sendo aproximado. Números como π têm termos grandes ocasionais em sua fração contínua, o que os torna fáceis de aproximar com números racionais. Outros números como e têm apenas pequenos termos no início de sua fração contínua, o que os torna mais difíceis de aproximar racionalmente. A proporção áurea ϕ tem termos iguais a 1 em todos os lugares - os menores valores possíveis - o que torna ϕ o número mais difícil de ser aproximado racionalmente. Nesse sentido, portanto, é o "mais irracional" de todos os números irracionais. Convergentes pares são menores que o número original, enquanto os ímpares são maiores.

Para uma fração contínua [ a 0 ; a 1 , a 2 , ...] , os primeiros quatro convergentes (numerados de 0 a 3) são

a 0/1, a 1 a 0 + 1/a 1, a 2 ( a 1 a 0 + 1) + a 0/a 2 a 1 + 1, a 3 ( a 2 ( a 1 a 0 + 1) + a 0 ) + ( a 1 a 0 + 1)/ a 3 ( a 2 a 1 + 1) + a 1.

O numerador do terceiro convergente é formado pela multiplicação do numerador do segundo convergente pelo terceiro coeficiente e pela adição do numerador do primeiro convergente. Os denominadores são formados de forma semelhante. Portanto, cada convergente pode ser expresso explicitamente em termos da fração contínua como a razão de certos polinômios multivariados chamados contínuos .

Se convergentes sucessivos forem encontrados, com numeradores h 1 , h 2 , ... e denominadores k 1 , k 2 , ... então a relação recursiva relevante é:

h n = a n h n - 1 + h n - 2 ,
k n = a n k n - 1 + k n - 2 .

Os sucessivos convergentes são dados pela fórmula

h n/k n = a n h n - 1 + h n - 2/a n k n - 1 + k n - 2.

Assim, para incorporar um novo termo em uma aproximação racional, apenas os dois convergentes anteriores são necessários. Os "convergentes" iniciais (necessários para os dois primeiros termos) são 01 e 10 . Por exemplo, aqui estão os convergentes para [0; 1,5,2,2].

n -2 -1 0 1 2 3 4
um n     0 1 5 2 2
h n 0 1 0 1 5 11 27
k n 1 0 1 1 6 13 32

Ao usar o método babilônico para gerar aproximações sucessivas para a raiz quadrada de um inteiro, se começarmos com o menor inteiro como primeiro aproximador, todos os racionais gerados aparecerão na lista de convergentes para a fração contínua. Especificamente, os aproximados aparecerão na lista de convergentes nas posições 0, 1, 3, 7, 15, ...,  2 k −1 , ... Por exemplo, a expansão contínua da fração para 3 é [1; 1, 2,1,2,1,2,1,2, ...]. Comparando os convergentes com os aproximados derivados do método babilônico:

n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
um n     1 1 2 1 2 1 2 1
h n 0 1 1 2 5 7 19 26 71 97
k n 1 0 1 1 3 4 11 15 41 56
x 0 = 1 =1/1
x 1 =1/2(1 + 3/1) = 2/1 = 2
x 2 =1/2(2 + 3/2) = 7/4
x 3 =1/2(7/4 + 3/7/4) = 97/56

Propriedades

Um espaço de Baire é um espaço topológico em sequências infinitas de números naturais. A fração contínua infinita fornece um homeomorfismo do espaço de Baire para o espaço dos números reais irracionais (com a topologia de subespaço herdada da topologia usual nos reais). A fração contínua infinita também fornece um mapa entre os irracionais quadráticos e os racionais diádicos , e de outros irracionais para o conjunto de cadeias infinitas de números binários (isto é, o conjunto de Cantor ); este mapa é chamado de função de ponto de interrogação de Minkowski . O mapeamento tem propriedades fractais auto-semelhantes interessantes ; estes são dados pelo grupo modular , que é o subgrupo das transformações de Möbius tendo valores inteiros na transformada. A grosso modo, os convergentes de fração contínuos podem ser considerados transformações de Möbius que atuam no semiplano superior (hiperbólico) ; isso é o que leva à auto-simetria fractal.

A distribuição de probabilidade limite dos coeficientes na expansão contínua da fração de uma variável aleatória uniformemente distribuída em (0, 1) é a distribuição de Gauss-Kuzmin .

Alguns teoremas úteis

Se , , , é uma sequência infinita de números inteiros positivos, definir as sequências e de forma recursiva:

Teorema 1. Para qualquer número real positivo

Teorema 2. Os convergentes de [ ; , , ] São dadas pela

Teorema 3. Se o ésimo convergente para uma fração contínua é / , então

Corolário 1: Cada convergente está em seus termos mais baixos (pois se e tivesse um divisor comum não trivial, ele se dividiria , o que é impossível).

Corolário 2: A diferença entre convergentes sucessivos é uma fração cujo numerador é a unidade:

Corolário 3: A fração contínua é equivalente a uma série de termos alternados:

Corolário 4: A matriz

tem determinante mais ou menos um e, portanto, pertence ao grupo das matrizes unimodulares .

Teorema 4. Cada ( th) convergente está mais próximo de um ( th) convergente subseqüente do que qualquer ( th) convergente anterior. Em símbolos, se o º convergente for considerado , então

para todos .

Corolário 1: Os convergentes pares (antes do th) aumentam continuamente, mas são sempre menores que .

Corolário 2: Os convergentes ímpares (antes do th) diminuem continuamente, mas são sempre maiores que .

Teorema 5.

Corolário 1: Um convergente está mais próximo do limite da fração contínua do que qualquer fração cujo denominador seja menor que o do convergente.

Corolário 2: Um convergente obtido ao encerrar a fração contínua logo antes de um termo grande é uma aproximação do limite da fração contínua.

Semiconvergentes

Se

são convergentes consecutivos, então quaisquer frações da forma

onde é um número inteiro tal que , são chamados de semiconvergentes , convergentes secundários ou frações intermediárias . O -és semiconvergente é igual à mediante do -ésimo e o convergente . Às vezes, o termo é entendido como significando que ser um semiconvergente exclui a possibilidade de ser um convergente (isto é, ), ao invés de que um convergente é uma espécie de semiconvergente.

Segue-se que semiconvergentes representam uma sequência monotônica de frações entre os convergentes (correspondendo a ) e (correspondendo a ). Os semiconvergentes consecutivos e satisfazem a propriedade .

Se uma aproximação racional de um número real é tal que o valor é menor do que qualquer aproximação com um denominador menor, então é uma semiconvergente da expansão contínua da fração de . O inverso não é verdade, entretanto.

Melhores aproximações racionais

Pode-se escolher definir uma melhor aproximação racional para um número real x como um número racionaln/d, d > 0 , que é mais próximo de x do que qualquer aproximação com um denominador menor ou igual. A fração contínua simples para x pode ser usada para gerar todas as melhores aproximações racionais para x aplicando estas três regras:

  1. Truncar a fração contínua e reduzir seu último termo por um valor escolhido (possivelmente zero).
  2. O prazo reduzido não pode ter menos da metade de seu valor original.
  3. Se o termo final for par, metade de seu valor só é admissível se o semiconvergente correspondente for melhor que o convergente anterior. (Veja abaixo.)

Por exemplo, 0,84375 tem fração contínua [0; 1,5,2,2]. Aqui estão todas as suas melhores aproximações racionais.

Fração contínua  [0; 1]   [0; 1,3]   [0; 1,4]   [0; 1,5]   [0; 1,5,2]   [0; 1,5,2,1]   [0; 1,5,2,2] 
Aproximação racional 1 3/4 4/5 5/6 11/13 16/19 27/32
Equivalente decimal 1 0,75 0,8 ~ 0,83333 ~ 0,84615 ~ 0,84211 0,84375
Erro + 18,519% -11,111% -5,1852% -1,2346% + 0,28490% -0,19493% 0%
Melhores aproximações racionais para π (círculo verde), e (losango azul), ϕ (oblongo rosa), (√3) / 2 (hexágono cinza), 1 / √2 (octógono vermelho) e 1 / √3 (triângulo laranja) calculados a partir de suas expansões de fração contínuas, plotados como inclinações y / x com erros de seus valores reais (traços pretos)  

O aumento estritamente monotônico nos denominadores à medida que termos adicionais são incluídos permite que um algoritmo imponha um limite, seja no tamanho do denominador ou na proximidade da aproximação.

A "meia regra" mencionada acima requer que quando a k é par, o termo a k / 2 dividido pela metade é admissível se e somente se | x - [ a 0  ; a 1 , ..., a k - 1 ] | > | x - [ a 0  ; a 1 , ..., a k - 1 , a k / 2] | Isso é equivalente a:

[ a k ; a k - 1 , ..., a 1 ]> [ a k ; a k + 1 , ...] .

Os convergentes ax são as "melhores aproximações" em um sentido muito mais forte do que o definido acima. A saber, n / d é um convergente para x se e somente se | dx - n | tem o menor valor entre as expressões análogas para todas as aproximações racionais m / c com cd ; ou seja, temos | dx - n | <| cx - m | contanto que c < d . (Observe também que | d k x - n k | → 0 como k → ∞ .)

Melhor racional dentro de um intervalo

Um racional que cai dentro do intervalo ( x ,  y ) , para 0 < x < y , pode ser encontrado com as frações contínuas para x e y . Quando tanto x como y são irracionais e

x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k - 1 , a k , a k + 1 , ...]
y = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k - 1 , b k , b k + 1 , ...]

onde x e y têm expansões de fração contínuas idênticas até um k −1 , um racional que cai dentro do intervalo ( x ,  y ) é dado pela fração contínua finita,

z ( x , y ) = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k - 1 , min ( a k , b k ) + 1]

Este racional será melhor no sentido de que nenhum outro racional em ( x ,  y ) terá um numerador ou denominador menor.

Se X é racional, terá duas representações fracção contínua que são finito , x 1 e x 2 , e de modo semelhante um racional  y terá duas representações, Y 1 e Y 2 . Os coeficientes além do último em qualquer uma dessas representações devem ser interpretados como + ∞ ; e o melhor racional será z ( x 1 ,  y 1 ) , z ( x 1 ,  y 2 ) , z ( x 2 ,  y 1 ) ou z ( x 2 ,  y 2 ) .

Por exemplo, a representação decimal 3,1416 pode ser arredondada de qualquer número no intervalo [3,14155, 3,14165) . As representações de fração continuada de 3,14155 e 3,14165 são

3,14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]
3,14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

e o melhor racional entre esses dois é

[3; 7, 16] =355/113 = 3,1415929 ....

Assim, 355/113 é o melhor número racional correspondente ao número decimal arredondado 3,1416, no sentido de que nenhum outro número racional que seria arredondado para 3,1416 terá um numerador ou denominador menor.

Intervalo para um convergente

Um número racional, que pode ser expresso como fração contínua finita de duas maneiras,

z = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k , 1] = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k + 1]

será um dos convergentes para a expansão contínua da fração de um número, se e somente se o número estiver estritamente entre

x = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k , 2] e
y = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k + 2]

Os números x e y são formadas por incrementação do último coeficiente nas duas representações para z . É o caso que x < y quando k é par, e x > y quando k é ímpar.

Por exemplo, o número 355/113 tem as representações de fração contínuas

355/113= [3; 7, 15, 1] ​​= [3; 7, 16]

e assim 355/113 é um convergente de qualquer número estritamente entre

[3; 7, 15, 2] = 688/219 ≈ 3,1415525
[3; 7, 17] = 377/120 ≈ 3,1416667

Comparação

Considere x = [ a 0 ; a 1 , ...] e y = [ b 0 ; b 1 , ...] . Se k é o menor índice para que um k é diferente de b k então x < y se (-1) k ( um k - b k ) <0 e y < x contrário.

Se não houver tal k , mas uma expansão for mais curta que a outra, diga x = [ a 0 ; a 1 , ..., a n ] e y = [ b 0 ; b 1 , ..., b n , b n + 1 , ...] com a i = b i para 0 ≤ in , então x < y se n for par ey < x se n for ímpar.

Expansão contínua da fração de π e seus convergentes

Para calcular os convergentes de π, podemos definir a 0 = ⌊ π ⌋ = 3 , definir u 1 =1/π - 3≈ 7,0625 e a 1 = ⌊ u 1 ⌋ = 7 , u 2 =1/u 1 - 7≈ 15,9966 e a 2 = ⌊ u 2 ⌋ = 15 , u 3 =1/u 2 - 15≈ 1,0034 . Continuando assim, pode-se determinar a fração contínua infinita de π como

[3; 7,15,1,292,1,1, ...] (sequência A001203 no OEIS ).

O quarto convergente de π é [3; 7,15,1] =355/113= 3,14159292035 ..., às vezes chamado de Milü , que é bastante próximo do valor verdadeiro de π .

Suponhamos que os quocientes encontrados sejam, como acima, [3; 7,15,1]. A seguir está uma regra pela qual podemos escrever de uma vez as frações convergentes que resultam desses quocientes sem desenvolver a fração contínua.

O primeiro quociente, supostamente dividido pela unidade, dará a primeira fração, que será muito pequena, a saber, 3/1. Então, multiplicando o numerador e o denominador desta fração pelo segundo quociente e adicionando a unidade ao numerador, teremos a segunda fração,22/7, que será muito grande. Multiplicando da mesma maneira o numerador e denominador desta fração pelo terceiro quociente, e somando ao numerador o numerador da fração anterior, e ao denominador o denominador da fração anterior, teremos a terceira fração, que também será pequena. Assim, sendo o terceiro quociente 15, temos para nosso numerador (22 × 15 = 330) + 3 = 333 , e para nosso denominador, (7 × 15 = 105) + 1 = 106 . O terceiro convergente, portanto, é333/106. Procedemos da mesma maneira para o quarto convergente. O quarto quociente sendo 1, dizemos 333 vezes 1 é 333, e isso mais 22, o numerador da fração anterior, é 355; da mesma forma, 106 vezes 1 é 106, e isso mais 7 é 113. Desta maneira, empregando os quatro quocientes [3; 7,15,1], obtemos as quatro frações:

3/1, 22/7, 333/106, 355/113, ....
O seguinte código Maple irá gerar expansões de fração contínuas de pi

Para resumir, o padrão é

Esses convergentes são alternadamente menores e maiores do que o valor verdadeiro de π , e se aproximam cada vez mais de π . A diferença entre um dado convergente e π é menor que o recíproco do produto dos denominadores daquele convergente e do próximo convergente. Por exemplo, a fração22/7é maior que π , mas22/7- π é menor que1/7 × 106 = 1/742 (na verdade, 22/7- π é apenas mais do que1/791 = 1/7 × 113)

A demonstração das propriedades anteriores é deduzida do fato de que se buscarmos a diferença entre uma das frações convergentes e a próxima adjacente a ela, obteremos uma fração cujo numerador é sempre a unidade e o denominador o produto dos dois denominadores . Portanto, a diferença entre22/7 e 3/1 é 1/7, em excesso; entre333/106 e 22/7, 1/742, em déficit; entre355/113 e 333/106, 1/11978, em excesso; e assim por diante. O resultado é que, empregando esta série de diferenças, podemos expressar de outra maneira muito simples as frações de que estamos falando, por meio de uma segunda série de frações cujos numeradores são todos unitários e os denominadores sucessivamente os produto de cada dois denominadores adjacentes. Em vez das frações escritas acima, temos, portanto, a série:

3/1 + 1/1 × 7 - 1/7 × 106 + 1/106 × 113 - ...

O primeiro termo, como vemos, é a primeira fração; a primeira e a segunda juntas fornecem a segunda fração,22/7; o primeiro, o segundo e o terceiro fornecem a terceira fração333/106e assim por diante com o resto; o resultado é que toda a série é equivalente ao valor original.

Fração contínua generalizada

Uma fração contínua generalizada é uma expressão da forma

onde o um n ( n > 0) são as numeradas, parciais, a b n são os denominadores parciais, e o termo líder b 0 é chamado o número inteiro parte da fracção contínua.

Para ilustrar o uso de frações contínuas generalizadas, considere o exemplo a seguir. A sequência de denominadores parciais da fração contínua simples de π não mostra nenhum padrão óbvio:

ou

No entanto, várias frações contínuas generalizadas para π têm uma estrutura perfeitamente regular, como:

Os dois primeiros são casos especiais da função arco tangente com π = 4 arctan (1) e o quarto e o quinto podem ser derivados usando o produto de Wallis .

A fração contínua acima, consistindo de cubos, usa a série Nilakantha e um exploit de Leonhard Euler.

Outras expansões de fração contínuas

Frações contínuas periódicas

Os números com expansão de fração contínua periódica são precisamente as soluções irracionais de equações quadráticas com coeficientes racionais; soluções racionais têm expansões de fração contínuas finitas, conforme afirmado anteriormente. Os exemplos mais simples são a razão áurea φ = [1; 1,1,1,1,1, ...] e 2 = [1; 2,2,2,2, ...], enquanto 14 = [3; 1,2,1,6,1,2,1,6 ...] e 42 = [6; 2,12,2,12,2,12 ...]. Todas as raízes quadradas irracionais de inteiros têm uma forma especial para o período; uma string simétrica, como a string vazia (para 2 ) ou 1,2,1 (para 14 ), seguida pelo dobro do inteiro inicial.

Uma propriedade da proporção áurea φ

Como a expansão contínua da fração para φ não usa nenhum inteiro maior que 1, φ é um dos números reais mais "difíceis" de se aproximar com números racionais. O teorema de Hurwitz afirma que qualquer número irracional k pode ser aproximado por um número infinito dem/n com

Embora virtualmente todos os números reais k eventualmente tenham um número infinito de convergentesm/ncuja distância de k é significativamente menor do que este limite, os convergentes para φ (ou seja, os números5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.) consistentemente "toe a fronteira", mantendo uma distância quase exata de φ, nunca produzindo assim uma aproximação quase tão impressionante como, por exemplo,355/113para π . Também pode ser mostrado que cada número real do formulárioa + b φ/c + d φ, onde a , b , c e d são inteiros tais que a d - b c = ± 1 , compartilha esta propriedade com a razão áurea φ; e que todos os outros números reais podem ser mais aproximados.

Padrões regulares em frações contínuas

Embora não haja um padrão discernível na expansão de fração contínua simples de π , há um para e , a base do logaritmo natural :

que é um caso especial desta expressão geral para o número inteiro positivo n :

Outro padrão mais complexo aparece nesta expansão contínua da fração para n ímpar positivo :

com um caso especial para n = 1 :

Outras frações contínuas deste tipo são

onde n é um número inteiro positivo; também, para o inteiro n :

com um caso especial para n = 1 :

Se I n ( x ) é a função de Bessel modificada ou hiperbólica de primeiro tipo, podemos definir uma função nos racionaisp/q por

que é definido para todos os números racionais, com p e q nos termos mais baixos. Então, para todos os racionais não negativos, temos

com fórmulas semelhantes para racionais negativos; em particular nós temos

Muitas das fórmulas podem ser provadas usando a fração contínua de Gauss .

Frações contínuas típicas

A maioria dos números irracionais não tem nenhum comportamento periódico ou regular em sua expansão contínua de fração. No entanto, Khinchin provou que para quase todos os números reais x , o a i (para i = 1, 2, 3, ... ) tem uma propriedade surpreendente: sua média geométrica tende a uma constante (conhecida como constante de Khinchin , K ≈ 2.6854520010 ... ) independente do valor de x . Paul Lévy mostrou que o n º raiz do denominador do n º convergente da expansão fração contínua de quase todos os números reais se aproxima de um limite assintótica, cerca de 3,27582, o que é conhecido como constante de Lévy . O teorema de Lochs afirma que o n- ésimo convergente da expansão contínua da fração de quase todos os números reais determina o número com uma precisão média de pouco mais de n casas decimais.

Formulários

Raízes quadradas

As frações contínuas generalizadas são usadas em um método para calcular raízes quadradas .

A identidade

 

 

 

 

( 1 )

leva por meio de recursão à fração contínua generalizada para qualquer raiz quadrada:

 

 

 

 

( 2 )

Equação de Pell

As frações contínuas desempenham um papel essencial na solução da equação de Pell . Por exemplo, para inteiros positivos p e q , e n não quadrado , é verdade que se p 2 - nq 2 = ± 1 , entãop/qé um convergente da fração contínua regular para n . O inverso é válido se o período da fração contínua regular para n for 1 e, em geral, o período descreve quais convergentes fornecem soluções para a equação de Pell.

Sistemas dinâmicos

As frações contínuas também desempenham um papel no estudo de sistemas dinâmicos , onde unem as frações de Farey que são vistas no conjunto de Mandelbrot com a função de ponto de interrogação de Minkowski e o grupo modular Gamma.

O operador de deslocamento para trás para frações contínuas é o mapa h ( x ) = 1 / x - ⌊1 / x chamado de mapa de Gauss , que corta os dígitos de uma expansão de fração contínua: h ([0; a 1 , a 2 , a 3 , ...]) = [0; um 2 , um 3 , ...] . O operador de transferência deste mapa é chamado de operador Gauss-Kuzmin-Wirsing . A distribuição dos dígitos em fracções contínuas é dada pela zero'th vector próprio deste operador, e é chamado a distribuição de Gauss-Kuzmin .

Autovalores e autovetores

O algoritmo Lanczos usa uma expansão de fração contínua para aproximar iterativamente os autovalores e autovetores de uma grande matriz esparsa.

Aplicativos de rede

Frações contínuas também foram usadas na modelagem de problemas de otimização para virtualização de rede sem fio para encontrar uma rota entre uma origem e um destino.

Exemplos de números racionais e irracionais

Número r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
123 a r 123
ra 123
12,3 a r 12 3 3
ra 12 37/3 123/10
1,23 a r 1 4 2 1 7
ra 1 5/4 11/9 16/13 123/100
0,123 a r 0 8 7 1 2 5
ra 0 1/8 7/57 8/65 23/187 123/1 000
ϕ =
5 + 1/2
a r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ra 1 2 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55 144/89
- ϕ =
-5 + 1/2
a r -2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ra -2 -3/2 -5/3 -8/5 -13/8 -21/13 -34/21 -55/34 -89/55 -144/89 -233/144
2 a r 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ra 1 3/2 7/5 17/12 41/29 99/70 239/169 577/408 1 393/985 3 363/2 378 8 119/5 741
12 a r 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ra 0 1 2/3 5/7 12/17 29/41 70/99 169/239 408/577 985/1 393 2 378/3 363
3 a r 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
ra 1 2 5/3 7/4 19/11 26/15 71/41 97/56 265/153 362/209 989/571
13 a r 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
ra 0 1 1/2 3/5 4/7 11/19 15/26 41/71 56/97 153/265 209/362
3 2 a r 0 1 6 2 6 2 6 2 6 2 6
ra 0 1 6/7 13/15 84/97 181/209 1 170/1 351 2 521/2 911 16 296/18 817 35 113/40 545 226 974/262 087
32 a r 1 3 1 5 1 1 4 1 1 8 1
ra 1 4/3 5/4 29/23 34/27 63/50 286/227 349/277 635/504 5 429/4 309 6 064/4 813
e a r 2 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1
ra 2 3 8/3 11/4 19/7 87/32 106/39 193/71 1.264/465 1 457/536 2 721/1 001
π a r 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3
ra 3 22/7 333/106 355/113 103 993/33 102 104 348/33 215 208 341/66 317 312 689/99 532 833 719/265 381 1 146 408/364 913 4 272 943/1 360 120
Número r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ra : approximant racional obtido através da expansão fracção continuou-se a um r

História

  • 300 BCE Euclid's Elements contém um algoritmo para o maior divisor comum , cuja versão moderna gera uma fração contínua como a sequência de quocientes de sucessivas divisões euclidianas que ocorrem nele.
  • 499 O Aryabhatiya contém a solução de equações indeterminadas usando frações contínuas
  • 1572 Rafael Bombelli , L'Algebra Opera - método para a extração de raízes quadradas que está relacionado com frações continuadas
  • 1613 Pietro Cataldi , Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - primeira notação para frações contínuas
Cataldi representou uma fração contínua como & & & com os pontos indicando para onde as frações seguintes foram.

Veja também

Notas

Referências

links externos