Geometria contínua - Continuous geometry

Em matemática, a geometria contínua é um análogo da geometria projetiva complexa introduzida por von Neumann  ( 1936 , 1998 ), onde em vez da dimensão de um subespaço estar em um conjunto discreto 0, 1, ..., n , pode ser um elemento do intervalo de unidade [0,1]. Von Neumann foi motivado por sua descoberta de álgebras de von Neumann com uma função dimensional tomando uma gama contínua de dimensões, e o primeiro exemplo de uma geometria contínua diferente do espaço projetivo foram as projeções do fator hiperfinito tipo II .

Definição

Menger e Birkhoff deram axiomas para a geometria projetiva em termos da rede de subespaços lineares do espaço projetivo. Os axiomas de Von Neumann para geometria contínua são uma forma enfraquecida desses axiomas.

Uma geometria contínua é uma rede L com as seguintes propriedades

  • L é modular .
  • L está completo .
  • As operações de rede ∧, ∨ satisfazem uma certa propriedade de continuidade,
    , onde A é um conjunto direcionado e se α < β então a α < a β , e a mesma condição com ∧ e ∨ invertidos.
  • Cada elemento em L tem um complemento (não necessariamente único). Um complemento de um elemento de um é um elemento b com umb = 0 , umb = 1 , em que 0 e 1 são os elementos mínimos e máximos de L .
  • L é irredutível: isso significa que os únicos elementos com complementos únicos são 0 e 1.

Exemplos

  • O espaço projetivo complexo de dimensão finita, ou melhor, seu conjunto de subespaços lineares, é uma geometria contínua, com dimensões assumindo valores no conjunto discreto {0, 1 / n , 2 / n , ..., 1}
  • As projeções de uma álgebra de von Neumann finita do tipo II formam uma geometria contínua com dimensões tomando valores no intervalo unitário [0,1].
  • Kaplansky (1955) mostrou que qualquer rede modular completa ortocomplementada é uma geometria contínua.
  • Se V é um espaço vetorial sobre um campo (ou anel de divisão ) F , então há um mapa natural da rede PG ( V ) dos subespaços de V para a rede dos subespaços de VF 2 que multiplica as dimensões por 2. Então podemos pegar um limite direto de
Esta tem uma função de dimensão tomando valores de todos os racionais diádicos entre 0 e 1. Sua conclusão é uma geometria contínua contendo elementos de todas as dimensões em [0,1]. Esta geometria foi construída por von Neumann (1936b) , e é chamada de geometria contínua sobre "F"

Dimensão

Esta seção resume alguns dos resultados de von Neumann (1998 , Parte I) . Esses resultados são semelhantes e foram motivados pelo trabalho de von Neumann sobre projeções em álgebras de von Neumann.

Dois elementos a e b de L são chamados perspectiva , escrito a ~ b , se eles têm um complemento comum. Esta é uma relação de equivalência em L ; a prova de que é transitiva é bastante difícil.

O classes de equivalência A , B , ... de L tem uma ordem total sobre eles definido por AB se houver algum um em A e b em B com umb . (Isso não precisa ser válido para todos os a em A e b em B. )

A função de dimensão D de L ao intervalo de unidade é definida como segue.

  • Se classes de equivalência A e B contêm elementos um e b com umb = 0 , então a sua soma A + B é definido como sendo a classe de equivalência de umb . Caso contrário, a soma A + B não é definida. Para um número inteiro positivo n , o produto nA é definido como a soma de n cópias de A , se essa soma for definida.
  • Para classes de equivalência A e B com A não {0}, o inteiro [ B  : A ] é definido como o inteiro único n ≥ 0 tal que B = nA + C com C < B .
  • Para classes de equivalência A e B com A não {0}, o número real ( B  : A ) é definido como o limite de [ B  : C ] / [ A  : C ], pois C passa por uma sequência mínima: isso significa que qualquer C contém um elemento mínimo diferente de zero, ou uma seqüência infinita de elementos diferentes de zero, cada um dos quais é no máximo metade do precedente.
  • D ( a ) é definido como ({ a }: {1}) , onde { a } e {1} são as classes de equivalência contendo a e 1.

A imagem de D pode ser o intervalo de unidade inteiro ou o conjunto de números 0, 1 / n , 2 / n , ..., 1 para algum inteiro positivo n . Dois elementos de L têm a mesma imagem sob D se e somente se eles são perspectiva, então dá uma injeção das classes de equivalência para um subconjunto do intervalo de unidade. A função de dimensão D tem as propriedades:

  • Se a < b, então D ( a ) < D ( b )
  • D ( ab ) + D ( ab ) = D ( a ) + D ( b )
  • D ( a ) = 0 se e somente se a = 0 , e D ( a ) = 1 se e somente se a = 1
  • 0 ≤ D ( a ) ≤ 1

Teorema de coordenação

Na geometria projetiva, o teorema de Veblen-Young afirma que uma geometria projetiva de dimensão pelo menos 3 é isomórfica à geometria projetiva de um espaço vetorial sobre um anel de divisão. Isso pode ser reafirmado dizendo que os subespaços na geometria projetiva correspondem aos principais ideais corretos de uma álgebra matricial sobre um anel de divisão.

Neumann generalizou isso para geometrias contínuas e, mais geralmente, para redes modulares complementadas, como segue ( Neumann 1998 , Parte II). Seu teorema afirma que se uma rede modular complementada L tem ordem de pelo menos 4, então os elementos de L correspondem aos principais ideais de um anel regular de von Neumann . Mais precisamente, se a estrutura tem ordem n , em seguida, o anel de von Neumann normal pode ser considerado como sendo um n por n anel matriz H N ( R ) em relação a outro anel de von Neumann regulares R . Aqui, uma rede modular complementada tem ordem n se tiver uma base homogênea de n elementos, onde uma base é n elementos a 1 , ..., a n tal que a ia j = 0 se ij , e a 1 ∨ ... ∨ a n = 1 , e uma base é chamada de homogênea se quaisquer dois elementos forem perspectiva. A ordem de uma rede não precisa ser única; por exemplo, qualquer rede tem ordem 1. A condição de que a rede tem ordem de pelo menos 4 corresponde à condição de que a dimensão é pelo menos 3 no teorema de Veblen-Young, já que um espaço projetivo tem dimensão pelo menos 3 se e somente se tem um conjunto de pelo menos 4 pontos independentes.

Por outro lado, os principais ideais de um anel regular de von Neumann formam uma rede modular complementada ( Neumann 1998 , Parte II teorema 2.4).

Suponha que R seja um anel regular de von Neumann e L sua rede de ideais retos principais, de modo que L é uma rede modular complementada. Neumann mostrou que L é uma geometria contínua se e somente se R é um anel de classificação completo irredutível .

Referências