Hipótese do continuum - Continuum hypothesis

Em matemática , a hipótese do contínuo (abreviado CH ) é uma hipótese sobre os tamanhos possíveis de conjuntos infinitos . Afirma:

Não há conjunto cuja cardinalidade esteja estritamente entre a dos inteiros e os números reais .

Em teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha (ZFE), isto é equivalente a seguinte equação em aleph números : .

A hipótese do continuum foi avançada por Georg Cantor em 1878, e estabelecer sua verdade ou falsidade é o primeiro dos 23 problemas de Hilbert apresentados em 1900. A resposta para este problema é independente de ZFC, de modo que tanto a hipótese do continuum quanto sua negação podem ser adicionadas como um axioma para a teoria dos conjuntos de ZFC, com a teoria resultante sendo consistente se e somente se ZFC for consistente. Essa independência foi comprovada em 1963 por Paul Cohen , complementando o trabalho anterior de Kurt Gödel em 1940.

O nome da hipótese vem do termo continuum para os números reais.

História

Cantor acreditava que a hipótese do continuum era verdadeira e por muitos anos tentou em vão prová-la. Tornou-se o primeiro na lista de David Hilbert de importantes questões em aberto que foi apresentado no Congresso Internacional de Matemáticos no ano de 1900 em Paris. A teoria dos conjuntos axiomática ainda não estava formulada. Kurt Gödel provou em 1940 que a negação da hipótese do contínuo, ou seja, a existência de um conjunto com cardinalidade intermediária, não poderia ser provada na teoria dos conjuntos padrão. A segunda metade da hipótese de independência da continuidade - ou seja, a impossibilidade de comprovação da inexistência de um conjunto de tamanho intermediário - foi provada em 1963 por Paul Cohen .

Cardinalidade de conjuntos infinitos

Diz-se que dois conjuntos têm a mesma cardinalidade ou número cardinal se houver uma bijeção (uma correspondência um-para-um) entre eles. Intuitivamente, para dois conjuntos S e T terem a mesma cardinalidade significa que é possível "emparelhar" elementos de S com elementos de T de tal forma que cada elemento de S seja emparelhado com exatamente um elemento de T e vice versa. Portanto, o conjunto {banana, apple, pear} tem a mesma cardinalidade que {yellow, red, green}.

Com conjuntos infinitos, como o conjunto de inteiros ou números racionais , a existência de uma bijeção entre dois conjuntos torna-se mais difícil de demonstrar. Os números racionais aparentemente formam um contra-exemplo para a hipótese do contínuo: os inteiros formam um subconjunto próprio dos racionais, que por sua vez formam um subconjunto adequado dos reais, portanto, intuitivamente, existem mais números racionais do que inteiros e mais números reais do que números racionais. No entanto, essa análise intuitiva é falha; não leva em consideração o fato de que todos os três conjuntos são infinitos . Acontece que os números racionais podem realmente ser colocados em correspondência um a um com os inteiros e, portanto, o conjunto de números racionais é do mesmo tamanho ( cardinalidade ) que o conjunto de inteiros: ambos são conjuntos contáveis .

Cantor deu duas provas de que a cardinalidade do conjunto de inteiros é estritamente menor do que a do conjunto de números reais (ver a primeira prova de incontabilidade de Cantor e o argumento diagonal de Cantor ). Suas provas, entretanto, não dão nenhuma indicação de até que ponto a cardinalidade dos inteiros é menor do que a dos números reais. Cantor propôs a hipótese do continuum como uma possível solução para essa questão.

A hipótese do contínuo afirma que o conjunto de números reais tem cardinalidade mínima possível, que é maior do que a cardinalidade do conjunto de inteiros. Ou seja, cada conjunto, S , dos números reais podem ser mapeados um-para-um para os números inteiros ou números reais podem ser mapeados um-para-um em S . Como os números reais são equinumerosos com o conjunto de potência dos inteiros, a hipótese do contínuo diz que não existe um conjunto para o qual .

Assumindo o axioma da escolha , existe um menor número cardinal maior que , e a hipótese do contínuo é, por sua vez, equivalente à igualdade .

Independência do ZFC

A independência da hipótese do contínuo (CH) da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZF) segue do trabalho combinado de Kurt Gödel e Paul Cohen .

Gödel mostrou que CH não pode ser refutado de ZF, mesmo que o axioma de escolha (AC) seja adotado (fazendo ZFC). A prova de Gödel mostra que CH e AC mantêm no universo construtível L, um modelo interno da teoria de conjuntos ZF, assumindo apenas os axiomas de ZF. A existência de um modelo interno de ZF no qual axiomas adicionais são válidos mostra que os axiomas adicionais são consistentes com ZF, desde que o próprio ZF seja consistente. A última condição não pode ser provada no próprio ZF, devido aos teoremas da incompletude de Gödel , mas é amplamente considerada verdadeira e pode ser provada em teorias de conjuntos mais fortes.

Cohen mostrou que o CH não pode ser provado a partir dos axiomas de ZFC, completando a prova de independência geral. Para provar seu resultado, Cohen desenvolveu o método de forçar , que se tornou uma ferramenta padrão na teoria dos conjuntos. Essencialmente, este método começa com um modelo de ZF em que CH mantém, e constrói outro modelo que contém mais conjuntos do que o original, de uma forma que CH não mantém no novo modelo. Cohen recebeu a Medalha Fields em 1966 por sua prova.

A prova de independência que acabamos de descrever mostra que CH é independente de ZFC. Pesquisas adicionais mostraram que o CH é independente de todos os grandes axiomas cardinais conhecidos no contexto de ZFC. Além disso, foi demonstrado que a cardinalidade do contínuo pode ser qualquer cardinal consistente com o teorema de König . Um resultado de Solovay, comprovado logo após o resultado de Cohen sobre a hipótese de independência do continuum, mostra que em qualquer modelo de ZFC, se é um cardinal de cofinalidade incontável , então há uma extensão forçada em que . No entanto, pelo teorema de König, não é consistente assumir é ou ou qualquer cardinal com cofinalidade .

A hipótese do contínuo está intimamente relacionada a muitas declarações em análise , topologia de conjunto de pontos e teoria de medida . Como resultado de sua independência, muitas conjecturas substanciais nesses campos também se mostraram independentes.

A independência do ZFC significa que provar ou refutar o CH dentro do ZFC é impossível. No entanto, os resultados negativos de Gödel e Cohen não são universalmente aceitos como eliminando todo o interesse na hipótese do contínuo. O problema de Hilbert continua sendo um tópico ativo de pesquisa; consulte Woodin e Peter Koellner para uma visão geral do status atual da pesquisa.

A hipótese do contínuo não foi a primeira afirmação que se mostrou independente de ZFC. Uma conseqüência imediata do teorema da incompletude de Gödel , que foi publicado em 1931, é que há uma declaração formal (uma para cada esquema de numeração de Gödel apropriado ) expressando a consistência de ZFC que é independente de ZFC, assumindo que ZFC é consistente. A hipótese do contínuo e o axioma de escolha estavam entre as primeiras afirmações matemáticas que se mostraram independentes da teoria dos conjuntos ZF.

Argumentos a favor e contra a hipótese do contínuo

Gödel acreditava que CH é falso, e que sua prova de que CH é consistente com ZFC mostra apenas que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não caracterizam adequadamente o universo de conjuntos. Gödel era um platonista e, portanto, não tinha problemas em afirmar a verdade e a falsidade de declarações, independentemente de sua comprovação. Cohen, embora formalista , também tendia a rejeitar CH.

Historicamente, os matemáticos que favoreciam um universo "rico" e "grande" de conjuntos eram contra o CH, enquanto aqueles que defendiam um universo "limpo" e "controlável" favoreciam o CH. Argumentos paralelos foram feitos a favor e contra o axioma da construtibilidade , que implica CH. Mais recentemente, Matthew Foreman apontou que o maximalismo ontológico pode realmente ser usado para argumentar a favor do CH, porque entre os modelos que têm os mesmos reais, os modelos com "mais" conjuntos de reais têm uma chance melhor de satisfazer o CH.

Outro ponto de vista é que a concepção de conjunto não é específica o suficiente para determinar se CH é verdadeiro ou falso. Este ponto de vista foi avançado já em 1923 por Skolem , mesmo antes do primeiro teorema da incompletude de Gödel. Skolem argumentou com base no que agora é conhecido como paradoxo de Skolem , e mais tarde foi apoiado pela independência de CH dos axiomas de ZFC, uma vez que esses axiomas são suficientes para estabelecer as propriedades elementares de conjuntos e cardinalidades. Para argumentar contra esse ponto de vista, seria suficiente demonstrar novos axiomas que são apoiados pela intuição e resolvem o CH em uma direção ou outra. Embora o axioma da construtibilidade resolva o CH, ele geralmente não é considerado intuitivamente verdadeiro, assim como o CH não é geralmente considerado falso.

Foram propostos pelo menos dois outros axiomas que têm implicações para a hipótese do continuum, embora esses axiomas não tenham encontrado ampla aceitação na comunidade matemática. Em 1986, Chris Freiling apresentou um argumento contra CH, mostrando que a negação de CH é equivalente ao axioma de simetria de Freiling , uma afirmação derivada do argumento de intuições particulares sobre probabilidades . Freiling acredita que este axioma é "intuitivamente verdadeiro", mas outros discordaram. Um difícil argumento contra o CH desenvolvido por W. Hugh Woodin atraiu considerável atenção desde o ano 2000. Foreman não rejeita o argumento de Woodin abertamente, mas pede cautela.

Solomon Feferman argumentou que o CH não é um problema matemático definido. Ele propõe uma teoria de "definição" usando um subsistema semi-intuicionista de ZF que aceita a lógica clássica para quantificadores limitados, mas usa lógica intuicionista para os ilimitados, e sugere que uma proposição é matematicamente "definida" se a teoria semi-intuicionista pode provar . Ele conjectura que CH não é definido de acordo com essa noção, e propõe que CH deve, portanto, ser considerado como não tendo um valor de verdade. Peter Koellner escreveu um comentário crítico sobre o artigo de Feferman.

Joel David Hamkins propõe uma abordagem multiverso para a teoria dos conjuntos e argumenta que "a hipótese do contínuo é estabelecida na visão do multiverso por nosso amplo conhecimento sobre como ele se comporta no multiverso e, como resultado, não pode mais ser resolvido da maneira anteriormente esperado ". Em uma veia relacionada, Saharon Shelah escreveu que "não concorda com a visão platônica pura de que os problemas interessantes na teoria dos conjuntos podem ser resolvidos, que apenas temos que descobrir o axioma adicional. Minha imagem mental é que temos muitos conjuntos possíveis teorias, todas em conformidade com ZFC ".

A hipótese do continuum generalizado

A hipótese do contínuo generalizado (GCH) afirma que se a cardinalidade de um conjunto infinito está entre a de um conjunto infinito S e a do conjunto de potência de S , então ele tem a mesma cardinalidade que S ou . Ou seja, para qualquer cardeal infinito não existe cardinal assim . GCH é equivalente a:

para cada ordinal (ocasionalmente chamado de hipótese aleph de Cantor ).

Os números beth fornecem uma notação alternativa para esta condição: para cada ordinal . A hipótese do contínuo é o caso especial do ordinal . O GCH foi sugerido pela primeira vez por Philip Jourdain . Para a história inicial do GCH, consulte Moore.

Como CH, GCH também é independente de ZFC, mas Sierpiński provou que ZF + GCH implica o axioma de escolha (AC) (e, portanto, a negação do axioma de determinação , AD), então escolha e GCH não são independentes em ZF; não há modelos de ZF em que o GCH seja mantido e o CA falhe. Para provar isso, Sierpiński mostrou que o GCH implica que cada cardinalidade n é menor do que algum número aleph e, portanto, pode ser solicitado. Isso é feito mostrando que n é menor do que o que é menor do que seu próprio número de Hartogs - isso usa a igualdade ; para a prova completa, consulte Gillman.

Kurt Gödel mostrou que GCH é uma consequência de ZF + V = L (o axioma de que todo conjunto é construtível em relação aos ordinais) e, portanto, é consistente com ZFC. Como GCH implica CH, o modelo de Cohen em que CH falha é um modelo em que GCH falha e, portanto, GCH não pode ser provado por ZFC. W. B. Easton usou o método de forçamento desenvolvido por Cohen para provar o teorema de Easton , que mostra que é consistente com o ZFC para cardinais arbitrariamente grandes falharem em satisfazer . Muito mais tarde, Foreman e Woodin provaram que (assumindo a consistência de cardeais muito grandes) é consistente o que vale para cada cardeal infinito . Mais tarde, Woodin estendeu isso, mostrando a consistência de for every . Carmi Merimovich mostraram que, para cada n  ≥ 1, que é consistente com ZFE que para cada κ, 2 κ é o n ° de sucessor κ. Por outro lado, László Patai provou que se γ é um ordinal e para cada cardinal infinito κ, 2 κ é o γº sucessor de κ, então γ é finito.

Para quaisquer conjuntos infinitos A e B, se houver uma injeção de A em B, então haverá uma injeção de subconjuntos de A em subconjuntos de B. Assim, para quaisquer cardinais infinitos A e B ,. Se A e B são finitos, a desigualdade mais forte se mantém. O GCH implica que essa desigualdade estrita e mais forte vale tanto para cardinais infinitos quanto para cardeais finitos.

Implicações de GCH para exponenciação cardinal

Embora a hipótese do contínuo generalizado se refira diretamente apenas à exponenciação cardinal com 2 como base, pode-se deduzir a partir dela os valores da exponenciação cardinal em todos os casos. GCH implica que:

quando αβ +1;
quando β +1 < α e , onde cf é a operação de cofinalidade ; e
quando β +1 < α e .

A primeira igualdade (quando αβ +1) segue de:

, enquanto:
 ;

A terceira igualdade (quando β +1 < α e ) segue de:

, pelo teorema de König , enquanto:

Onde, para cada γ, GCH é usado para igualar e ; é usado porque é equivalente ao axioma de escolha .

Veja também

Referências

  • Maddy, Penelope (junho de 1988). "Acreditando nos axiomas, [parte I]". Journal of Symbolic Logic . Association for Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. doi : 10.2307 / 2274520 . JSTOR  2274520 .

Fontes

Leitura adicional

  • Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Teoria dos conjuntos e a hipótese do contínuo . Mineola, New York City: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
  • Dales, HG; Woodin, WH (1987). Uma introdução à independência para analistas . Cambridge.
  • Enderton, Herbert (1977). Elementos da teoria dos conjuntos . Academic Press.
  • Gödel, K .: Qual é o problema do Continuum de Cantor? , reimpresso na coleção Philosophy of Mathematics de Benacerraf e Putnam , 2ª ed., Cambridge University Press, 1983. Um esboço dos argumentos de Gödel contra CH.
  • Martin, D. (1976). "O primeiro problema de Hilbert: a hipótese do continuum", em Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp. 81-92. ISBN  0-8218-1428-1
  • McGough, Nancy. "The Continuum Hypothesis" .
  • Wolchover, Natalie. "Quantos números existem? A prova do infinito aproxima a matemática de uma resposta" .

links externos