Contradição - Contradiction

Na lógica tradicional , uma contradição ocorre quando uma proposição entra em conflito com ela mesma ou com um fato estabelecido . Freqüentemente, é usado como uma ferramenta para detectar crenças e preconceitos hipócritas . Ilustrando uma tendência geral na lógica aplicada, a lei da não-contradição de Aristóteles afirma que "É impossível que a mesma coisa possa ao mesmo tempo pertencer e não pertencer ao mesmo objeto e no mesmo aspecto."

Na lógica formal moderna e na teoria dos tipos , o termo é usado principalmente para uma única proposição, freqüentemente denotada pelo símbolo falsum ; uma proposição é uma contradição se falsa pode ser derivada dela, usando as regras da lógica. É uma proposição incondicionalmente falsa (ou seja, uma proposição autocontraditória). Isso pode ser generalizado para uma coleção de proposições, que então se diz "conter" uma contradição. ${\ displaystyle \ bot}$

História

Pela criação de um paradoxo , Platão 's Euthydemus diálogo demonstra a necessidade da noção de contradição . No diálogo que se segue, Dionysodorus nega a existência de "contradição", enquanto Sócrates o contradiz:

... Eu em meu espanto disse: O que quer dizer Dionysodorus? Muitas vezes ouvi, e fiquei surpreso ao ouvir, esta sua tese, que é mantida e empregada pelos discípulos de Protágoras e outros antes deles, e que para mim parece ser bastante maravilhosa, e suicida, bem como destrutiva, e Acho que provavelmente vou ouvir a verdade sobre isso de você. O ditado é que não existe falsidade; um homem deve dizer a verdade ou não dizer nada. Não é essa a sua posição?

Na verdade, Dionysodorus concorda que "não existe falsa opinião ... não existe ignorância", e exige que Sócrates "me refute". Sócrates responde "Mas como posso refutá-lo, se, como você diz, contar uma falsidade é impossível?".

Na lógica formal

Na lógica clássica, particularmente na lógica proposicional e de primeira ordem , uma proposição é uma contradição se e somente se . Visto que por contraditório é verdade que para todos (porque ), pode-se provar qualquer proposição a partir de um conjunto de axiomas que contém contradições. Isso é chamado de " princípio da explosão ", ou "ex falso quodlibet" ("da falsidade, tudo segue"). ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi \ vdash \ bot}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ vdash \ varphi \ rightarrow \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ bot \ vdash \ psi}$

Em uma lógica completa , uma fórmula é contraditória se, e somente se, for insatisfatória .

Prova por contradição

Para um conjunto de premissas consistentes e uma proposição , é verdade na lógica clássica que (isto é, prova ) se e somente se (isto é, e leva a uma contradição). Portanto, uma prova que também prova que é verdade sob as premissas . O uso desse fato forma a base de uma técnica de prova chamada prova por contradição , que os matemáticos usam extensivamente para estabelecer a validade de uma ampla gama de teoremas. Isso se aplica apenas em uma lógica em que a lei do meio excluído é aceita como um axioma. ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ Sigma \ vdash \ varphi}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ Sigma \ cup \ {\ neg \ varphi \} \ vdash \ bot}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ neg \ varphi}$${\ displaystyle \ Sigma \ cup \ {\ neg \ varphi \} \ vdash \ bot}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle A \ vee \ neg A}$

Usando a lógica mínima , uma lógica com axiomas semelhantes à lógica clássica, mas sem ex falso quodlibet e prova por contradição, podemos investigar a força axiomática e as propriedades de várias regras que tratam a contradição considerando teoremas da lógica clássica que não são teoremas da lógica mínima. Cada uma dessas extensões leva a uma lógica intermediária :

1. A eliminação de dupla negação (DNE) é o princípio mais forte, axiomatizado , e quando adicionado à lógica mínima produz a lógica clássica.${\ displaystyle \ neg \ neg A \ implica A}$
2. Ex falso quodlibet (EFQ), axiomatizado , permite muitas consequências de negações, mas normalmente não ajuda a inferir proposições que não envolvem absurdo a partir de proposições consistentes que o envolvem. Quando adicionado à lógica mínima, EFQ produz lógica intuicionista . EFQ é equivalente a quodlibete ex contradictione , axiomatizado , sobre lógica mínima.${\ displaystyle \ bot \ implica A}$${\ displaystyle A \ land \ neg A \ implica B}$
3. A regra de Peirce (PR) é um axioma que captura a prova por contradição sem se referir explicitamente ao absurdo. Lógica mínima + PR + EFQ produz a lógica clássica.${\ displaystyle ((A \ implica B) \ implica A) \ implica A}$
4. O axioma de Gödel-Dummett (GD) , cuja leitura mais simples é que existe uma ordem linear nos valores de verdade. Lógica mínima + GD produz a lógica Gödel-Dummett . A regra de Peirce acarreta, mas não é acarretada por GD sobre a lógica mínima.${\ displaystyle A \ implica B \ vee B \ implica A}$
5. A lei do terceiro excluído (LEM), axiomatizada , é a formulação mais citada do princípio da bivalência , mas na ausência de EFQ ela não produz a lógica clássica completa. Lógica mínima + LEM + EFQ produz a lógica clássica. PR acarreta, mas não é acarretado por LEM na lógica mínima. Se a fórmula B na regra de Peirce é restrita ao absurdo, dando o esquema axioma , o esquema é equivalente a LEM sobre a lógica mínima.${\ displaystyle A \ vee \ neg A}$${\ displaystyle (\ neg A \ implica A) \ implica A}$
6. A lei fraca do terceiro excluído (WLEM) é axiomatizada e produz um sistema onde a disjunção se comporta mais como na lógica clássica do que na lógica intuicionista, ou seja, as propriedades de disjunção e existência não são válidas, mas onde o uso de raciocínio não intuicionista é marcado por ocorrências de dupla negação na conclusão. LEM implica, mas não é implicado pelo WLEM na lógica mínima. WLEM é equivalente à instância de lei de De Morgan , que distribui negação sobre conjunto: .${\ displaystyle \ neg A \ vee \ neg \ neg A}$${\ displaystyle \ neg (A \ land B) \ iff A \ vee B}$

Representação simbólica

Em matemática, o símbolo usado para representar uma contradição dentro de uma prova varia. Alguns símbolos que podem ser usados ​​para representar uma contradição incluem ↯, Opq,, ⊥, / e ※; em qualquer simbolismo, uma contradição pode ser substituída pelo valor de verdade " falso ", como simbolizado, por exemplo, por "0" (como é comum na álgebra booleana ). Não é incomum ver QED , ou algumas de suas variantes, imediatamente após um símbolo de contradição. Na verdade, isso geralmente ocorre em uma prova por contradição para indicar que a suposição original foi provada falsa - e, portanto, que sua negação deve ser verdadeira. ${\ displaystyle \ Rightarrow \ Leftarrow}$${\ displaystyle \ leftrightarrow \ \! \! \! \! \! \! \!}$

A noção de contradição em um sistema axiomático e uma prova de sua consistência

Em geral, uma prova de consistência requer as duas coisas a seguir:

1. Um sistema axiomático
2. Uma demonstração de que é não o caso em que tanto a fórmula p e sua negação ~ p pode ser derivado do sistema.

Mas por qualquer método que se faça, todas as provas de consistência parecem necessitar da noção primitiva de contradição. Além disso, parece que essa noção teria que estar simultaneamente "fora" do sistema formal na definição de tautologia.

Quando Emil Post , em sua "Introdução a uma Teoria Geral de Proposições Elementares" de 1921, estendeu sua prova da consistência do cálculo proposicional (ou seja, a lógica) além da de Principia Mathematica (PM), ele observou que com relação a uma teoria generalizada conjunto de postulados (isto é, axiomas), ele não seria mais capaz de invocar automaticamente a noção de "contradição" - tal noção pode não estar contida nos postulados:

O principal requisito de um conjunto de postulados é que seja consistente. Visto que a noção comum de consistência envolve aquela de contradição, que novamente envolve negação, e uma vez que esta função não aparece em geral como uma primitiva [no conjunto generalizado de postulados], uma nova definição deve ser dada.

A solução de Post para o problema é descrita na demonstração "Um exemplo de uma prova de consistência absoluta bem-sucedida", oferecida por Ernest Nagel e James R. Newman em sua Prova de Gödel de 1958 . Eles também observaram um problema com respeito à noção de "contradição" com seus "valores de verdade" usuais de "verdade" e "falsidade". Eles observaram que:

A propriedade de ser uma tautologia foi definida em noções de verdade e falsidade. No entanto, essas noções obviamente envolvem uma referência a algo fora do cálculo da fórmula. Portanto, o procedimento mencionado no texto em vigor oferece uma interpretação do cálculo, fornecendo um modelo para o sistema. Assim sendo, os autores não cumpriram o que prometiam, a saber, " definir uma propriedade das fórmulas em termos de características puramente estruturais das próprias fórmulas ". [De fato] ... as provas de consistência que são baseadas em modelos, e que argumentam da verdade dos axiomas para a sua consistência, simplesmente mudam o problema.

Dadas algumas "fórmulas primitivas", como as primitivas de PM S ₁ VS ₂ [OR inclusivo] e ~ S (negação), somos forçados a definir os axiomas em termos dessas noções primitivas. De maneira completa, Post demonstra em PM, e define (como fazem Nagel e Newman, veja abaixo) que a propriedade de tautólogo - ainda a ser definida - é "herdada": se alguém começa com um conjunto de axiomas tautólogos (postulados ) e um sistema de dedução que contém substituição e modus ponens , então um sistema consistente produzirá apenas fórmulas tautólogas.

No tópico da definição de tautólogo , Nagel e Newman criam duas classes K ₁ e K ₂ mutuamente exclusivas e exaustivas , nas quais caem (o resultado de) os axiomas quando suas variáveis ​​(por exemplo, S ₁ e S ₂ são atribuídas a partir dessas classes ) Isso também se aplica às fórmulas primitivas. Por exemplo: "Uma fórmula tendo a forma S ₁ VS ₂ é colocada na classe K ₂ , se ambos S ₁ e S ₂ estiverem em K ₂ ; caso contrário, ela é colocada em K ₁ ", e "Uma fórmula tendo a forma ~ S é colocado em K ₂ , se S está em K ₁ ; caso contrário, é colocado em K ₁ ".

Conseqüentemente, Nagel e Newman podem agora definir a noção de tautóloga : "uma fórmula é uma tautologia se e somente se ela cai na classe K ₁ , não importa em qual das duas classes seus elementos são colocados". Dessa forma, a propriedade de "ser tautólogo" é descrita - sem referência a um modelo ou interpretação.

Por exemplo, dada uma fórmula como ~ S ₁ VS ₂ e uma atribuição de K ₁ a S ₁ e K ₂ a S _2, pode-se avaliar a fórmula e colocar seu resultado em uma ou outra das classes. A atribuição de K ₁ a S ₁ coloca ~ S ₁ em K ₂ , e agora podemos ver que nossa atribuição faz com que a fórmula caia na classe K ₂ . Assim, por definição, nossa fórmula não é uma tautologia.

Post observou que, se o sistema fosse inconsistente, uma dedução nele (isto é, a última fórmula em uma sequência de fórmulas derivadas das tautologias) poderia, em última análise, produzir o próprio S. Como uma atribuição à variável S pode vir da classe K ₁ ou K ₂ , a dedução viola a característica de herança da tautologia (isto é, a derivação deve produzir uma avaliação de uma fórmula que cairá na classe K ₁ ). A partir disso, Post foi capaz de derivar a seguinte definição de inconsistência - sem o uso da noção de contradição :

Definição. Um sistema será considerado inconsistente se produzir a asserção da variável não modificada p [S nos exemplos de Newman e Nagel].

Em outras palavras, a noção de "contradição" pode ser dispensada na construção de uma prova de consistência; o que o substitui é a noção de classes "mutuamente exclusivas e exaustivas". Um sistema axiomático não precisa incluir a noção de "contradição".

Filosofia

Os adeptos da teoria epistemológica do coerentismo tipicamente afirmam que, como uma condição necessária para a justificação de uma crença , essa crença deve fazer parte de um sistema de crenças logicamente não contraditório . Alguns dialeteístas , incluindo Graham Priest , argumentaram que a coerência pode não exigir consistência.

Contradições pragmáticas

Uma contradição pragmática ocorre quando a própria afirmação do argumento contradiz as afirmações que ele propõe. Uma inconsistência surge, neste caso, porque o ato de enunciado, mais do que o conteúdo do que é dito, mina sua conclusão.

Materialismo dialético

No materialismo dialético : A contradição - derivada do hegelianismo - geralmente se refere a uma oposição inerentemente existente dentro de um reino, uma força ou objeto unificado. Essa contradição, em oposição ao pensamento metafísico, não é uma coisa objetivamente impossível, porque essas forças contraditórias existem na realidade objetiva, não se anulando, mas na verdade definindo a existência uma da outra. De acordo com a teoria marxista, tal contradição pode ser encontrada, por exemplo, no fato de que:

• (a) enorme riqueza e poderes produtivos coexistem ao lado de:
• (b) pobreza extrema e miséria;
• (c) a existência de (a) ser contrária à existência de (b).

A teoria hegeliana e marxista estipula que a natureza dialética da história levará à sublação , ou síntese , de suas contradições. Marx, portanto, postulou que a história logicamente faria o capitalismo evoluir para uma sociedade socialista onde os meios de produção serviriam igualmente à classe explorada e sofredora da sociedade, resolvendo assim a contradição anterior entre (a) e (b).

O ensaio filosófico de Mao Zedong On Contradiction (1937) promoveu a tese de Marx e Lenin e sugeriu que toda existência é o resultado da contradição.

Lógica formal externa

O uso coloquial pode rotular ações ou declarações como contraditórias quando devidas (ou percebidas como devidas) a pressuposições que são contraditórias no sentido lógico.

A prova por contradição é usada na matemática para construir provas .

O método científico usa a contradição para falsificar a teoria ruim.

Veja também

• Argument Clinic  - Esboço do Monty Python, um esboço do Monty Python no qual um dos dois disputantes usa repetidamente apenas contradições em seu argumento
• Auto-antônimo  - palavra que tem dois significados opostos
• Contrário (lógica)
• Dialeteísmo - Visão de que existem afirmações que são verdadeiras e falsas
• Padrão duplo  - aplicação inconsistente de princípios
• Pensamento  duplo - aceitar simultaneamente duas crenças mutuamente contraditórias como corretas
• Hierarquia de desacordo de Graham
• Ironia  - Dispositivo retórico, técnica literária ou situação em que há uma incongruência entre o significado literal e implícito
• Lei da não-contradição
• On Contradiction  - ensaio maoísta de 1937 por Mao Zedong
• Oxímoro  - figura de linguagem que implica uma autocontradição ostensiva para ilustrar um ponto retórico ou para revelar um paradoxo
• Lógica paraconsistente
• Paradoxo  - Afirmação que aparentemente se contradiz
• Tautologia  - Fórmula lógica que é verdadeira em todas as interpretações possíveis
• TRIZ  - Ferramentas de resolução de problemas

Notas e referências

Bibliografia

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic , traduzido das edições francesa e alemã por Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, South Holland.
• Jean van Heijenoort 1967 De Frege a Gödel: A Source Book in Mathematical Logic 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  0-674-32449-8 (pbk.)
• Ernest Nagel e James R. Newman 1958 Gödel's Proof , New York University Press, Card Catalog Number: 58-5610.

links externos

• "Contradiction (inconsistency)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Contradição, lei de" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Horn, Laurence R. "Contradição" . Em Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .