contraposição - Contraposition


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Na lógica , contraposição é uma inferência que diz que uma instrução condicional é logicamente equivalente à sua contrapositiva . O contrapositiva da declaração tem seu antecedente e conseqüente invertida e invertida : o contrapositiva de é assim . Por exemplo, a proposição " Todos os gatos são mamíferos " pode ser reescrita como a condicional " Se algo é um gato, então ele é um mamífero ". A lei da contraposição diz que a declaração é idêntico ao contrapositiva " Se algo não é um mamífero, então não é um gato ."

O contrapositiva pode ser comparada com três outras relações entre as declarações condicionais:

Inversão (o inverso ),
" Se algo não é um gato, então não é um mamífero ." Ao contrário do contrapositiva, do inverso valor de verdade não é de todo dependente ou não a proposição original verdadeiro, como evidenciado aqui. O inverso aqui claramente não é verdade.
Conversão (o inverso ),
" Se algo é um mamífero, então ele é um gato ." O inverso é realmente o contrapositiva da inversa e por isso sempre tem o mesmo valor de verdade como o inverso, o que não é necessariamente a mesma que a da proposição inicial.
negação ,
" Existe um gato que não é um mamífero ." Se a negação é verdade, a proposição original (e, por extensão, o contrapositiva) é falsa. Aqui, é claro, a negação é falsa.

Observe que, se é verdade e estamos dado que Q é falsa, , pode ser logicamente concluiu que P deve ser falso, . Isso é muitas vezes chamado de lei da contrapositiva , ou o modus tollens regra de inferência .

explicação intuitiva

Um subconjunto de Venn B.svg

Considere o diagrama de Euler mostrado. De acordo com este esquema, se algo está em A, ele deve estar em B também. Assim, podemos interpretar "tudo de A é em B", como:

É também claro que qualquer coisa que é não dentro B (região azul) não pode estar dentro de um, qualquer um. Esta afirmação,

é o contrapositiva. Portanto, podemos dizer que

.

Em termos práticos, isto faz tentando provar algo mais fácil. Por exemplo, se nós queremos provar que toda garota nos Estados Unidos (A) tem cabelos castanhos (B), podemos tentar provar diretamente , verificando todas as meninas nos Estados Unidos para ver se todos eles têm cabelo castanho. Alternativamente, podemos tentar provar verificando todas as meninas sem cabelo castanho para ver se eles estão todos fora os EUA. Isto significa que, se encontrar pelo menos uma garota sem cabelo castanho dentro os EUA, vamos ter refutado , e de forma equivalente .

Para concluir, por qualquer declaração em que A implica B, então não B implica sempre não um . Provar ou não qualquer uma destas declarações prove ou não o outro automaticamente. Eles são totalmente equivalentes.

Definição formal

Uma proposta Q está implicada por uma proposta P , quando a relação seguinte mantém:

Isto indica que, "se P , então Q ", ou, "se Sócrates é um homem , então Sócrates é humano ." Em tal condicional como este, P é o antecedente , e Q é o consequente . Uma declaração é a contrapositiva do outro somente quando seu antecedente é o negada consequente do outro, e vice-versa. O contrapositiva do exemplo é

.

Isto é, "Se não- Q , então não- P ", ou, mais claramente, "Se Q não é o caso, então P não é o caso." Usando o nosso exemplo, este é processado "Se Sócrates não é humano , então Sócrates não é um homem ." Esta declaração é dito ser contraposed ao original e é logicamente equivalente a ele. Devido à sua equivalência lógica, afirmando uma forma eficaz afirma o outro; quando se é verdadeiro , o outro também é verdadeiro. Da mesma forma com falsidade.

Estritamente falando, uma contraposição só pode existir em dois condicionais simples. No entanto, uma contraposição também podem existir em duas condicionais complexas, se eles são semelhantes. Assim, , ou "Todos P s são Q s", é contraposed para , ou "Todos os não- Q s são não- P s."

prova simples, por definição, de uma condicional

Na lógica de primeira ordem , a condicional é definido como:

Nós temos:

simples prova por contradição

Deixei:

É dado que, se A é verdadeiro, então B é verdadeiro, e ele também é dado que B não é verdade. Podemos, então, mostrar que A não deve ser verdade por contradição. Pois, se um fosse verdade, então B teria que ser também verdadeiro (dado). No entanto, é dado que B não é verdade, por isso temos uma contradição. Portanto, A não é verdade (supondo que estamos lidando com as declarações concretas que são verdadeiras ou não é verdade):

Podemos aplicar o mesmo processo o contrário:

Sabemos também que B é verdadeira ou não é verdade. Se B não é verdade, então A também não é verdade. No entanto, é dado que A é verdadeiro; assim, a suposição de que B não é verdade leva a contradição e deve ser falsa. Portanto, B deve ser verdadeira:

Combinando as duas declarações comprovadas torna logicamente equivalentes:

prova mais rigorosa da equivalência de contrapositives

Equivalência lógica entre duas proposições significa que elas são verdadeiras ou falsas juntos juntos. Para provar que contrapositives são logicamente equivalentes , precisamos entender quando implicação material é verdadeira ou falsa.

Esta é apenas falsa quando P é verdadeira e Q é falsa. Portanto, podemos reduzir essa proposição à declaração "False quando P e não- Q " (ou seja, "True quando não é o caso que P e não- Q "):

Os elementos de um conjunto pode ser invertida sem efeito (por commutativity ):

Definimos como igual a "" e como igual a (a partir deste, é igual , que é igual a apenas ):

Isto lê "Não é o caso que ( R é verdadeiro e S é falsa)", que é a definição de uma condicional material. Podemos, então, fazer essa substituição:

Quando trocar as nossas definições de R e S , chegamos ao seguinte:

comparações

nome Formato descrição
implicação se P então Q primeira declaração implica verdade de segunda
inverso se não P então não Q negação de ambas as declarações
conversar se Q , em seguida, P reversão de ambas as declarações
contrapositiva se não Q então não P reversão e negação de ambas as declarações
negação P e não Q contradiz a implicação

Exemplos

Tome a afirmação " Todos os objetos vermelhos têm cor. " Isto pode ser equivalente expresso como " Se um objeto é vermelho, então ele tem cor. "

  • O contrapositiva é " Se um objeto não tem cor, então não é vermelho. " Isto decorre logicamente a nossa declaração inicial e, como ele, é evidentemente verdadeira.
  • O inverso é " Se um objeto não é vermelho, então ele não tem cor. " Um objeto que é azul não é vermelho, e ainda tem cor. Portanto, neste caso, o inverso é falso.
  • O inverso é " Se um objeto tem cor, então é vermelho. " Os objetos podem ter outras cores, é claro, por isso, o inverso da nossa afirmação é falsa.
  • A negação é " Não existe um objeto vermelho que não tem cor. " Esta afirmação é falsa porque a declaração inicial, que ele nega é verdade.

Em outras palavras, o contrapositiva é logicamente equivalente a um determinado condicional afirmação, embora não suficiente para uma bicondicional .

Da mesma forma, levar a declaração " Todos os quadriláteros tem quatro lados, " ou equivalentemente expressou " Se um polígono é um quadrilátero, então ele tem quatro lados. "

  • O contrapositiva é " Se um polígono não tem quatro lados, então não é um quadrilátero. " Isto segue logicamente, e como regra, contrapositives compartilhar o valor de verdade de sua condicional.
  • O inverso é " Se um polígono não é um quadrilátero, então ele não tem quatro lados. " Neste caso, ao contrário do último exemplo, o inverso do argumento é verdadeiro.
  • O inverso é " Se um polígono tem quatro lados, então é um quadrilátero. " Mais uma vez, neste caso, ao contrário do último exemplo, o inverso do argumento é verdadeiro.
  • A negação é " Há pelo menos um quadrilátero que não tem quatro lados. " Esta afirmação é claramente falsa.

Desde a declaração e o inverso são verdadeiras, ele é chamado um bicondicional , e pode ser expresso como " Um polígono é um quadrilátero se, e somente se, ele tem quatro lados. " (A frase se e somente se é por vezes abreviado sse .) isto é, tendo quatro lados é necessário tanto para ser um quadrilátero, e por si só suficiente para considerarem um quadrilátero.

Verdade

  • Se a afirmação é verdadeira, então o seu contrapositiva é verdade (e vice-versa).
  • Se uma declaração é falsa, então sua contrapositiva é falsa (e vice-versa).
  • Se inversa de uma afirmação é verdadeira, então seu inverso é verdadeiro (e vice-versa).
  • Se inversa de uma afirmação é falsa, então seu inverso é falso (e vice-versa).
  • Se a negação de uma declaração é falsa, então a afirmação é verdadeira (e vice-versa).
  • Se uma instrução (ou seu contrapositiva) eo inverso (ou o inverso) são ambas verdadeiras ou ambas falsas, ele é conhecido como um bicondicional lógica .

Aplicação

Porque o contrapositiva de uma declaração sempre tem o mesmo valor de verdade (verdade ou falsidade) como a própria declaração, ele pode ser uma ferramenta poderosa para provar matemáticas teoremas . A prova por contraposição (contrapositiva) é uma prova direta da contrapositiva de um comunicado. No entanto, os métodos indirectos, tais como à prova por contradição também pode ser utilizado com contraposição, como, por exemplo, na prova da irracionalidade da raiz quadrada de dois . Pela definição de um número racional , a declaração pode ser feita que " Se é racional, então ele pode ser expressa como uma fração irredutível ". Esta afirmação é verdadeira porque é uma reafirmação de uma definição. O contrapositiva desta declaração é " Se não pode ser expresso como uma fração irredutível, então não é racional ". Este contrapositiva, como a declaração original, também é verdade . Portanto, se puder ser provado que não pode ser expresso como uma fração irredutível, então ele deve ser o caso que não é um número racional. Este último pode ser provado por contradição.

O exemplo anterior empregue o contrapositiva de uma definição para provar um teorema. Pode-se também provar um teorema provando o contrapositiva da declaração do teorema. Para provar que se um inteiro positivo N é um número não-quadrado , sua raiz quadrada é irracional , podemos equivalentemente provar sua contrapositiva, que se um inteiro positivo N tem uma raiz quadrada que é racional, então N é um número quadrado. Isto pode ser demonstrado através da criação N igual ao racional expressão a / b com um e b sendo neros inteiros positivos com nenhuma factor primo comum, e em quadratura para se obter N = um 2 / b 2 e notar que uma vez que N é um número inteiro positivo b = 1, de modo que N = um 2 , um número quadrado.

Correspondência para outras estruturas matemáticas

cálculo de probabilidades

Contraposição representa um exemplo do teorema de Bayes , que numa forma específica pode ser expressa como:

.

Na equação acima da probabilidade condicional generaliza a declaração lógica , ou seja, além de atribuir VERDADEIRO ou FALSO também podemos atribuir qualquer probabilidade do comunicado. O termo denota a taxa de base (também conhecida como. A probabilidade anterior ) de . Suponha que é equivalente a ser verdadeiro, e que é equivalente a ser FALSE. Em seguida, é fácil ver que , quando isto é, quando é TRUE. Isto é por causa de modo a que a fracção do lado da mão direita da equação acima é igual a 1, e, portanto, o que equivale a ser verdadeiro. Assim, o teorema de Bayes representa uma generalização de contraposição .

lógica subjetiva

Contraposição representa uma instância do teorema de Bayes subjetivo na lógica subjetiva expressa como:

,

onde denota um par de opiniões condicionais binomial dadas por fonte . O parâmetro indica a taxa de base (também conhecida como. A probabilidade anterior ) de . O par de opiniões condicionais invertidos é denotado . O parecer condicional generaliza a declaração lógica , ou seja, para além da atribuição de VERDADEIRO ou FALSO a fonte pode atribuir qualquer opinião subjetiva com o comunicado. O caso em que é uma opinião VERDADEIRO absoluta é equivalente a fonte dizendo que é verdade, e o caso em que é uma opinião FALSE absoluta é equivalente a fonte dizendo que é FALSE. No caso quando o parecer condicional é absoluta verdade que a Bayes subjetiva operador teorema da lógica subjetiva produz um parecer condicional FALSE absoluta e, assim, um parecer condicional VERDADEIRO absoluta que é equivalente ao ser verdadeiro. Assim, a Bayes subjetiva teorema representa uma generalização de ambos contraposição e de Bayes Teorema .

Veja também

Referências

Fontes

  • Audun Jøsang, 2016, lógica subjetiva; Um formalismo para raciocinio com incerteza Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

links externos