Portão NÃO controlado - Controlled NOT gate

Em ciência da computação , a porta NOT controlada (também C-NOT ou CNOT ) é uma porta lógica quântica que é um componente essencial na construção de um computador quântico baseado em porta . Ele pode ser usado para emaranhar e desembaraçar os estados de Bell . Qualquer circuito quântico pode ser simulado com um grau arbitrário de precisão usando uma combinação de portas CNOT e rotações de qubit simples .

A porta também é usada na computação reversível clássica .

Operação

A porta CNOT opera em um registrador quântico que consiste em 2 qubits. A porta CNOT inverte o segundo qubit (o qubit alvo) se e somente se o primeiro qubit (o qubit de controle) for . ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Antes		Depois de
Ao controle	Alvo	Ao controle	Alvo
${\ displaystyle | 0 \ rangle}$	${\ displaystyle | 0 \ rangle}$	${\ displaystyle | 0 \ rangle}$	${\ displaystyle | 0 \ rangle}$
${\ displaystyle | 0 \ rangle}$	${\ displaystyle | 1 \ rangle}$	${\ displaystyle | 0 \ rangle}$	${\ displaystyle | 1 \ rangle}$
${\ displaystyle | 1 \ rangle}$	${\ displaystyle | 0 \ rangle}$	${\ displaystyle | 1 \ rangle}$	${\ displaystyle | 1 \ rangle}$
${\ displaystyle | 1 \ rangle}$	${\ displaystyle | 1 \ rangle}$	${\ displaystyle | 1 \ rangle}$	${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

Se forem os únicos valores de entrada permitidos para ambos os qubits, a saída TARGET da porta CNOT corresponde ao resultado de uma porta XOR clássica . Fixando CONTROL como , a saída TARGET da porta CNOT produz o resultado de uma porta NOT clássica . ${\ displaystyle \ {| 0 \ rangle, | 1 \ rangle \}}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Mais geralmente, as entradas podem ser uma superposição linear de . A porta CNOT transforma o estado quântico: ${\ displaystyle \ {| 0 \ rangle, | 1 \ rangle \}}$

${\ displaystyle a | 00 \ rangle + b | 01 \ rangle + c | 10 \ rangle + d | 11 \ rangle}$

em:

${\ displaystyle a | 00 \ rangle + b | 01 \ rangle + c | 11 \ rangle + d | 10 \ rangle}$

A ação da porta CNOT pode ser representada pela matriz ( forma de matriz de permutação ):

${\ displaystyle \ operatorname {CNOT} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}}.}$

A primeira realização experimental de uma porta CNOT foi realizada em 1995. Aqui, um único íon berílio em uma armadilha foi usado. Os dois qubits foram codificados em um estado óptico e no estado vibracional do íon dentro da armadilha. No momento do experimento, a confiabilidade da operação CNOT foi medida em cerca de 90%.

Além de uma porta NOT controlada regular, pode-se construir uma porta NOT controlada por função, que aceita um número arbitrário n +1 de qubits como entrada, onde n +1 é maior ou igual a 2 (um registrador quântico ). Esta porta inverte o último qubit do registrador se e somente se uma função embutida, com os primeiros n qubits como entrada, retornar um 1. A porta NOT controlada por função é um elemento essencial do algoritmo Deutsch-Jozsa .

Comportamento na base transformada de Hadamard

Quando visto apenas na base computacional , o comportamento do C _NOT parece ser como a porta clássica equivalente. No entanto, a simplicidade de rotular um qubit de controle e o outro de destino não reflete a complexidade do que acontece para a maioria dos valores de entrada de ambos os qubits. ${\ displaystyle \ {| 0 \ rangle, | 1 \ rangle \}}$

O insight pode ser obtido expressando a porta CNOT em relação a uma base transformada de Hadamard . A base transformada de Hadamard de um registrador de um qubit é dada por ${\ displaystyle \ {| + \ rangle, | - \ rangle \}}$

${\ displaystyle | + \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle), \ qquad | - \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle - | 1 \ rangle),}$

e a base correspondente de um registro de 2 qubit é

${\ displaystyle | ++ \ rangle = | + \ rangle \ otimes | + \ rangle = {\ frac {1} {2}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) \ otimes (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) = {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle + | 01 \ rangle + | 10 \ rangle + | 11 \ rangle)}$,

etc. Visualizando CNOT nesta base, o estado do segundo qubit permanece inalterado, e o estado do primeiro qubit é invertido, de acordo com o estado do segundo bit. (Para obter detalhes, veja abaixo.) "Assim, nesta base, o sentido de qual bit é o bit de controle e qual bit de destino foi revertido. Mas não mudamos a transformação de forma alguma, apenas a maneira como estamos pensando sobre ela."

A base "computacional" é a base própria para o spin na direção Z, enquanto a base de Hadamard é a base própria para o spin na direção X. Trocar X e Z e qubits 1 e 2, então, recupera a transformação original. "Isso expressa uma simetria fundamental da porta CNOT. ${\ displaystyle \ {| 0 \ rangle, | 1 \ rangle \}}$${\ displaystyle \ {| + \ rangle, | - \ rangle \}}$

A observação de que ambos os qubits são (igualmente) afetados em uma interação C _NOT é importante quando se considera o fluxo de informações em sistemas quânticos emaranhados.

Detalhes do cálculo

Passamos agora a fornecer os detalhes do cálculo. Trabalhando através de cada um dos estados da base de Hadamard, o primeiro qubit alterna entre e quando o segundo qubit é : ${\ displaystyle | + \ rangle}$${\ displaystyle | - \ rangle}$${\ displaystyle | - \ rangle}$

Estado inicial na base de Hadamard	Estado equivalente em base computacional	Aplicar operador	Estado na base computacional após C NOT	Estado equivalente na base de Hadamard
${\ displaystyle | ++ \ rangle}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle + | 01 \ rangle + | 10 \ rangle + | 11 \ rangle)}$	C NÃO	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle + | 01 \ rangle + | 11 \ rangle + | 10 \ rangle)}$	${\ displaystyle | ++ \ rangle}$
${\ displaystyle | + - \ rangle}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle - | 01 \ rangle + | 10 \ rangle - | 11 \ rangle)}$	C NÃO	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle - | 01 \ rangle + | 11 \ rangle - | 10 \ rangle)}$	${\ displaystyle | - \ rangle}$
${\ displaystyle | - + \ rangle}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle + | 01 \ rangle - | 10 \ rangle - | 11 \ rangle)}$	C NÃO	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle + | 01 \ rangle - | 11 \ rangle - | 10 \ rangle)}$	${\ displaystyle | - + \ rangle}$
${\ displaystyle | - \ rangle}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle - | 01 \ rangle - | 10 \ rangle + | 11 \ rangle)}$	C NÃO	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle - | 01 \ rangle - | 11 \ rangle + | 10 \ rangle)}$	${\ displaystyle | + - \ rangle}$

Um circuito quântico que realiza uma transformada de Hadamard seguida por C _{NOT e} depois outra transformada de Hadamard pode ser descrito como realizando a porta CNOT na base de Hadamard (ou seja, uma mudança de base ):

(H ₁ ⊗ H ₁ ) ⁻¹ . C _NÃO . (H ₁ ⊗ H ₁ )

A transformada de Hadamard de um qubit, H ₁ , é hermitiana e, portanto, sua própria inversa. O produto tensorial de duas transformadas de Hadamard operando (independentemente) em dois qubits é rotulado como H ₂ . Podemos, portanto, escrever as matrizes como:

H ₂ . C _NÃO . H ₂

Quando multiplicado, isso produz uma matriz que troca os termos e , deixando os termos e sozinhos. Isso é equivalente a uma porta CNOT onde qubit 2 é o qubit de controle e qubit 1 é o qubit alvo: ${\ displaystyle | 01 \ rangle}$${\ displaystyle | 11 \ rangle}$${\ displaystyle | 00 \ rangle}$${\ displaystyle | 10 \ rangle}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {2}} & {\ begin {bmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \ end {array}} \ end {bmatrix}}. {\ Begin {bmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array} } \ end {bmatrix}}. {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \ end {array}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ begin {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ end {bmatrix}} \ end {alinhado}}}$

Construindo o Estado do Sino ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Uma aplicação comum da porta C _NOT é emaranhar ao máximo dois qubits no estado Bell ; isso faz parte da configuração dos algoritmos de codificação superdensa , teletransporte quântico e criptografia quântica emaranhada . ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

Para construir , as entradas A (controle) e B (alvo) para a porta C _NOT são: ${\ displaystyle | \ Phi ^ {+} \ rangle}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 0 \ rangle + | 1 \ rangle) _ {A}}$ e ${\ displaystyle | 0 \ rangle _ {B}}$

Depois de aplicar C _NOT , o estado de Bell resultante tem a propriedade de que os qubits individuais podem ser medidos usando qualquer base e sempre apresentarão uma chance de 50/50 de resolver para cada estado. Na verdade, os qubits individuais estão em um estado indefinido. A correlação entre os dois qubits é a descrição completa do estado dos dois qubits; se nós dois escolhermos a mesma base para medir os qubits e comparar as notas, as medições se correlacionarão perfeitamente. ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 00 \ rangle + | 11 \ rangle)}$

Quando visto na base computacional, parece que o qubit A está afetando o qubit B. Mudar nosso ponto de vista para a base de Hadamard demonstra que, de forma simétrica, o qubit B está afetando o qubit A.

O estado de entrada pode ser alternativamente visto como:

${\ displaystyle | + \ rangle _ {A}}$ e ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| + \ rangle + | - \ rangle) _ {B}}$

Na visualização Hadamard, os qubits de controle e de destino foram trocados conceitualmente e o qubit A é invertido quando o qubit B é . O estado de saída após a aplicação da porta C _NOT é o qual pode ser mostrado exatamente como . ${\ displaystyle | - \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| ++ \ rangle + | - \ rangle)}$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (| 00 \ rangle + | 11 \ rangle)}$

Portão C-ROT

A porta C-ROT ( rotação Rabi controlada ) é equivalente a uma porta C-NOT, exceto por uma rotação do spin nuclear em torno do eixo z. ${\ displaystyle \ pi / 2}$

Veja também

• Portão Toffoli (portão NÃO controlado controlado)

Notas

Referências

links externos

• Michael Westmoreland: "Isolamento e fluxo de informações na dinâmica quântica" - discussão em torno do portão C _não