Controvérsia sobre a teoria de Cantor - Controversy over Cantor's theory

Na lógica matemática , a teoria dos conjuntos infinitos foi desenvolvida pela primeira vez por Georg Cantor . Embora este trabalho tenha se tornado um acessório totalmente padrão da teoria clássica dos conjuntos , ele foi criticado em várias áreas por matemáticos e filósofos.

O teorema de Cantor implica que existem conjuntos com cardinalidade maior do que a cardinalidade infinita do conjunto de números naturais . O argumento de Cantor para este teorema é apresentado com uma pequena mudança. Este argumento pode ser melhorado usando uma definição que ele deu mais tarde. O argumento resultante usa apenas cinco axiomas da teoria dos conjuntos.

A teoria dos conjuntos de Cantor foi controversa no início, mas depois foi amplamente aceita. Em particular, tem havido objeções ao uso de conjuntos infinitos.

Argumento de Cantor

A primeira prova de Cantor de que conjuntos infinitos podem ter cardinalidades diferentes foi publicada em 1874. Essa prova demonstra que o conjunto de números naturais e o conjunto de números reais têm cardinalidades diferentes. Ele usa o teorema de que uma sequência crescente limitada de números reais tem um limite , que pode ser provado usando a construção dos números irracionais de Cantor ou Richard Dedekind . Como Leopold Kronecker não aceitou essas construções, Cantor foi motivado a desenvolver uma nova prova.

Em 1891, ele publicou "uma prova muito mais simples ... que não depende de considerar os números irracionais". Sua nova prova usa seu argumento diagonal para provar que existe um conjunto infinito com um número maior de elementos (ou maior cardinalidade) do que o conjunto de números naturais N  = {1, 2, 3, ...}. Este conjunto maior consiste nos elementos ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ...), onde cada x _n é m ou w . Cada um desses elementos corresponde a um subconjunto de N - ou seja, o elemento ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ...) corresponde a { n  ∈  N :   x _n  =  w }. Portanto, o argumento de Cantor implica que o conjunto de todos os subconjuntos de N tem maior cardinalidade de N . O conjunto de todos os subconjuntos de N é designado por P ( N ), o poder definir de N .

Cantor generalizou seu argumento para um conjunto arbitrário A e o conjunto que consiste em todas as funções de A a {0, 1}. Cada uma dessas funções corresponde a um subconjunto de uma , assim o seu argumento generalizada implica o teorema: O conjunto de potência P ( A ) tem uma maior cardinalidade do que um . Isso é conhecido como teorema de Cantor .

O argumento abaixo é uma versão moderna do argumento de Cantor que usa conjuntos de poder (para seu argumento original, veja o argumento diagonal de Cantor ). Apresentando um argumento moderno, é possível ver quais pressupostos da teoria dos conjuntos axiomáticos são usados. A primeira parte do argumento prova que N e P ( N ) têm cardinalidades diferentes:

• Existe pelo menos um conjunto infinito. Essa suposição (não especificada formalmente por Cantor) é capturada na teoria formal dos conjuntos pelo axioma do infinito . Este axioma implica que N , o conjunto de todos os números naturais, existe.
• P ( N ), o conjunto de todos os subconjuntos de N , existe. Na teoria formal dos conjuntos, isso está implícito no axioma do conjunto de potência , que diz que para cada conjunto existe um conjunto de todos os seus subconjuntos.
• O conceito de "ter o mesmo número" ou "ter a mesma cardinalidade" pode ser capturado pela ideia de correspondência um a um . Essa suposição (puramente definicional) às vezes é conhecida como princípio de Hume . Como disse Frege , "Se um garçom deseja ter certeza de colocar exatamente tantas facas em uma mesa quanto pratos, ele não precisa contar nenhum deles; tudo o que ele precisa fazer é colocar imediatamente à direita de cada prato um faca, tomando cuidado para que cada faca na mesa fique imediatamente à direita de um prato. Pratos e facas são, portanto, correlacionados um a um. " Conjuntos em tal correlação são chamados de equinumeros , e a correlação é chamada de correspondência um a um.
• Um conjunto não pode ser colocado em correspondência um a um com seu conjunto de potência. Isso implica que N e P ( N ) têm cardinalidades diferentes. Depende de muito poucas suposições da teoria dos conjuntos e, como John P. Mayberry coloca, é um "argumento simples e bonito" que está "repleto de consequências". Aqui está o argumento:

  Deixe ser um conjunto e ser seu conjunto de potência. O seguinte teorema será provado: Se é uma função de a então não é

  em . Este teorema implica que não há correspondência um-para-um entre e , uma vez que tal correspondência deve ser sobre. Prova do teorema: Definir o subconjunto diagonal Desde provando que para todos implicará que não é para. Let Then que implica Então se então e se então Visto que um desses conjuntos contém e o outro não, Portanto, não é a imagem de , então não é.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A),}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle D = \ {x \ in A: x \ notin f (x) \}.}$${\ displaystyle D \ in P (A),}$${\ displaystyle x \ in A, \, D \ neq f (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x \ in A.}$${\ displaystyle x \ in D \ Leftrightarrow x \ notin f (x),}$${\ displaystyle x \ notin D \ Leftrightarrow x \ in f (x).}$${\ displaystyle x \ in D,}$${\ displaystyle x \ notin f (x);}$${\ displaystyle x \ notin D,}$${\ displaystyle x \ in f (x).}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle D \ neq f (x).}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Em seguida, Cantor mostra que é equinumerous com um subconjunto de . Deste eo fato de que e têm diferentes cardinalidades, ele conclui que tem maior cardinalidade do que . Esta conclusão usa sua definição de 1878: Se A e B têm cardinalidades diferentes, então B é equinumeroso com um subconjunto de A (neste caso, B tem menos cardinalidade do que A ) ou A é equinumeroso com um subconjunto de B (neste caso , B tem maior cardinalidade do que A ). Isto deixa definição fora o caso em que A e B são equinumerous com um subconjunto de outro conjunto, isto é, uma é equinumerous com um subconjunto de B e B é equinumerous com um subconjunto de uma . Como Cantor implicitamente assumiu que as cardinalidades são ordenadas linearmente , esse caso não pode ocorrer. Depois de usar sua definição de 1878, Cantor afirmou que em um artigo de 1883 ele provou que as cardinalidades são bem ordenadas , o que implica que elas são ordenadas linearmente. Essa prova usou seu princípio de ordenação "todo conjunto pode ser bem ordenado", que ele chamou de "lei do pensamento". O princípio de boa ordenação é equivalente ao axioma da escolha . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle A}$

Por volta de 1895, Cantor começou a considerar o princípio da boa ordenação como um teorema e tentou prová-lo. Em 1895, Cantor também deu uma nova definição de "maior que", que define corretamente esse conceito sem a ajuda de seu princípio de ordenação. Usando a nova definição de Cantor, o argumento moderno de que P ( N ) tem maior cardinalidade do que N pode ser concluído usando suposições mais fracas do que seu argumento original:

• O conceito de "ter maior cardinalidade" pode ser capturado pela definição de Cantor 1895: B tem uma maior cardinalidade do que uma se (1) A é equinumerous com um subconjunto de B , e (2) B não é equinumerous com um subconjunto de uma . A cláusula (1) diz que B é pelo menos tão grande quanto A , o que é consistente com nossa definição de "ter a mesma cardinalidade". A cláusula (2) implica que o caso em que A e B são iguais a um subconjunto do outro conjunto é falso. Desde cláusula (2) diz que A não é pelo menos tão grande como B , as duas cláusulas juntos dizer que B é maior (tem maior cardinalidade) do que A .
• O conjunto de alimentação tem uma maior cardinalidade do que o que implica que P ( N ) tem maior cardinalidade do que N . Aqui está a prova: ${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle A,}$
  1. Defina o subconjunto Defina quais mapas em Visto que implica é uma correspondência um-para-um de a Portanto, é equinumeroso com um subconjunto de${\ displaystyle P_ {1} = \ {\, y \ in P (A): \ existe x \ in A \, (y = \ {x \}) \, \}.}$${\ displaystyle f (x) = \ {x \},}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P_ {1}.}$${\ displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}$${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}, \, f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P_ {1}.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A).}$
  2. Usando prova por contradição , suponha que um subconjunto de é igual a . Então, há uma correspondência um-a-um de para Definir de para se então se então Desde que mapeia para mapas em contradizendo o teorema acima, afirmando que uma função de para não é sobre. Portanto, não é igual a um subconjunto de${\ displaystyle A_ {1},}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle P (A).}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle P (A).}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A) {\ text {:}}}$${\ displaystyle x \ in A_ {1},}$${\ displaystyle h (x) = g (x);}$${\ displaystyle x \ in A \ setminus A_ {1},}$${\ displaystyle h (x) = \ {\, \}.}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle P (A), \, h}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A),}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle P (A)}$${\ displaystyle A.}$

Além dos axiomas de infinito e conjunto de poder, os axiomas de separação , extensionalidade e emparelhamento foram usados ​​no argumento moderno. Por exemplo, o axioma de separação foi usado para definir o subconjunto diagonal que o axioma de extensionalidade foi usado para provar e o axioma de emparelhamento foi usado na definição do subconjunto${\ displaystyle D,}$${\ displaystyle D \ neq f (x),}$${\ displaystyle P_ {1}.}$

Recepção do argumento

Inicialmente, a teoria de Cantor foi controversa entre matemáticos e (mais tarde) filósofos. Como Leopold Kronecker afirmou: "Não sei o que predomina na teoria de Cantor - filosofia ou teologia, mas tenho certeza de que não há matemática lá." Muitos matemáticos concordam com Kronecker que o infinito completo pode ser parte da filosofia ou da teologia , mas que não tem lugar apropriado na matemática. O lógico Wilfrid Hodges  ( 1998 ) comentou sobre a energia dedicada a refutar esse "pequeno argumento inofensivo" (isto é, o argumento diagonal de Cantor ) perguntando: "o que fez alguém para deixá-los zangados com ele?" O matemático Solomon Feferman se referiu às teorias de Cantor como "simplesmente irrelevantes para a matemática cotidiana".

Antes de Cantor, a noção de infinito era frequentemente considerada uma abstração útil que ajudava os matemáticos a raciocinar sobre o mundo finito; por exemplo, o uso de casos limites infinitos em cálculo . O infinito foi considerado como tendo no máximo uma existência potencial, ao invés de uma existência real. “O infinito real não existe. O que chamamos de infinito é apenas a possibilidade infinita de criar novos objetos, não importa quantos já existam”. As opiniões de Carl Friedrich Gauss sobre o assunto podem ser parafraseadas como: "O infinito nada mais é do que uma figura de linguagem que nos ajuda a falar sobre limites. A noção de um infinito completo não pertence à matemática." Em outras palavras, o único acesso que temos ao infinito é por meio da noção de limites e, portanto, não devemos tratar conjuntos infinitos como se eles tivessem uma existência exatamente comparável à existência de conjuntos finitos.

As ideias de Cantor acabaram sendo amplamente aceitas, fortemente apoiadas por David Hilbert , entre outros. Hilbert previu: "Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós." Ao que Wittgenstein respondeu "se uma pessoa pode vê-lo como um paraíso dos matemáticos, por que outra não deveria vê-lo como uma piada?" A rejeição das idéias infinitarias de Cantor influenciou o desenvolvimento de escolas de matemática, como o construtivismo e o intuicionismo .

Wittgenstein não se opôs ao formalismo matemático por atacado, mas tinha uma visão finitista do que significava a prova de Cantor. O filósofo sustentou que a crença nos infinitos surge da confusão da natureza intensional das leis matemáticas com a natureza extensional de conjuntos, sequências, símbolos etc. Uma série de símbolos é finita em sua opinião: Nas palavras de Wittgenstein: "... Uma curva não é composta de pontos, é uma lei que os pontos obedecem, ou ainda, uma lei segundo a qual os pontos podem ser construídos. "

Ele também descreveu o argumento diagonal como "hocus pocus" e não prova o que pretende fazer.

Objeção ao axioma do infinito

Uma objeção comum à teoria do número infinito de Cantor envolve o axioma do infinito (que é, de fato, um axioma e não uma verdade lógica ). Mayberry observou que "... os axiomas teóricos de conjuntos que sustentam a matemática moderna são evidentes em diferentes graus. Um deles - na verdade, o mais importante deles, chamado Axioma de Cantor, o chamado Axioma do Infinito - tem quase nenhuma alegação de auto-evidência ... "

Outra objeção é que o uso de conjuntos infinitos não é adequadamente justificado por analogia com conjuntos finitos. Hermann Weyl escreveu:

... a lógica clássica foi abstraída da matemática dos conjuntos finitos e seus subconjuntos…. Esquecendo-se dessa origem limitada, depois se confundiu essa lógica com algo acima e antes de toda matemática e, finalmente, aplicou-se, sem justificativa, à matemática dos conjuntos infinitos. Esta é a queda e o pecado original da teoria dos conjuntos [de Cantor] ... "

A dificuldade com o finitismo é desenvolver os fundamentos da matemática usando suposições finitistas, que incorporem o que todos considerariam razoavelmente como matemática (por exemplo, que inclui a análise real ).

Veja também

• Pré-intuicionismo

Notas

Referências

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" Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. "

Traduzido em Van Heijenoort, Jean , On the infinite , Harvard University Press

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• Wittgenstein (2001), Remarks on the Foundations of Mathematics (3ª ed.), Oxford

links externos

• 68ª opinião de Doron Zeilberger
• O argumento do filósofo Hartley Slater contra a ideia de "número" que sustenta a teoria dos conjuntos de Cantor
• Wolfgang Mueckenheim: Transfinity - A Source Book
• Hodges "Um editor relembra alguns papéis perdidos"