Converse (lógica) - Converse (logic)

Em lógica e matemática , o inverso de uma afirmação categórica ou implicacional é o resultado da reversão de suas duas afirmações constituintes. Para a implicação P → Q , o inverso é Q → P . Para a proposição categórica Todos S são P , o inverso é Todos P são S . De qualquer maneira, a verdade do inverso é geralmente independente daquela da afirmação original.

Conversa Implicacional

Diagrama de Venn de (a área branca mostra onde a afirmação é falsa)

{\ displaystyle A \ leftarrow B}

Seja S um enunciado da forma P implica Q ( P → Q ). Então, o inverso de S é a afirmação Q implica P ( Q → P ). Em geral, a verdade de S nada diz sobre a verdade de seu inverso, a menos que o antecedente P e o consequente Q sejam logicamente equivalentes.

Por exemplo, considere a afirmação verdadeira "Se eu sou um humano, então sou mortal." O inverso dessa afirmação é "Se eu sou mortal, então sou um humano", o que não é necessariamente verdade .

Por outro lado, o inverso de uma afirmação com termos mutuamente inclusivos permanece verdadeiro, dada a verdade da proposição original. Isso equivale a dizer que o inverso de uma definição é verdadeiro. Assim, a afirmação "Se eu sou um triângulo, então sou um polígono de três lados" é logicamente equivalente a "Se eu sou um polígono de três lados, então sou um triângulo", porque a definição de "triângulo" é " polígono de três lados ".

Uma tabela de verdade deixa claro que S e o inverso de S não são logicamente equivalentes, a menos que ambos os termos impliquem um no outro:

Converse propriedade em uma apresentação matemática simples

${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$	${\ displaystyle P \ leftarrow Q}$ (conversar)
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

Passar de uma afirmação para o seu inverso é a falácia de afirmar o consequente . No entanto, se a afirmação S e seu inverso forem equivalentes (isto é, P é verdadeiro se e somente se Q também for verdadeiro), então afirmar o consequente será válido.

A implicação inversa é logicamente equivalente à disjunção de e ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ neg Q}$

${\ displaystyle P \ leftarrow Q}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle \ lor}$	${\ displaystyle \ neg Q}$
	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ lor}$

Em linguagem natural, isso poderia ser traduzido como "não Q sem P ".

Converse de um teorema

Em matemática, o inverso de uma teorema da forma P → Q será Q → P . O inverso pode ou não ser verdadeiro e, mesmo se verdadeiro, a prova pode ser difícil. Por exemplo, o teorema dos quatro vértices foi provado em 1912, mas seu inverso foi provado apenas em 1997.

Na prática, ao determinar o inverso de um teorema matemático, os aspectos do antecedente podem ser considerados como estabelecendo o contexto. Ou seja, o inverso de "Dado P, se Q então R " será "Dado P, se R então Q " . Por exemplo, o teorema de Pitágoras pode ser declarado como:

Dado um triângulo com lados de comprimento , e , se o ângulo oposto ao lado do comprimento for um ângulo reto, então . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

O inverso, que também aparece em de Euclides Elements (Livro I, Proposição 48), pode ser declarado como:

Dado um triângulo com lados de comprimento , e , se , em seguida, o ângulo oposto ao lado de comprimento é um ângulo recto. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ ${\ displaystyle c}$

Converso de uma relação

Se for uma relação binária com, então a relação inversa também é chamada de transposta . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R \ subseteq A \ times B,}$ ${\ displaystyle R ^ {T} = \ {(b, a) :( a, b) \ in R \}}$

Notação

O inverso da implicação P → Q pode ser escrito Q → P , , mas pode também ser notado , ou "B pq " (na notação Bochenski ). ${\ displaystyle P \ leftarrow Q}$ ${\ displaystyle P \ subset Q}$

Conversa categórica

Na lógica tradicional, o processo de ir de "Todos os S são P" para o inverso "Todos os P são S" é chamado de conversão . Nas palavras de Asa Mahan :

"A proposição original é chamada de exposita; quando convertida, é denominada inversa. A conversão é válida quando, e somente quando, nada é afirmado no inverso que não seja afirmado ou implícito na exposita."

O "exposita" é mais comumente chamado de "convertendo". Em sua forma simples, a conversão é válida apenas para as proposições E e I :

Modelo	Convertend	Conversa simples	Converse por acidente (válido se P existir)
UMA	Todos S são P	inválido	Algum P é S
E	Não S é P	Não P é S	Algum P não é S
eu	Algum S é P	Algum P é S	-
O	Algum S não é P	inválido	-

A validade da conversão simples apenas para as proposições E e I pode ser expressa pela restrição de que "Nenhum termo deve ser distribuído no inverso que não seja distribuído no convertido." Para as proposições E , tanto o sujeito quanto o predicado são distribuídos , enquanto para as proposições I , nenhum dos dois é.

Para as proposições A , o sujeito é distribuído enquanto o predicado não e, portanto, a inferência de uma afirmação A para o seu inverso não é válida. Como exemplo, para a proposição A "Todos os gatos são mamíferos", o inverso "Todos os mamíferos são gatos" é obviamente falso. No entanto, a afirmação mais fraca "Alguns mamíferos são gatos" é verdadeira. Os lógicos definem a conversão por acidente como o processo de produção dessa declaração mais fraca. A inferência de uma afirmação para seu inverso por acidente é geralmente válida. No entanto, como acontece com os silogismos , essa mudança do universal para o particular causa problemas com categorias vazias: "Todos os unicórnios são mamíferos" costuma ser considerada verdadeira, enquanto o inverso per accidens "Alguns mamíferos são unicórnios" é claramente falso.

No cálculo de predicados de primeira ordem , todos os S são P podem ser representados como . É, portanto, claro que o contrário categórica está intimamente relacionado com o inverso implicacional, e que S e P não pode ser trocado em todos s são P . ${\ displaystyle \ forall xS (x) \ a P (x)}$

Veja também

Referências

Leitura adicional

Aristóteles . Organon .
Copi, Irving . Introdução à lógica . MacMillan, 1953.
Copi, Irving. Lógica Simbólica . MacMillan, 1979, quinta edição.
Stebbing, Susan . Uma introdução moderna à lógica . Cromwell Company, 1931.

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