Polígono convexo - Convex polygon

Um exemplo de polígono convexo: um pentágono regular .

Um polígono convexo é um polígono simples (sem interseção automática ) em que nenhum segmento de linha entre dois pontos na fronteira sai do polígono. Equivalentemente, é um polígono simples cujo interior é um conjunto convexo . Em um polígono convexo, todos os ângulos internos são menores ou iguais a 180 graus, enquanto em um polígono estritamente convexo todos os ângulos internos são estritamente menores que 180 graus.

Propriedades

As seguintes propriedades de um polígono simples são equivalentes à convexidade:

  • Cada ângulo interno é estritamente inferior a 180 graus .
  • Cada ponto em cada segmento de linha entre dois pontos dentro ou no limite do polígono permanece dentro ou no limite.
  • O polígono está inteiramente contido em um semiplano fechado definido por cada uma de suas arestas.
  • Para cada aresta, os pontos internos estão todos no mesmo lado da linha que a aresta define.
  • O ângulo em cada vértice contém todos os outros vértices em suas arestas e interior.
  • O polígono é a casca convexa de suas bordas.

Propriedades adicionais de polígonos convexos incluem:

  • A interseção de dois polígonos convexos é um polígono convexo.
  • Um polígono convexo pode ser triangulado no tempo linear através de uma triangulação em leque , consistindo em adicionar diagonais de um vértice a todos os outros vértices.
  • Teorema de Helly : Para cada coleção de pelo menos três polígonos convexos: se a interseção de cada três deles for não vazia, a coleção inteira terá uma interseção não vazia.
  • Teorema de Kerin-Milman : Um polígono convexo é a casca convexa de seus vértices. Assim, ele é totalmente definido pelo conjunto de seus vértices, sendo necessários apenas os cantos do polígono para recuperar toda a forma do polígono.
  • Teorema da separação de hiperplanos : quaisquer dois polígonos convexos sem pontos em comum têm uma linha separadora. Se os polígonos são fechados e pelo menos um deles é compacto, então existem até duas linhas separadoras paralelas (com um intervalo entre elas).
  • Propriedade de triângulo inscrita : De todos os triângulos contidos em um polígono convexo, existe um triângulo com uma área máxima cujos vértices são todos vértices de polígonos.
  • Inscrevendo triângulo propriedade: cada polígono convexo com área A pode ser inscrito em um triângulo de área, no máximo, igual a 2 A . A igualdade é válida (exclusivamente) para um paralelogramo .
  • Propriedade dos retângulos inscritos / inscritos : Para cada corpo convexo C no plano, podemos inscrever um retângulo r em C de modo que uma cópia homotética R de r seja circunscrita em torno de C e a razão de homotetia positiva seja no máximo 2 e .
  • A largura média de um polígono convexo é igual ao seu perímetro dividido por pi. Portanto, sua largura é o diâmetro de um círculo com o mesmo perímetro do polígono.

Cada polígono inscrito em um círculo (de modo que todos os vértices do polígono tocam o círculo), se não se auto-interseccionam , é convexo. No entanto, nem todo polígono convexo pode ser inscrito em um círculo.

Convexidade estrita

As seguintes propriedades de um polígono simples são equivalentes à convexidade estrita:

  • Cada ângulo interno é estritamente inferior a 180 graus.
  • Cada segmento de linha entre dois pontos no interior, ou entre dois pontos no limite, mas não na mesma aresta, é estritamente interno ao polígono (exceto em seus pontos finais, se eles estiverem nas arestas).
  • Para cada aresta, os pontos internos e os pontos de limite não contidos na aresta estão no mesmo lado da linha que a aresta define.
  • O ângulo em cada vértice contém todos os outros vértices em seu interior (exceto o vértice dado e os dois vértices adjacentes).

Todo triângulo não degenerado é estritamente convexo.

Veja também

Referências

  1. ^ Definição e propriedades de polígonos convexos com animação interativa.
  2. ^ -, Christos. "A área de intersecção dos polígonos convexos é sempre convexa?" . Math Stack Exchange .CS1 maint: nomes numéricos: lista de autores ( link )
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Triangle Circumscribing" . Wolfram Math World .
  4. ^ Lassak, M. (1993). “Aproximação de corpos convexos por retângulos”. Geometriae Dedicata . 47 : 111–117. doi : 10.1007 / BF01263495 . S2CID  119508642 .
  5. ^ Jim Belk. "Qual é a largura média de um polígono convexo?" . Math Stack Exchange .

links externos