Sistema de coordenadas - Coordinate system
Em geometria , um sistema de coordenadas é um sistema que usa um ou mais números , ou coordenadas , para determinar exclusivamente a posição dos pontos ou outros elementos geométricos em uma variedade , como o espaço euclidiano . A ordem das coordenadas é significativa, e às vezes são identificadas por sua posição em uma tupla ordenada e às vezes por uma letra, como em "a coordenada x ". As coordenadas são consideradas números reais em matemática elementar , mas podem ser números complexos ou elementos de um sistema mais abstrato, como um anel comutativo . O uso de um sistema de coordenadas permite que problemas em geometria sejam traduzidos em problemas sobre números e vice-versa ; esta é a base da geometria analítica .
Sistemas de coordenadas comuns
Linha numérica
O exemplo mais simples de um sistema de coordenadas é a identificação de pontos em uma linha com números reais usando a linha numérica . Nesse sistema, um ponto arbitrário O (a origem ) é escolhido em uma determinada linha. A coordenada de um ponto P é definida como a distância sinalizada de O a P , onde a distância sinalizada é a distância considerada positiva ou negativa dependendo de qual lado da linha P está. Cada ponto recebe uma coordenada única e cada número real é a coordenada de um ponto único.
Sistema de coordenada cartesiana
O exemplo prototípico de um sistema de coordenadas é o sistema de coordenadas cartesiano . No plano , duas linhas perpendiculares são escolhidas e as coordenadas de um ponto são consideradas as distâncias assinaladas às linhas.
Em três dimensões, três planos mutuamente ortogonais são escolhidos e as três coordenadas de um ponto são as distâncias sinalizadas para cada um dos planos. Isso pode ser generalizado para criar coordenadas n para qualquer ponto no espaço euclidiano n- dimensional.
Dependendo da direção e ordem dos eixos de coordenadas, o sistema tridimensional pode ser um sistema para destros ou canhotos. Este é um dos muitos sistemas de coordenadas.
Sistema de coordenadas polares
Outro sistema de coordenadas comum para o plano é o sistema de coordenadas polares . Um ponto é escolhido como o pólo e um raio desse ponto é considerado o eixo polar . Para um dado ângulo θ, existe uma única linha através do pólo cujo ângulo com o eixo polar é θ (medido no sentido anti-horário do eixo até a linha). Então, há um ponto único nesta linha cuja distância sinalizada da origem é r para o número r dado . Para um determinado par de coordenadas ( r , θ), há um único ponto, mas qualquer ponto é representado por muitos pares de coordenadas. Por exemplo, ( r , θ), ( r , θ + 2π) e (- r , θ + π) são todas coordenadas polares para o mesmo ponto. O pólo é representado por (0, θ) para qualquer valor de θ.
Sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas
Existem dois métodos comuns para estender o sistema de coordenadas polares para três dimensões. No sistema de coordenadas cilíndricas , uma coordenada z com o mesmo significado que nas coordenadas cartesianas é adicionada às coordenadas polares r e θ dando um triplo ( r , θ , z ). Coordenadas esféricas levam isso um passo adiante, convertendo o par de coordenadas cilíndricas ( r , z ) em coordenadas polares ( ρ , φ ) dando um triplo ( ρ , θ , φ ).
Sistema de coordenadas homogêneo
Um ponto no plano pode ser representado em coordenadas homogêneas por um triplo ( x , y , z ) onde x / z e y / z são as coordenadas cartesianas do ponto. Isso introduz uma coordenada "extra", uma vez que apenas duas são necessárias para especificar um ponto no plano, mas este sistema é útil porque representa qualquer ponto no plano projetivo sem o uso do infinito . Em geral, um sistema de coordenadas homogêneo é aquele em que apenas as proporções das coordenadas são significativas e não os valores reais.
Outros sistemas comumente usados
Alguns outros sistemas de coordenadas comuns são os seguintes:
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Coordenadas curvilíneas são uma generalização dos sistemas de coordenadas em geral; o sistema é baseado na interseção de curvas.
- Coordenadas ortogonais : as superfícies de coordenadas se encontram em ângulos retos
- Coordenadas de inclinação : as superfícies de coordenadas não são ortogonais
- O sistema de coordenadas log-polares representa um ponto no plano pelo logaritmo da distância da origem e um ângulo medido a partir de uma linha de referência que cruza a origem.
- As coordenadas de Plücker são uma forma de representar linhas no espaço euclidiano 3D usando seis tuplas de números como coordenadas homogêneas .
- Coordenadas generalizadas são usadas no tratamento Lagrangiano da mecânica.
- Coordenadas canônicas são usadas no tratamento hamiltoniano da mecânica.
- Sistema de coordenadas baricêntrico usado para gráficos ternários e, mais geralmente, na análise de triângulos .
- Coordenadas trilineares são usadas no contexto de triângulos.
Existem maneiras de descrever curvas sem coordenadas, usando equações intrínsecas que usam quantidades invariantes, como curvatura e comprimento do arco . Esses incluem:
- A equação de Whewell relaciona o comprimento do arco e o ângulo tangencial .
- A equação de Cesàro relaciona o comprimento do arco e a curvatura.
Coordenadas de objetos geométricos
Os sistemas de coordenadas são freqüentemente usados para especificar a posição de um ponto, mas também podem ser usados para especificar a posição de figuras mais complexas, como linhas, planos, círculos ou esferas . Por exemplo, as coordenadas de Plücker são usadas para determinar a posição de uma linha no espaço. Quando houver necessidade, o tipo de figura que está sendo descrito é usado para distinguir o tipo de sistema de coordenadas, por exemplo, o termo coordenadas de linha é usado para qualquer sistema de coordenadas que especifica a posição de uma linha.
Pode ocorrer que os sistemas de coordenadas para dois conjuntos diferentes de figuras geométricas sejam equivalentes em termos de sua análise. Um exemplo disso são os sistemas de coordenadas homogêneas para pontos e retas no plano projetivo. Os dois sistemas em um caso como este são considerados dualísticos . Os sistemas dualísticos têm a propriedade de que os resultados de um sistema podem ser transportados para outro, uma vez que esses resultados são apenas interpretações diferentes do mesmo resultado analítico; isso é conhecido como o princípio da dualidade .
Transformações
Como muitas vezes existem muitos sistemas de coordenadas possíveis para descrever figuras geométricas, é importante entender como elas estão relacionadas. Essas relações são descritas por transformações de coordenadas que fornecem fórmulas para as coordenadas em um sistema em termos das coordenadas em outro sistema. Por exemplo, no plano, se as coordenadas cartesianas ( x , y ) e as coordenadas polares ( r , θ ) têm a mesma origem, e o eixo polar é o eixo x positivo , então a transformação das coordenadas polares para cartesianas é dada por x = r cos q e y = r pecado θ .
Com cada bijeção do espaço para si mesmo, duas transformações de coordenadas podem ser associadas:
- de forma que as novas coordenadas da imagem de cada ponto sejam iguais às antigas coordenadas do ponto original (as fórmulas para o mapeamento são o inverso daquelas para a transformação das coordenadas)
- de forma que as coordenadas antigas da imagem de cada ponto sejam as mesmas que as novas coordenadas do ponto original (as fórmulas para o mapeamento são as mesmas para a transformação das coordenadas)
Por exemplo, em 1D , se o mapeamento é uma translação de 3 para a direita, o primeiro move a origem de 0 para 3, de modo que a coordenada de cada ponto se torna 3 a menos, enquanto o segundo move a origem de 0 para −3 , de modo que a coordenada de cada ponto se torna mais 3.
Coordenar linhas / curvas e planos / superfícies
Em duas dimensões, se uma das coordenadas em um sistema de coordenadas de ponto for mantida constante e a outra coordenada puder variar, então a curva resultante é chamada de curva de coordenadas . No sistema de coordenadas cartesiano, as curvas de coordenadas são, na verdade, linhas retas , portanto, linhas de coordenadas . Especificamente, eles são as linhas paralelas a um dos eixos coordenados. Para outros sistemas de coordenadas, as curvas de coordenadas podem ser curvas gerais. Por exemplo, as curvas de coordenadas em coordenadas polares obtidas mantendo r constante são os círculos com centro na origem. Um sistema de coordenadas para o qual algumas curvas de coordenadas não são linhas é chamado de sistema de coordenadas curvilíneas . Este procedimento nem sempre faz sentido, por exemplo, não existem curvas de coordenadas em um sistema de coordenadas homogêneo .
No espaço tridimensional, se uma coordenada é mantida constante e as outras duas podem variar, a superfície resultante é chamada de superfície de coordenada . Por exemplo, as superfícies de coordenadas obtidas mantendo ρ constante no sistema de coordenadas esféricas são as esferas com centro na origem. No espaço tridimensional, a interseção de duas superfícies de coordenadas é uma curva de coordenadas. No sistema de coordenadas cartesianas, podemos falar de planos de coordenadas .
Da mesma forma, as hipersuperfícies de coordenadas são os espaços ( n - 1) -dimensionais resultantes da fixação de uma única coordenada de um sistema de coordenadas n- dimensional.
Mapas de coordenadas
O conceito de mapa de coordenadas ou gráfico de coordenadas é fundamental para a teoria das variedades. Um mapa de coordenadas é essencialmente um sistema de coordenadas para um subconjunto de um determinado espaço com a propriedade de que cada ponto tem exatamente um conjunto de coordenadas. Mais precisamente, um mapa de coordenadas é um homeomorfismo de um subconjunto aberto de um espaço X para um subconjunto aberto de R n . Freqüentemente, não é possível fornecer um sistema de coordenadas consistente para um espaço inteiro. Nesse caso, uma coleção de mapas de coordenadas são reunidos para formar um atlas cobrindo o espaço. Um espaço equipado com tal atlas é chamado de variedade e uma estrutura adicional pode ser definida em uma variedade se a estrutura for consistente onde os mapas de coordenadas se sobrepõem. Por exemplo, uma variedade diferenciável é uma variedade em que a mudança de coordenadas de um mapa de coordenadas para outro é sempre uma função diferenciável.
Coordenadas baseadas em orientação
Em geometria e cinemática , os sistemas de coordenadas são usados para descrever a posição (linear) de pontos e a posição angular de eixos, planos e corpos rígidos . No último caso, a orientação de um segundo sistema de coordenadas (normalmente referido como "local"), fixo ao nó, é definida com base no primeiro (normalmente referido como sistema de coordenadas "global" ou "mundial"). Por exemplo, a orientação de um corpo rígido pode ser representada por uma matriz de orientação , que inclui, em suas três colunas, as coordenadas cartesianas de três pontos. Esses pontos são usados para definir a orientação dos eixos do sistema local; eles são as pontas de três vetores unitários alinhados com esses eixos.
Veja também
- Momento angular absoluto
- Grade alfanumérica
- Convenções de eixos em engenharia
- Sistema de coordenadas celestes
- Livre de coordenadas
- Coordenadas fracionárias
- Quadro de Referência
- Transformação galileana
- Referência de grade
- Nomograma , representações gráficas de diferentes sistemas de coordenadas
- Sistema de referência
- Rotação de eixos
- Tradução de eixos
Sistemas de coordenadas relativísticas
Referências
Citações
Origens
- Voitsekhovskii, MI; Ivanov, AB (2001) [1994], "Coordinates" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Woods, Frederick S. (1922). Geometria superior . Ginn and Co. pp. 1ff.
- Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Geometria de formas diferenciais . Livraria AMS. p. 12. ISBN 0-8218-1045-6.