Covariância e contravariância de vetores - Covariance and contravariance of vectors

UMA  vetor, v , representado em termos de
base tangente
  e 1 , e 2 , e 3 para o curvas de coordenadas ( esquerda ),
base dupla, base de covetor ou base recíproca
  e 1 , e 2 , e 3 a superfícies coordenadas ( direita ),
em coordenadas curvilíneas gerais 3-d ( q 1 , q 2 , q 3 ) , uma tupla de números para definir um ponto em um espaço de posição . Observe que a base e a cobase coincidem apenas quando a base é ortogonal .

Na álgebra multilinear e na análise de tensores , a covariância e a contravariância descrevem como a descrição quantitativa de certas entidades geométricas ou físicas muda com uma mudança de base .

Na física, às vezes se pensa em uma base como um conjunto de eixos de referência. Uma mudança de escala nos eixos de referência corresponde a uma mudança de unidades no problema. Por exemplo, mudando a escala de metros para centímetros (ou seja, dividindo a escala dos eixos de referência por 100), os componentes de um vetor de velocidade medido são multiplicados por 100. Os vetores exibem este comportamento de mudança de escala inversamente às mudanças de escala para os eixos de referência e conseqüentemente são chamados de contravariantes . Como resultado, os vetores geralmente têm unidades de distância ou distância com outras unidades (como, por exemplo, a velocidade tem unidades de distância divididas pelo tempo).

Em contraste, covetores (também chamados de vetores duais ) normalmente têm unidades do inverso da distância ou do inverso da distância com outras unidades. Um exemplo de covetor é o gradiente , que possui unidades de uma derivada espacial , ou distância -1 . Os componentes dos covetores mudam da mesma forma que as mudanças na escala dos eixos de referência e, conseqüentemente, são chamados de covariantes .

Um terceiro conceito relacionado à covariância e contravariância é a invariância . Um exemplo de um observável físico que não muda com uma mudança de escala nos eixos de referência é a massa de uma partícula, que tem unidades de massa (ou seja, nenhuma unidade de distância). O valor escalar único da massa é independente das mudanças na escala dos eixos de referência e, conseqüentemente, é chamado de invariante .

Sob mudanças mais gerais na base:

  • Um vetor contravariante ou vetor tangente (freqüentemente abreviado simplesmente como vetor , como um vetor de direção ou vetor de velocidade) tem componentes que variam em contra-variação com uma mudança de base para compensar. Ou seja, a matriz que transforma os componentes do vetor deve ser o inverso da matriz que transforma os vetores de base. Os componentes dos vetores (em oposição aos dos covetores) são considerados contravariantes . Exemplos de vetores com componentes contravariantes incluem a posição de um objeto em relação a um observador, ou qualquer derivada da posição com respeito ao tempo, incluindo velocidade, aceleração e solavanco . Na notação de Einstein , os componentes contravariantes são denotados com índices superiores como em
    (nota: soma implícita sobre o índice "i")
  • Um vector covariante ou vector de co-tangente (muitas vezes abreviado como covector ) tem componentes que co-variam com uma mudança de base. Ou seja, os componentes devem ser transformados pela mesma matriz da mudança da matriz de base. Os componentes dos covetores (em oposição aos dos vetores) são considerados covariantes . Exemplos de vetores covariantes geralmente aparecem ao obter um gradiente de uma função. Na notação de Einstein , os componentes covariantes são denotados com índices mais baixos como em

Sistemas de coordenadas curvilíneas , como coordenadas cilíndricas ou esféricas , são freqüentemente usados ​​em problemas físicos e geométricos. Associada a qualquer sistema de coordenadas está uma escolha natural de base de coordenadas para vetores baseados em cada ponto do espaço, e covariância e contravariância são particularmente importantes para entender como a descrição de coordenadas de um vetor muda passando de um sistema de coordenadas para outro.

Os termos covariante e contravariante foram introduzidos por James Joseph Sylvester em 1851 no contexto da teoria das formas algébricas associadas. Tensores são objetos na álgebra multilinear que podem ter aspectos de covariância e contravariância.

No léxico da teoria das categorias , covariância e contravariância são propriedades de functores ; infelizmente, são os objetos de índice inferior (covetores) que genericamente têm recuos , que são contravariantes, enquanto os objetos de índice superior (vetores) têm pushforward , que são covariantes. Esse conflito terminológico pode ser evitado chamando-se functores contravariantes de "co-fundadores" - de acordo com a terminologia do "covetor", e continuando a tradição de tratar vetores como o conceito e covetores como coconceito.

Introdução

Na física, um vetor normalmente surge como o resultado de uma medição ou série de medições e é representado como uma lista (ou tupla ) de números, como

Os números na lista dependem da escolha do sistema de coordenadas . Por exemplo, se o vetor representa a posição em relação a um observador ( vetor de posição ), então o sistema de coordenadas pode ser obtido a partir de um sistema de hastes rígidas, ou eixos de referência, ao longo dos quais os componentes v 1 , v 2 e v 3 são medido. Para que um vetor represente um objeto geométrico, deve ser possível descrever sua aparência em qualquer outro sistema de coordenadas. Ou seja, os componentes dos vetores irão se transformar de uma certa maneira ao passar de um sistema de coordenadas para outro.

Um vetor contravariante tem componentes que "se transformam como as coordenadas" sob mudanças de coordenadas (e, portanto, inversamente à transformação dos eixos de referência), incluindo rotação e dilatação. O próprio vetor não muda nessas operações ; em vez disso, os componentes do vetor mudam de uma maneira que cancela a mudança nos eixos espaciais, da mesma forma que as coordenadas mudam. Em outras palavras, se os eixos de referência girassem em uma direção, a representação do componente do vetor giraria exatamente na direção oposta. Da mesma forma, se os eixos de referência fossem alongados em uma direção, os componentes do vetor, como as coordenadas, seriam reduzidos de forma exatamente compensatória. Matematicamente, se o sistema de coordenadas sofre uma transformação descrita por uma matriz invertível M , de modo que um vetor de coordenadas x é transformado em , então um vetor contravariante v deve ser transformado de forma semelhante via . Este requisito importante é o que distingue um vetor contravariante de qualquer outro triplo de quantidades fisicamente significativas. Por exemplo, se v consiste nos componentes x -, y - e z da velocidade , então v é um vetor contravariante: se as coordenadas do espaço são esticadas, giradas ou torcidas, então os componentes da velocidade se transformam no da mesma maneira. Exemplos de vetores contravariantes incluem posição , deslocamento , velocidade , aceleração , momento e força .

Em contraste, um vetor covariante tem componentes que mudam de forma oposta às coordenadas ou, de forma equivalente, se transformam como os eixos de referência. Por exemplo, os componentes do vetor gradiente de uma função

se transformam como os próprios eixos de referência.

Definição

Componentes covariantes e contravariantes de um vetor quando a base não é ortogonal.

A formulação geral de covariância e contravariância refere-se a como os componentes de um vetor de coordenadas se transformam sob uma mudança de base ( transformação passiva ). Assim deixar V ser um espaço vector de dimensão N sobre o campo de escalares S , e que cada um de F = ( X 1 , ..., X n ) e f '= ( Y 1 , ..., Y n ) seja uma base de V . Além disso, deixe a mudança da base de f para f ′ ser dada por

 

 

 

 

( 1 )

para alguns invertível n × n matriz A com entradas . Aqui, cada vetor Y j da base f ′ é uma combinação linear dos vetores X i da base f , de modo que

Transformação contravariante

Um vetor em V é expresso exclusivamente como uma combinação linear dos elementos da base f como

 

 

 

 

( 2 )

onde v i [ f ] são elementos em um campo (algébrico) S conhecidos como os componentes de v na base f . Denote o vetor coluna de componentes de v por v [ f ]:

para que ( 2 ) possa ser reescrito como um produto de matriz

O vetor v também pode ser expresso em termos da base f ′, de modo que

No entanto, uma vez que o próprio vetor v é invariante sob a escolha da base,

A invariância de v combinada com a relação ( 1 ) entre f e f ′ implica que

dando a regra de transformação

Em termos de componentes,

onde os coeficientes são as entradas da matriz inversa de A .

Como os componentes do vetor v se transformam com o inverso da matriz A , diz-se que esses componentes se transformam de forma contravariante sob uma mudança de base.

A maneira como A relaciona os dois pares é representada no diagrama informal a seguir usando uma seta. A inversão da seta indica uma mudança contravariante:

Transformação covariante

Um funcional linear α em V é expresso exclusivamente em termos de seus componentes (elementos em S ) na base f como

Esses componentes são a ação de α sobre os vetores de base X i da base de f .

Sob a mudança da base de f para f ′ ( 1 ), os componentes se transformam de modo que

 

 

 

 

( 3 )

Denote o vetor linha dos componentes de α por α [ f ]:

de modo que ( 3 ) possa ser reescrito como o produto de matriz

Como os componentes da transformada α funcional linear com a matriz A , diz-se que esses componentes se transformam covariante sob uma mudança de base.

A maneira como A relaciona os dois pares é representada no diagrama informal a seguir usando uma seta. Uma relação covariante é indicada uma vez que as setas viajam na mesma direção:

Se uma representação vetorial de coluna tivesse sido usada em vez disso, a lei de transformação seria a transposta

Coordenadas

A escolha da base f no espaço vetorial V define exclusivamente um conjunto de funções de coordenadas em V , por meio de

As coordenadas em V são, portanto, contravariantes no sentido de que

Por outro lado, um sistema de n quantidades v i que se transformam como as coordenadas x i em V define um vetor contravariante. Um sistema de n quantidades que se transformam de forma oposta às coordenadas é então um vetor covariante.

Esta formulação de contravariância e covariância é freqüentemente mais natural em aplicações nas quais há um espaço de coordenadas (uma variedade ) em que os vetores vivem como vetores tangentes ou vetores cotangentes . Dado um sistema de coordenadas local x i na variedade, os eixos de referência para o sistema de coordenadas são os campos vetoriais

Isso dá origem ao quadro f = ( X 1 , ..., X n ) em cada ponto do patch de coordenadas.

Se y i for um sistema de coordenadas diferente e

então o quadro f ' está relacionado ao quadro f pelo inverso da matriz Jacobiana da transição de coordenadas:

Ou, em índices,

Um vetor tangente é, por definição, um vetor que é uma combinação linear das parciais de coordenadas . Assim, um vetor tangente é definido por

Esse vetor é contravariante no que diz respeito à mudança de quadro. Sob mudanças no sistema de coordenadas, um tem

Portanto, os componentes de uma transformação vetorial tangente via

Conseqüentemente, um sistema de n quantidades v i dependendo das coordenadas que se transformam dessa maneira ao passar de um sistema de coordenadas para outro é chamado de vetor contravariante.

Componentes covariantes e contravariantes de um vetor com uma métrica

Os componentes contravariantes   de um vetor  são obtidos projetando -se nos eixos de coordenadas. Os componentes covariantes  são obtidos projetando-se nas linhas normais para os hiperplanos coordenados.

Em um espaço vetorial de dimensão finita V sobre um campo K com uma forma bilinear simétrica g  : V × VK (que pode ser referido como o tensor métrico ), há pouca distinção entre vetores covariantes e contravariantes, porque a forma bilinear permite que os covetores sejam identificados com vetores. Ou seja, um vetor v determina exclusivamente um covetor α via

para todos os vetores w . Por outro lado, cada covetor α determina um único vetor v por esta equação. Por causa dessa identificação de vetores com covetores, pode-se falar em componentes covariantes ou contravariantes de um vetor, ou seja, são apenas representações de um mesmo vetor na base recíproca .

Dada uma base f = ( X 1 , ..., X n ) de V , há uma base recíproca única f # = ( Y 1 , ..., Y n ) de V determinada exigindo que

o delta de Kronecker . Em termos dessas bases, qualquer vetor v pode ser escrito de duas maneiras:

Os componentes v i [ f ] são os componentes contravariantes do vetor v na base f , e os componentes v i [ f ] são os componentes covariantes de v na base f . A terminologia é justificada porque sob uma mudança de base,

Plano euclidiano

No plano euclidiano, o produto escalar permite que os vetores sejam identificados com covetores. Se for uma base, então a base dual satisfaz

Assim, e 1 e e 2 são perpendiculares entre si, assim como e 2 e e 1 , e os comprimentos de e 1 e e 2 normalizados contra e 1 e e 2 , respectivamente.

Exemplo

Por exemplo, suponha que nos seja dada uma base e 1 , e 2 consistindo em um par de vetores formando um ângulo de 45 ° entre si, de modo que e 1 tenha comprimento 2 e e 2 tenha comprimento 1. Então, os vetores de base dual são dado da seguinte forma:

  • e 2 é o resultado da rotação de e 1 em um ângulo de 90 ° (onde o sentido é medido assumindo que o par e 1 , e 2 está orientado positivamente), e então redimensionando para que e 2e 2 = 1 seja válido.
  • e 1 é o resultado de girar e 2 em um ângulo de 90 ° e, em seguida, redimensionar de modo que e 1e 1 = 1 seja válido.

Aplicando essas regras, encontramos

e

Assim, a mudança da matriz de base ao passar da base original para a base recíproca é

Desde a

Por exemplo, o vetor

é um vetor com componentes contravariantes

Os componentes covariantes são obtidos igualando as duas expressões para o vetor v :

tão

Espaço euclidiano tridimensional

No espaço euclidiano tridimensional , pode-se também determinar explicitamente a base dual para um dado conjunto de vetores de base e 1 , e 2 , e 3 de E 3 que não são necessariamente assumidos como ortogonais nem de norma unitária. Os vetores de base dupla são:

Mesmo quando o e i e e i não são ortonormais , eles ainda são mutuamente recíprocos:

Então, os componentes contravariantes de qualquer vetor v podem ser obtidos pelo produto escalar de v com os vetores de base dupla:

Da mesma forma, os componentes covariantes de v podem ser obtidos a partir do produto escalar de v com vetores de base, viz.

Então v pode ser expresso de duas maneiras (recíprocas), viz.

ou

Combinando as relações acima, temos

e podemos converter entre a base e a base dual com

e

Se os vetores de base são ortonormais , eles são iguais aos vetores de base dual.

Espaços euclidianos gerais

Mais geralmente, em um espaço euclidiano n- dimensional V , se uma base for

a base recíproca é dada por (os índices duplos são somados),

onde os coeficientes g ij são as entradas da matriz inversa de

Na verdade, então temos

Os componentes covariantes e contravariantes de qualquer vetor

estão relacionados como acima por

e

Uso informal

No campo da física , o adjetivo covariante é freqüentemente usado informalmente como sinônimo de invariante. Por exemplo, a equação de Schrödinger não mantém sua forma escrita sob as transformações de coordenadas da relatividade especial . Assim, um físico pode dizer que a equação de Schrödinger não é covariante . Em contraste, a equação de Klein-Gordon e a equação de Dirac mantêm sua forma escrita sob essas transformações de coordenadas. Assim, um físico pode dizer que essas equações são covariantes .

Apesar do uso de "covariante", é mais preciso dizer que as equações de Klein-Gordon e Dirac são invariantes e que a equação de Schrödinger não é invariante. Além disso, para remover a ambigüidade, a transformação pela qual a invariância é avaliada deve ser indicada.

Como os componentes dos vetores são contravariantes e os dos covetores são covariantes, os próprios vetores são freqüentemente referidos como contravariantes e os covetores como covariantes.

Use na análise tensorial

A distinção entre covariância e contravariância é particularmente importante para cálculos com tensores , que geralmente possuem variância mista . Isso significa que eles têm componentes covariantes e contravariantes, ou componentes vetoriais e covariantes. A valência de um tensor é o número de termos variantes e covariantes e, na notação de Einstein , os componentes covariantes têm índices mais baixos, enquanto os componentes contravariantes têm índices superiores. A dualidade entre covariância e contravariância intervém sempre que uma quantidade de vetor ou tensor é representada por seus componentes, embora a geometria diferencial moderna use métodos livres de índice mais sofisticados para representar tensores .

Na análise de tensor , um vetor covariante varia mais ou menos reciprocamente para um vetor contravariante correspondente. Expressões para comprimentos, áreas e volumes de objetos no espaço vetorial podem então ser dadas em termos de tensores com índices covariantes e contravariantes. Sob expansões e contrações simples das coordenadas, a reciprocidade é exata; sob transformações afins, os componentes de um vetor se mesclam ao passar entre a expressão covariante e a contravariante.

Em uma variedade , um campo tensorial normalmente terá índices múltiplos, superiores e inferiores, onde a notação de Einstein é amplamente utilizada. Quando a variedade é equipada com uma métrica , os índices covariantes e contravariantes tornam-se intimamente relacionados entre si. Índices contravariantes podem ser transformados em índices covariantes pela contração com o tensor métrico. O inverso é possível contraindo-se com o inverso (da matriz) do tensor métrico. Observe que, em geral, essa relação não existe em espaços não dotados de um tensor métrico. Além disso, de um ponto de vista mais abstrato, um tensor está simplesmente "lá" e seus componentes de qualquer tipo são apenas artefatos de cálculo cujos valores dependem das coordenadas escolhidas.

A explicação em termos geométricos é que um tensor geral terá índices contravariantes assim como índices covariantes, pois possui partes que vivem tanto no feixe tangente quanto no cotangente .

Um vetor contravariante é aquele que se transforma como , onde estão as coordenadas de uma partícula em seu próprio tempo . Um vetor covariante é aquele que se transforma como , onde é um campo escalar.

Álgebra e geometria

Na teoria das categorias , existem functores covariantes e functores contravariantes . A atribuição do espaço dual a um espaço vetorial é um exemplo padrão de um functor contravariante. Algumas construções de álgebra multilinear são de variância "mista", o que as impede de serem functores.

Na geometria diferencial , os componentes de um vetor relativo a uma base do feixe tangente são covariantes se eles mudam com a mesma transformação linear como uma mudança de base. Eles são contravariantes se eles mudam pela transformação inversa. Isso às vezes é uma fonte de confusão por duas razões distintas, mas relacionadas. A primeira é que os vetores cujos componentes são covariantes (chamados covetores ou formas 1 ) realmente recuam sob funções suaves, o que significa que a operação que atribui o espaço de covetores a uma variedade suave é na verdade um functor contravariante . Da mesma forma, vetores cujos componentes são contravariantes avançam sob mapeamentos suaves, de modo que a operação que atribui o espaço de vetores (contravariantes) a uma variedade suave é um functor covariante . Em segundo lugar, na abordagem clássica da geometria diferencial, não são as bases do feixe tangente que são o objeto mais primitivo, mas sim as mudanças no sistema de coordenadas. Vetores com componentes contravariantes se transformam da mesma maneira que mudanças nas coordenadas (porque estas mudam de forma oposta à mudança induzida de base). Da mesma forma, vetores com componentes covariantes se transformam de forma oposta às mudanças nas coordenadas.

Veja também

Notas

Citações

Referências

links externos