Derivado covariante - Covariant derivative

Em matemática , a derivada covariante é uma maneira de especificar uma derivada ao longo de vetores tangentes de uma variedade . Alternativamente, a derivada covariante é uma forma de introduzir e trabalhar com uma conexão em uma variedade por meio de um operador diferencial , a ser contrastada com a abordagem dada por uma conexão principal no feixe de quadros - ver conexão afim . No caso especial de uma variedade isometricamente embutida em um espaço euclidiano de dimensão superior , a derivada covariante pode ser vista como a projeção ortogonal da derivada direcional euclidiana no espaço tangente da variedade. Nesse caso, a derivada euclidiana é dividida em duas partes, o componente normal extrínseco (dependente da incorporação) e o componente derivado covariante intrínseco.

O nome é motivado pela importância das mudanças de coordenadas na física : a derivada covariante se transforma covariante sob uma transformação de coordenadas geral, ou seja, linearmente via matriz Jacobiana da transformação.

Este artigo apresenta uma introdução à derivada covariante de um campo vetorial em relação a um campo vetorial, tanto em uma linguagem livre de coordenadas quanto usando um sistema de coordenadas local e a notação de índice tradicional. A derivada covariante de um campo tensorial é apresentada como uma extensão do mesmo conceito. A derivada covariante generaliza diretamente para uma noção de diferenciação associada a uma conexão em um pacote vetorial , também conhecida como conexão Koszul .

História

Historicamente, na virada do século 20, a derivada covariante foi introduzida por Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita na teoria da geometria riemanniana e pseudo-riemanniana . Ricci e Levi-Civita (seguindo as idéias de Elwin Bruno Christoffel ) observaram que os símbolos de Christoffel usados ​​para definir a curvatura também poderiam fornecer uma noção de diferenciação que generalizou a derivada direcional clássica de campos vetoriais em uma variedade. Essa nova derivada - a conexão de Levi-Civita - era covariante no sentido de que satisfazia a exigência de Riemann de que os objetos em geometria deveriam ser independentes de sua descrição em um sistema de coordenadas particular.

Logo foi notado por outros matemáticos, destacando-se entre eles Hermann Weyl , Jan Arnoldus Schouten e Élie Cartan , que uma derivada covariante poderia ser definida abstratamente sem a presença de uma métrica . A característica crucial não era uma dependência particular da métrica, mas que os símbolos de Christoffel satisfaziam uma certa lei precisa de transformação de segunda ordem. Esta lei de transformação pode servir como ponto de partida para definir a derivada de forma covariante. Assim, a teoria da diferenciação covariante partiu do contexto estritamente Riemanniano para incluir uma gama mais ampla de geometrias possíveis.

Na década de 1940, os praticantes da geometria diferencial começaram a introduzir outras noções de diferenciação covariante em feixes de vetores gerais que, ao contrário dos feixes clássicos de interesse dos geômetras, não faziam parte da análise tensorial da variedade. Em geral, essas derivadas covariantes generalizadas tiveram que ser especificadas ad hoc por alguma versão do conceito de conexão. Em 1950, Jean-Louis Koszul unificou essas novas ideias de diferenciação covariante em um pacote vetorial por meio do que é conhecido hoje como uma conexão Koszul ou uma conexão em um pacote vetorial. Usando ideias da cohomologia da álgebra de Lie , Koszul converteu com sucesso muitas das características analíticas da diferenciação covariante em algébrica. Em particular, as conexões Koszul eliminaram a necessidade de manipulações desajeitadas de símbolos de Christoffel (e outros objetos não tensoriais análogos ) na geometria diferencial. Assim, eles suplantaram rapidamente a noção clássica de derivada covariante em muitos tratamentos pós-1950 do assunto.

Motivação

A derivada covariante é uma generalização da derivada direcional do cálculo vetorial . Tal como acontece com a derivada direcional, a derivada covariante é uma regra, que toma como entradas: (1) um vetor, u , definido em um ponto P , e (2) um campo vetorial , v , definido em uma vizinhança de P . A saída é o vector , também no ponto P . A principal diferença da derivada direcional usual é que deve, em certo sentido preciso, ser independente da maneira como é expressa em um sistema de coordenadas . ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}} (P)}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {u}} {\ mathbf {v}}}$

Um vetor pode ser descrito como uma lista de números em termos de uma base , mas como um objeto geométrico, um vetor retém sua própria identidade, independentemente de como alguém decida descrevê-lo em uma base. Essa persistência de identidade se reflete no fato de que quando um vetor é escrito em uma base, e então a base é alterada, os componentes do vetor se transformam de acordo com uma fórmula de mudança de base . Essa lei de transformação é conhecida como transformação covariante . A derivada covariante é necessária para transformar, sob uma mudança nas coordenadas, da mesma forma que uma base: a derivada covariante deve mudar por uma transformação covariante (daí o nome).

No caso do espaço euclidiano , tende-se a definir a derivada de um campo vetorial em termos da diferença entre dois vetores em dois pontos próximos. Em tal sistema, um traduz um dos vetores para a origem do outro, mantendo-o paralelo. Com um sistema de coordenadas cartesianas ( ortonormais fixas ), "mantê-lo paralelo" equivale a manter os componentes constantes. O espaço euclidiano fornece o exemplo mais simples: uma derivada covariante que é obtida tomando a derivada direcional ordinária dos componentes na direção do vetor de deslocamento entre os dois pontos próximos.

No caso geral, entretanto, deve-se levar em consideração a mudança do sistema de coordenadas. Por exemplo, se a mesma derivada covariante for escrita em coordenadas polares em um plano euclidiano bidimensional, ela conterá termos extras que descrevem como a própria grade de coordenadas "gira". Em outros casos, os termos extras descrevem como a grade de coordenadas se expande, se contrai, se torce, se entrelaça, etc. Nesse caso, "mantê-la paralela" não significa manter os componentes constantes sob translação.

Considere o exemplo de movimento ao longo de uma curva γ ( t ) no plano euclidiano. Em coordenadas polares, γ pode ser escrito em termos de suas coordenadas radiais e angulares por γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )). Um vetor em um determinado momento t (por exemplo, a aceleração da curva) é expresso em termos de , onde e são vetores tangentes unitários para as coordenadas polares, servindo como base para decompor um vetor em termos de componentes radiais e tangenciais . Um pouco mais tarde, a nova base em coordenadas polares aparece ligeiramente girada em relação ao primeiro conjunto. A derivada covariante dos vetores de base (os símbolos de Christoffel ) serve para expressar essa mudança. ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {r}, \ mathbf {e} _ {\ theta})}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ theta}}$

Em um espaço curvo, como a superfície da Terra (considerada como uma esfera), a translação não é bem definida e seu transporte analógico, paralelo , depende do caminho ao longo do qual o vetor é transladado.

Um vetor e em um globo no equador no ponto Q é direcionado para o norte. Suponha que transportemos o vetor em paralelo primeiro ao longo do equador até o ponto P e então (mantendo-o paralelo a si mesmo) o arrastemos ao longo de um meridiano até o pólo N e (mantendo a direção lá) subsequentemente o transportemos ao longo de outro meridiano de volta a Q. Então notamos que o vetor transportado em paralelo ao longo de um circuito fechado não retorna como o mesmo vetor; em vez disso, ele tem outra orientação. Isso não aconteceria no espaço euclidiano e é causado pela curvatura da superfície do globo. O mesmo efeito pode ser notado se arrastarmos o vetor ao longo de uma superfície fechada infinitesimalmente pequena, subsequentemente ao longo de duas direções e depois de volta. A mudança infinitesimal do vetor é uma medida da curvatura.

Observações

• A definição da derivada covariante não usa a métrica no espaço. No entanto, para cada métrica, há uma derivada covariante livre de torção única chamada de conexão de Levi-Civita, de modo que a derivada covariante da métrica é zero.
• As propriedades de uma derivada implicam que depende dos valores de u em uma vizinhança arbitrariamente pequena de um ponto p da mesma forma que, por exemplo, a derivada de uma função escalar f ao longo de uma curva em um determinado ponto p depende dos valores de f em uma vizinhança arbitrariamente pequena de p .${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$
• A informação sobre a vizinhança de um ponto p na derivada covariante pode ser usada para definir o transporte paralelo de um vetor. Além disso, a curvatura , torção e geodésica podem ser definidas apenas em termos da derivada covariante ou outra variação relacionada na ideia de uma conexão linear .

Definição informal usando uma incorporação no espaço euclidiano

Suponhamos que um subconjunto aberto de um colector de Riemannian -dimensional é incorporado no espaço Euclidiano através de um duas vezes continuamente-diferenciável (C ² ) mapeamento de tal modo que o espaço tangente em é gerado pelos vectores ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle {\ vec {\ Psi}}: \ mathbb {R} ^ {d} \ supset U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ vec {\ Psi}} (p) \ in M}$

${\ displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}} \ right | _ {p}: i \ in \ lbrace 1, \ dots, d \ rbrace \ right \ rbrace}$

e o produto escalar em é compatível com a métrica em M : ${\ displaystyle \ left \ langle \ cdot, \ cdot \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle g_ {ij} = \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi }}} {\ partial x ^ {j}}} \ right \ rangle.}$

(Uma vez que a métrica múltipla é sempre considerada regular, a condição de compatibilidade implica a independência linear dos vetores tangentes derivativos parciais.)

Para um campo vetorial tangente , tem-se ${\ displaystyle {\ vec {V}} = v ^ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ partial x ^ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left (v ^ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}} \ right) = {\ frac {\ partial v ^ {j}} {\ partial x ^ { i}}} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {j}}} + v ^ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}}.}$

O último termo não é tangencial a M , mas pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de base do espaço tangente usando os símbolos de Christoffel como fatores lineares mais um vetor ortogonal ao espaço tangente:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {k}}} + {\ vec {n}}.}$

No caso da conexão de Levi-Civita , a derivada covariante , também escrita , é definida como a projeção ortogonal da derivada usual no espaço tangente: ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}}$${\ displaystyle \ nabla _ {i} {\ vec {V}}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} {\ vec {V}}: = {\ frac {\ partial {\ vec {V}}} {\ partial x ^ {i}}} - {\ vec {n}} = \ left ({\ frac {\ partial v ^ {k}} {\ partial x ^ {i}}} + v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ { ij} \ right) {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}.}$

Para obter a relação entre os símbolos de Christoffel para a conexão de Levi-Civita e a métrica, primeiro devemos notar que, uma vez que na equação anterior é ortogonal ao espaço tangente: ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}}, {\ frac { \ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ right \ rangle = \ left \ langle {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {k}}} + {\ vec {n}}, {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {l}} } \ right \ rangle = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {l}}} \ right \ rangle = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \, g_ {kl}.}$

Em segundo lugar, a derivada parcial de um componente da métrica é:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ab}} {\ partial x ^ {c}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {c}}} \ left \ langle {\ frac { \ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {a}}}, {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {b}}} \ direita \ rangle = \ left \ langle {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {c} \, \ partial x ^ {a}}}, {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {b}}} \ direita \ rangle + \ esquerda \ langle {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ { a}}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {c} \, \ parcial x ^ {b}}} \ direita \ rangle}$

implica por uma base , usando a simetria do produto escalar e trocando a ordem das diferenciações parciais: ${\ displaystyle x ^ {i}, x ^ {j}, x ^ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {i}}} \\ {\ frac {\ partial g_ {ki}} {\ partial x ^ {j }}} \\ {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {j} \, \ parcial x ^ {k}}} \ direita \ rangle \\\ esquerda \ langle {\ frac {\ parcial {\ vec {\ Psi}} } {\ parcial x ^ {j}}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ parcial x ^ {k} \, \ parcial x ^ {i}}} \ right \ rangle \\\ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec { \ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} \ right \ rangle \ end {pmatrix}}}$

adicionando a primeira linha à segunda e subtraindo a terceira:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {jk}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {ki}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {k}}} = 2 \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {k}}}, {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {\ Psi}}} {\ partial x ^ {i} \, \ partial x ^ {j}}} \ right \ rangle}$

e produz os símbolos Christoffel para a conexão Levi-Civita em termos de métrica:

${\ displaystyle g_ {kl} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial g_ {jl}} {\ partial x ^ { i}}} + {\ frac {\ partial g_ {li}} {\ partial x ^ {j}}} - {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {l}}} \ right ).}$

Para obter um exemplo muito simples que captura a essência da descrição acima, desenhe um círculo em uma folha de papel plana. Viaje ao redor do círculo a uma velocidade constante. A derivada de sua velocidade, seu vetor de aceleração, sempre aponta radialmente para dentro. Enrole esta folha de papel em um cilindro. Agora, a derivada (euclidiana) de sua velocidade tem um componente que às vezes aponta para dentro em direção ao eixo do cilindro, dependendo se você está perto de um solstício ou equinócio. (No ponto do círculo, quando você está se movendo paralelamente ao eixo, não há aceleração interna. Por outro lado, em um ponto (1/4 de um círculo depois) quando a velocidade está ao longo da curva do cilindro, a aceleração interna é máxima .) Este é o componente normal (euclidiano). O componente derivado covariante é o componente paralelo à superfície do cilindro e é o mesmo que antes de você enrolar a folha em um cilindro.

Definição formal

Uma derivada covariante é uma conexão (Koszul) no feixe tangente e outros feixes tensores : ela diferencia campos de vetores de uma forma análoga à diferencial usual em funções. A definição se estende a uma diferenciação nos duais de campos vetoriais (ou seja, campos covetores ) e a campos tensores arbitrários , de uma forma única que garante compatibilidade com o produto tensorial e operações de rastreamento (contração do tensor).

Funções

Dado um ponto da variedade , uma função real na variedade e um vetor tangente , a derivada covariante de f em p ao longo de v é o escalar em p , denotado , que representa a parte principal da mudança no valor de f quando o o argumento de f é alterado pelo vetor de deslocamento infinitesimal v . (Este é o diferencial de f avaliado em relação ao vetor v .) Formalmente, há uma curva diferenciável tal que e , e a derivada covariante de f em p é definida por ${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$${\ displaystyle \ phi: [- 1,1] \ a M}$${\ displaystyle \ phi (0) = p}$${\ displaystyle \ phi '(0) = \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p} = \ left (f \ circ \ phi \ right) '\ left (0 \ right) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f \ left [\ phi \ left (t \ right) \ right] -f \ left [p \ right]} {t}}.}$

Quando é um campo de vectores sobre , o derivado covariante representa a função que associa a cada ponto P no domínio comum de f e v a escalar . Isso coincide com a derivada de Lie usual de f ao longo do campo vetorial v . ${\ displaystyle \ mathbf {v}: M \ rightarrow T_ {p} M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f: M \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ right) _ {p}}$

Campos vetoriais

Dado um ponto da variedade , um campo vetorial definido em uma vizinhança de p e um vetor tangente , a derivada covariante de u em p ao longo de v é o vetor tangente em p , denotado , de modo que as seguintes propriedades sejam válidas (para quaisquer vetores tangentes v , x e y em p , campos vetor u e w definido numa vizinhança de p , valores escalares g e h a p , e a função escalar f definida numa vizinhança de p ): ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbf {u}: M \ rightarrow T_ {p} M}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$

1. ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$é linear em então ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

   ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {g \ mathbf {x} + h \ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {x}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} g + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {y}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} h}$

2. ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$é aditivo, então: ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

   ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [\ mathbf {u} + \ mathbf {w} \ right] \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p} + \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} \ right) _ {p}}$

3. ${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}) _ {p}}$obedece a regra do produto ; ou seja, onde é definido acima, ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f}$

   ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left [f \ mathbf {u} \ right] \ right) _ {p} = f (p) \ left (\ nabla _ {\ mathbf { v}} \ mathbf {u}) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} f \ direita) _ {p} \ mathbf {u} _ {p}}$.

Observe que não depende apenas do valor de u em p, mas também dos valores de u em uma vizinhança infinitesimal de p por causa da última propriedade, a regra do produto. ${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$

Se u e v são definidos ambos os campos vectoriais sobre um domínio comum, em seguida, indica o campo vectorial cujo valor em cada ponto P do domínio é o vector tangente . ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} \ right) _ {p}}$

Campos Covector

Dado um campo de covetores (ou forma única ) definido em uma vizinhança de p , sua derivada covariante é definida de forma a tornar a operação resultante compatível com a contração do tensor e a regra do produto. Ou seja, é definido como a única forma única em p de modo que a seguinte identidade é satisfeita para todos os campos vetoriais u em uma vizinhança de p${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$${\ displaystyle (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha) _ {p}}$

${\ displaystyle \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ alpha \ right) _ {p} \ left (\ mathbf {u} _ {p} \ right) = \ nabla _ {\ mathbf {v} } \ left [\ alpha \ left (\ mathbf {u} \ right) \ right] _ {p} - \ alpha _ {p} \ left [\ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf { u} \ right) _ {p} \ right].}$

A derivada covariante de um campo covetor ao longo de um campo vetorial v é novamente um campo covetor.

Campos tensores

Uma vez que a derivada covariante é definida para campos de vetores e covetores, ela pode ser definida para campos tensores arbitrários impondo as seguintes identidades para cada par de campos tensores e em uma vizinhança do ponto p : ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ left (\ varphi \ otimes \ psi \ right) _ {p} = \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi \ right) _ { p} \ otimes \ psi (p) + \ varphi (p) \ otimes \ left (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi \ right) _ {p},}$

e para e da mesma valência ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (\ varphi + \ psi) _ {p} = (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ varphi) _ {p} + (\ nabla _ {\ mathbf {v}} \ psi) _ {p}.}$

A derivada covariante de um campo tensorial ao longo de um campo vetorial v é novamente um campo tensorial do mesmo tipo.

Explicitamente, seja T um campo tensorial do tipo ( p , q ) . Considere T como um mapa multilinear diferenciável de seções suaves α ¹ , α ² , ..., α ^q do feixe cotangente T ^∗ M e das seções X ₁ , X ₂ , ..., X _p do feixe tangente TM , escrito T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) em R . A derivada covariante de T ao longo de Y é dada pela fórmula

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} (\ nabla _ {Y} T) \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) = & {} Y \ left (T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) \ right) \\ & {} - T \ left (\ nabla _ {Y} \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ nabla _ {Y} \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) - \ cdots \\ & {} - T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ nabla _ {Y} X_ {1}, X_ {2}, \ ldots \ right) -T \ left (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, X_ {1}, \ nabla _ {Y} X_ {2}, \ ldots \ right) - \ cdots \ end {alinhados}}}$

Descrição da coordenada

Dadas funções de coordenadas

${\ displaystyle x ^ {i}, \ i = 0,1,2, \ dots,}$

qualquer vetor tangente pode ser descrito por seus componentes na base

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}.}$

A derivada covariante de um vetor de base ao longo de um vetor de base é novamente um vetor e, portanto, pode ser expressa como uma combinação linear . Para especificar a derivada covariante, é suficiente especificar a derivada covariante de cada campo do vetor base ao longo . ${\ displaystyle \ Gamma ^ {k} \ mathbf {e} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ {k},}$

os coeficientes são os componentes da conexão com respeito a um sistema de coordenadas locais. Na teoria das variedades Riemanniana e pseudo-Riemanniana, os componentes da conexão de Levi-Civita com respeito a um sistema de coordenadas locais são chamados de símbolos de Christoffel . ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$

Então, usando as regras na definição, descobrimos que para campos vetoriais gerais e obtemos ${\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} & = \ nabla _ {v ^ {j} \ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} + v ^ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} u ^ {i} \\ & = v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ mathbf {e} _ { k} + v ^ {j} {\ parcial u ^ {i} \ over \ parcial x ^ {j}} \ mathbf {e} _ {i} \ end {alinhado}}}$

tão

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {u} = \ left (v ^ {j} u ^ {i} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} + v ^ {j} {\ parcial u ^ {k} \ over \ partial x ^ {j}} \ right) \ mathbf {e} _ {k}.}$

O primeiro termo nesta fórmula é responsável por "torcer" o sistema de coordenadas em relação à derivada covariante e o segundo por mudanças de componentes do campo vetorial u . Em particular

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {u} = \ nabla _ {j} \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ parcial u ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} + u ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj} \ right) \ mathbf {e} _ {i}}$

Em palavras: a derivada covariante é a derivada usual ao longo das coordenadas com termos de correção que informam como as coordenadas mudam.

Para covetores, da mesma forma, temos

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} {\ mathbf {\ theta}} = \ left ({\ frac {\ partial \ theta _ {i}} {\ partial x ^ {j} }} - \ theta _ {k} {\ Gamma ^ {k}} _ {ij} \ right) {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i}}$

onde . ${\ displaystyle {\ mathbf {e} ^ {*}} ^ {i} (\ mathbf {e} _ {j}) = {\ delta ^ {i}} _ {j}}$

A derivada covariante de um campo tensor do tipo ( r , s ) é dada pela expressão: ${\ displaystyle e_ {c}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {(\ nabla _ {e_ {c}} T) ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} = {} & {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {c}}} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \ \ & + \, {\ Gamma ^ {a_ {1}}} _ {dc} {T ^ {da_ {2} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} + \ cdots + {\ Gamma ^ {a_ {r}}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r-1} d}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}} \\ & - \, {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {1} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {db_ {2} \ ldots b_ {s} } - \ cdots - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {s} c} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s-1 } d}. \ end {alinhado}}}$

Ou, em palavras: pegue a derivada parcial do tensor e adicione: para cada índice superior e para cada índice inferior . ${\ displaystyle + {\ Gamma ^ {a_ {i}}} _ {dc}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {b_ {i} c}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

Se, em vez de um tensor, alguém está tentando diferenciar uma densidade de tensor (de peso +1), então você também adiciona um termo

${\ displaystyle - {\ Gamma ^ {d}} _ {dc} {T ^ {a_ {1} \ ldots a_ {r}}} _ {b_ {1} \ ldots b_ {s}}.}$

Se for uma densidade tensor de peso W , em seguida, multiplicar esse termo por W . Por exemplo, é uma densidade escalar (de peso +1), então temos: ${\ textstyle {\ sqrt {-g}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {; c} = \ left ({\ sqrt {-g}} \ right) _ {, c} - {\ sqrt {-g} } \, {\ Gamma ^ {d}} _ {dc}}$

onde ponto e vírgula ";" indica diferenciação covariante e vírgula "," indica diferenciação parcial. A propósito, esta expressão particular é igual a zero, porque a derivada covariante de uma função apenas da métrica é sempre zero.

Notação

Em livros didáticos de física, a derivada covariante às vezes é simplesmente declarada em termos de seus componentes nesta equação.

Freqüentemente, uma notação é usada em que a derivada covariante é fornecida com um ponto- e- vírgula , enquanto uma derivada parcial normal é indicada por uma vírgula . Nesta notação, escrevemos o mesmo que:

${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {; j} \ mathbf {e} _ {s} \; \; \; \; \; \; {v ^ {i}} _ {; j} = {v ^ {i}} _ {, j} + v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}$

No caso de dois ou mais índices após o ponto e vírgula, todos eles devem ser entendidos como derivadas covariantes:

${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {k}} \ left (\ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ right) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {s}} _ {; kj} \ mathbf {e} _ {s}}$

Em alguns textos mais antigos (notavelmente Adler, Bazin & Schiffer, Introdução à Relatividade Geral ), a derivada covariante é denotada por um tubo duplo e a derivada parcial por um tubo único:

${\ displaystyle \ nabla _ {e_ {j}} \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {v ^ {i}} _ {|| j} = {v ^ {i}} _ {| j} + v ^ {k} {\ Gamma ^ {i}} _ {kj}}$

Derivada covariante por tipo de campo

Para um campo escalar , a diferenciação covariante é simplesmente uma diferenciação parcial: ${\ displaystyle \ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle \ displaystyle \ phi _ {; a} \ equiv \ parcial _ {a} \ phi}$

Para um campo vetorial contravariante , temos: ${\ displaystyle \ lambda ^ {a} \,}$

${\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; b} \ equiv \ partial _ {b} \ lambda ^ {a} + {\ Gamma ^ {a}} _ {bc} \ lambda ^ {c}}$

Para um campo vetorial covariante , temos: ${\ displaystyle \ lambda _ {a} \,}$

${\ displaystyle \ lambda _ {a; c} \ equiv \ parcial _ {c} \ lambda _ {a} - {\ Gamma ^ {b}} _ {ca} \ lambda _ {b}}$

Para um campo tensor do tipo (2,0) , temos: ${\ displaystyle \ tau ^ {ab} \,}$

${\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ equiv \ partial _ {c} \ tau ^ {ab} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} \ tau ^ {db} + {\ Gamma ^ {b}} _ {cd} \ tau ^ {ad}}$

Para um campo tensor do tipo (0,2) , temos: ${\ displaystyle \ tau _ {ab} \,}$

${\ displaystyle \ tau _ {ab; c} \ equiv \ partial _ {c} \ tau _ {ab} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ca} \ tau _ {db} - {\ Gamma ^ { d}} _ {cb} \ tau _ {ad}}$

Para um campo tensor do tipo (1,1) , temos: ${\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b} \,}$

${\ displaystyle {\ tau ^ {a}} _ {b; c} \ equiv \ parcial _ {c} {\ tau ^ {a}} _ {b} + {\ Gamma ^ {a}} _ {cd} {\ tau ^ {d}} _ {b} - {\ Gamma ^ {d}} _ {cb} {\ tau ^ {a}} _ {d}}$

A notação acima tem o sentido

${\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; c} \ equiv \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {c}} \ tau \ right) ^ {ab}}$

Propriedades

Em geral, as derivadas covariantes não comutam. Por exemplo, as derivadas covariantes do campo vetorial . O tensor de Riemann é definido de forma que: ${\ displaystyle \ lambda _ {a; bc} \ neq \ lambda _ {a; cb} \,}$ ${\ displaystyle {R ^ {d}} _ {abc} \,}$

${\ displaystyle \ lambda _ {a; bc} - \ lambda _ {a; cb} = {R ^ {d}} _ {abc} \ lambda _ {d}}$

ou equivalente,

${\ displaystyle {\ lambda ^ {a}} _ {; bc} - {\ lambda ^ {a}} _ {; cb} = - {R ^ {a}} _ {dbc} \ lambda ^ {d}}$

A derivada covariante de um campo (2,1) -tensor cumpre:

${\ displaystyle {\ tau ^ {ab}} _ {; cd} - {\ tau ^ {ab}} _ {; dc} = - {R ^ {a}} _ {ecd} \ tau ^ {eb} - {R ^ {b}} _ {ecd} \ tau ^ {ae}}$

O último pode ser demonstrado tomando (sem perda de generalidade) isso . ${\ displaystyle \ tau ^ {ab} = \ lambda ^ {a} \ mu ^ {b} \,}$

Derivada ao longo de uma curva

Uma vez que a derivada covariante de um campo tensorial em um ponto depende apenas do valor do campo vetorial , pode-se definir a derivada covariante ao longo de uma curva suave em uma variedade: ${\ displaystyle \ nabla _ {X} T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$

${\ displaystyle D_ {t} T = \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} T.}$

Observe que o campo tensor só precisa ser definido na curva para que essa definição faça sentido. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$

Em particular, é um campo vetorial ao longo da própria curva . Se desaparecer, a curva é chamada de geodésica da derivada covariante. Se a derivada covariante é a conexão de Levi-Civita de uma métrica definida positiva, então as geodésicas para a conexão são precisamente as geodésicas da métrica que são parametrizadas pelo comprimento do arco . ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t)}$

A derivada ao longo de uma curva também é usada para definir o transporte paralelo ao longo da curva.

Às vezes, a derivada covariante ao longo de uma curva é chamada de derivada absoluta ou intrínseca .

Relação com derivada de Lie

Uma derivada covariante introduz uma estrutura geométrica extra em uma variedade que permite que vetores em espaços tangentes vizinhos sejam comparados: não há maneira canônica de comparar vetores de espaços tangentes diferentes porque não há sistema de coordenadas canônico.

Há, entretanto, outra generalização das derivadas direcionais que é canônica: a derivada de Lie , que avalia a mudança de um campo vetorial ao longo do fluxo de outro campo vetorial. Assim, deve-se conhecer os dois campos vetoriais em uma vizinhança aberta, não apenas em um único ponto. A derivada covariante, por outro lado, introduz sua própria mudança para vetores em uma determinada direção e depende apenas da direção do vetor em um único ponto, ao invés de um campo vetorial em uma vizinhança aberta de um ponto. Em outras palavras, a derivada covariante é linear (sobre C ^∞ ( M )) no argumento de direção, enquanto a derivada de Lie é linear em nenhum dos argumentos.

Observe que a derivada covariante anti-simetrizada ∇ _u v - ∇ _v u , e a derivada de Lie L _u v diferem pela torção da conexão , de modo que se uma conexão é livre de torção, então sua anti - simetrização é a derivada de Lie.

Veja também

Notas

Referências

• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry , vol. 1 (nova ed.). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.
• I.Kh. Sabitov (2001) [1994], "Covariant differentiation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Sternberg, Shlomo (1964). Aulas de Geometria Diferencial . Prentice-Hall.
• Spivak, Michael (1999). Uma introdução abrangente à geometria diferencial (Volume dois) . Publish or Perish, Inc.