Manivela de uma partição - Crank of a partition
Na teoria dos números , a manivela de uma partição de um inteiro é um certo número inteiro associado à partição . O termo foi introduzido pela primeira vez sem uma definição por Freeman Dyson em um artigo de 1944 publicado em Eureka , um jornal publicado pela Mathematics Society of Cambridge University . Dyson então deu uma lista de propriedades que essa quantidade ainda a ser definida deveria ter. Em 1988, George E. Andrews e Frank Garvan descobriram uma definição para a manivela que satisfazia as propriedades hipotetizadas para ela por Dyson.
Manivela de Dyson
Seja n um inteiro não negativo e seja p ( n ) o número de partições de n ( p (0) é definido como 1). Srinivasa Ramanujan em um artigo publicado em 1918 afirmou e provou as seguintes congruências para a função de partição p ( n ), desde então conhecidas como congruências de Ramanujan .
- p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
- p (7 n + 5) ≡ 0 (mod 7)
- p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)
Essas congruências implicam que as partições de números da forma 5 n + 4 (respectivamente, das formas 7 n + 5 e 11 n + 6) podem ser divididas em 5 (respectivamente, 7 e 11) subclasses de tamanho igual. As provas então conhecidas dessas congruências baseavam-se nas idéias de funções geradoras e não especificavam um método para a divisão das partições em subclasses de tamanho igual.
Em seu artigo Eureka, Dyson propôs o conceito de classificação de uma partição . A classificação de uma partição é o inteiro obtido subtraindo o número de partes na partição da maior parte da partição. Por exemplo, a classificação da partição λ = {4, 2, 1, 1, 1} de 9 é 4 - 5 = −1. Denotando por N ( m , q , n ), o número de partições de n cujas classificações são congruentes a m módulo q , Dyson considerou N ( m , 5, 5 n + 4) e N ( m , 7, 7 n + 5 ) para vários valores de n e m . Com base em evidências empíricas, Dyson formulou as seguintes conjecturas conhecidas como conjecturas de classificação .
Para todos os inteiros não negativos n temos:
- N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 n + 4).
- N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = N (3, 7, 7 n + 5) = N ( 4, 7, 7 n + 5) = N (5, 7, 7 n + 5) = N (6, 7, 7 n + 5)
Supondo que essas conjecturas sejam verdadeiras, elas forneceram uma maneira de dividir todas as partições de números da forma 5 n + 4 em cinco classes de tamanho igual: Coloque em uma classe todas as partições cujas classificações são congruentes entre si módulo 5. O a mesma ideia pode ser aplicada para dividir as partições de inteiros da forma 7 n + 6 em sete classes igualmente numerosas. Mas a ideia falha em dividir partições de inteiros da forma 11 n + 6 em 11 classes do mesmo tamanho, como mostra a tabela a seguir.
Partições do inteiro 6 (11 n + 6 com n = 0) dividido em classes com base nas classificações
| classificação ≡ 0 (mod 11) |
classificação ≡ 1 (mod 11) |
classificação ≡ 2 (mod 11) |
classificação ≡ 3 (mod 11) |
classificação ≡ 4 (mod 11) |
classificação ≡ 5 (mod 11) |
classificação ≡ 6 (mod 11) |
classificação ≡ 7 (mod 11) |
classificação ≡ 8 (mod 11) |
classificação ≡ 9 (mod 11) |
classificação ≡ 10 (mod 11) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {3,2,1} | {4,1,1} | {4,2} | {5,1} | {6} | {1,1,1,1,1,1} | {2,1,1,1,1} | {2,2,1,1} | {2,2,2} | ||
| {3,3} | {3,1,1,1} |
Assim, a classificação não pode ser usada para provar o teorema combinatorialmente. No entanto, Dyson escreveu,
Eu seguro de fato:
- que existe um coeficiente aritmético semelhante, mas mais recôndito do que a classificação de uma partição; Chamarei esse coeficiente hipotético de "manivela" da partição e denotarei por M ( m , q , n ) o número de partições de n cuja manivela é congruente com m módulo q;
- que M ( m , q , n ) = M ( q - m , q , n );
- que M (0, 11, 11 n + 6) = M (1, 11, 11 n + 6) = M (2, 11, 11 n + 6) = M (3, 11, 11 n + 6) = M (4, 11, 11 n + 6);
- naquela . . .
Se essas suposições são garantidas por evidências, deixo para o leitor decidir. Qualquer que seja o veredicto final da posteridade, acredito que a "manivela" é única entre as funções aritméticas por ter sido nomeada antes de ser descoberta. Que seja preservado do destino ignominioso do planeta Vulcano .
Definição de manivela
Em um artigo publicado em 1988, George E. Andrews e FG Garvan definiram a manivela de uma partição da seguinte maneira:
- Para uma partição λ , deixe ℓ ( λ ) denotar a maior parte de λ , ω ( λ ) denotar o número de 1's em λ e μ ( λ ) denotar o número de partes de λ maiores que ω ( λ ). A manivela c ( λ ) é dada por
As manivelas das partições dos inteiros 4, 5, 6 são calculadas nas tabelas a seguir.
Manivelas das partições de 4
| Partição λ |
Maior parte ℓ ( λ ) |
Número de 1's ω ( λ ) |
Número de peças maiores do que ω ( λ ) μ ( λ ) |
Manivela c ( λ ) |
|---|---|---|---|---|
| {4} | 4 | 0 | 1 | 4 |
| {3,1} | 3 | 1 | 1 | 0 |
| {2,2} | 2 | 0 | 2 | 2 |
| {2,1,1} | 2 | 2 | 0 | -2 |
| {1,1,1,1} | 1 | 4 | 0 | -4 |
Manivelas das partições de 5
| Partição λ |
Maior parte ℓ ( λ ) |
Número de 1's ω ( λ ) |
Número de peças maiores do que ω ( λ ) μ ( λ ) |
Manivela c ( λ ) |
|---|---|---|---|---|
| {5} | 5 | 0 | 1 | 5 |
| {4,1} | 4 | 1 | 1 | 0 |
| {3,2} | 3 | 0 | 2 | 3 |
| {3,1,1} | 3 | 2 | 1 | -1 |
| {2,2,1} | 2 | 1 | 2 | 1 |
| {2,1,1,1} | 2 | 3 | 0 | -3 |
| {1,1,1,1,1} | 1 | 5 | 0 | -5 |
Manivelas das partições de 6
| Partição λ |
Maior parte ℓ ( λ ) |
Número de 1's ω ( λ ) |
Número de peças maiores do que ω ( λ ) μ ( λ ) |
Manivela c ( λ ) |
|---|---|---|---|---|
| {6} | 6 | 0 | 1 | 6 |
| {5,1} | 5 | 1 | 1 | 0 |
| {4,2} | 4 | 0 | 2 | 4 |
| {4,1,1} | 4 | 2 | 1 | -1 |
| {3,3} | 3 | 0 | 2 | 3 |
| {3,2,1} | 3 | 1 | 2 | 1 |
| {3,1,1,1} | 3 | 3 | 0 | -3 |
| {2,2,2} | 2 | 0 | 3 | 2 |
| {2,2,1,1} | 2 | 2 | 0 | -2 |
| {2,1,1,1,1} | 2 | 4 | 0 | -4 |
| {1,1,1,1,1,1} | 1 | 6 | 0 | -6 |
Notações
Para todos os números inteiros n ≥ 0 e todos os inteiros m , o número de divisórias de n com manivela igual a m é indicado por H ( m , n ), excepto para n = 1, onde M (-1,1) = - M (0, 1) = M (1,1) = 1 conforme dado pela seguinte função geradora. O número de divisórias de n com manivela igual a m modulo q é indicado por H ( m , q , n ).
A função geradora para M ( m , n ) é dada abaixo:
Resultado básico
Andrews e Garvan provaram o seguinte resultado, que mostra que a manivela conforme definida acima atende às condições fornecidas por Dyson.
- M (0, 5, 5 n + 4) = M (1, 5, 5 n + 4) = M (2, 5, 5 n + 4) = M (3, 5, 5 n + 4) = M ( 4, 5, 5 n + 4) = p (5 n + 4) / 5
- M (0, 7, 7 n + 5) = M (1, 7, 7 n + 5) = M (2, 7, 7 n + 5) = M (3, 7, 7 n + 5) = M ( 4, 7, 7 n + 5) = M (5, 7, 7 n + 5) = M (6, 7, 7 n + 5) = p (7 n + 5) / 7
- M (0, 11, 11 n + 6) = M (1, 11, 11 n + 6) = M (2, 11, 11 n + 6) = M (3, 11, 11 n + 6) =. . . = M (9, 11, 11 n + 6) = M (10, 11, 11 n + 6) = p (11 n + 6) / 11
Os conceitos de classificação e manivela podem ser usados para classificar partições de certos inteiros em subclasses de tamanho igual. No entanto, os dois conceitos produzem subclasses diferentes de partições. Isso é ilustrado nas duas tabelas a seguir.
Classificação das partições do inteiro 9 com base em manivelas
| Partições com manivela ≡ 0 (mod 5) |
Partições com manivela ≡ 1 (mod 5) |
Partições com manivela ≡ 2 (mod 5) |
Partições com manivela ≡ 3 (mod 5) |
Partições com manivela ≡ 4 (mod 5) |
|---|---|---|---|---|
| {8, 1} | {6, 3} | {7, 2} | {6, 1, 1, 1} | {9} |
| {5, 4} | {6, 2, 1} | {5, 1, 1, 1, 1} | {4, 2, 1, 1, 1} | {7, 1, 1} |
| {5, 2, 2} | {5, 3, 1} | {4, 2, 2, 1} | {3, 3, 3} | {5, 2, 1, 1} |
| {4, 3, 1, 1} | {4, 4, 1} | {3, 3, 2, 1} | {3, 2, 2, 2} | {4, 3, 2} |
| {4, 1, 1, 1, 1, 1} | {3, 2, 1, 1, 1, 1} | {3, 3, 1, 1, 1} | {2, 2, 2, 2, 1} | {3, 2, 2, 1, 1} |
| {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1} | {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} | {2, 2, 2, 1, 1, 1} | {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} | {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1} |
Classificação das partições do inteiro 9 com base nas classificações
| Partições com classificação ≡ 0 (mod 5) |
Partições com classificação ≡ 1 (mod 5) |
Partições com classificação ≡ 2 (mod 5) |
Partições com classificação ≡ 3 (mod 5) |
Partições com classificação ≡ 4 (mod 5) |
|---|---|---|---|---|
| {7, 2} | {8, 1} | {6, 1, 1, 1} | {9} | {7, 1, 1} |
| {5, 1, 1, 1, 1} | {5, 2, 1, 1} | {5, 3, 1} | {6, 2, 1} | {6, 3} |
| {4, 3, 1, 1} | {4, 4, 1} | {5, 2, 2} | {5, 4} | {4, 2, 1, 1, 1} |
| {4, 2, 2, 1} | {4, 3, 2} | {3, 2, 1, 1, 1, 1} | {3, 3, 1, 1, 1} | {3, 3, 2, 1} |
| {3, 3, 3} | {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1} | {2, 2, 2, 2, 1} | {4, 1, 1, 1, 1, 1} | {3, 2, 2, 2} |
| {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1} | {2, 2, 2, 1, 1, 1} | {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} | {3, 2, 2, 1, 1} | {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} |
Ramanujan e manivelas
Trabalhos recentes de Bruce C. Berndt e seus co-autores revelaram que Ramanujan sabia sobre a manivela, embora não na forma que Andrews e Garvan definiram. Em um estudo sistemático do Caderno Perdido de Ramanujan, Berndt e seus co-autores deram evidências substanciais de que Ramanujan sabia sobre as dissecações da função geradora da manivela.