Cross-politope - Cross-polytope

Polopos cruzados de dimensão 2 a 5

Quadrado de 2 dimensões	Octaedro de 3 dimensões
4 dimensões de 16 células	5 dimensões 5-orthoplex

Na geometria , uma cruz-poliepítopo , hyperoctahedron , orthoplex , ou cocube é um regulares , poliepítopo convexa que existe no n - dimensões . Um politopo cruzado bidimensional é um quadrado, um politopo cruzado tridimensional é um octaedro regular e um politopo cruzado quadridimensional é um 16 células . Suas facetas são simplexes da dimensão anterior, enquanto a figura do vértice do politopo cruzado é outro politopo cruzado da dimensão anterior.

Os vértices de um politopo cruzado podem ser escolhidos como vetores unitários apontando ao longo de cada eixo de coordenadas - ou seja, todas as permutações de (± 1, 0, 0, ..., 0) . O politopo cruzado é a casca convexa de seus vértices. O politopo cruzado n- dimensional também pode ser definido como a esfera unitária fechada (ou, de acordo com alguns autores, seu limite) na norma ℓ ₁ em R ⁿ :

${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ | x \ | _ {1} \ leq 1 \}.}$

Em 1 dimensão, o politopo cruzado é simplesmente o segmento de linha [−1, +1], em 2 dimensões é um quadrado (ou diamante) com vértices {(± 1, 0), (0, ± 1)}. Em 3 dimensões, é um octaedro - um dos cinco poliedros regulares convexos conhecidos como sólidos platônicos . Isso pode ser generalizado para dimensões mais altas com um n- ortoplexo sendo construído como uma bipirâmide com uma base de ( n -1) -ortoplexo.

O politopo cruzado é o politopo dual do hipercubo . O 1- esqueleto de um cross-politope n- dimensional é um gráfico de Turán T (2 n , n ).

4 dimensões

O politopo cruzado quadridimensional também é conhecido pelo nome de hexadecachoron ou 16 células . É um dos seis 4 politopos regulares convexos . Esses 4 politopos foram descritos pela primeira vez pelo matemático suíço Ludwig Schläfli em meados do século XIX.

Dimensões superiores

A família de politopos cruzados é uma das três famílias de politopos regulares , rotulados por Coxeter como β _n , os outros dois sendo a família hipercubo , rotulados como γ _n , e os simplices , rotulados como α _n . Uma quarta família, as infinitas tesselações de hipercubos , ele rotulou como δ _n .

O politopo cruzado n- dimensional tem 2 n vértices e 2 ⁿ facetas (  componentes ( n - 1) -dimensionais) todos os quais são ( n  - 1) - simplicos . As figuras do vértice são todas ( n  - 1) -cross-politopos. O símbolo Schläfli do politopo cruzado é {3,3, ..., 3,4}.

O ângulo diedro do politopo cruzado n- dimensional é . Isso dá: δ ₂ = arccos (0/2) = 90 °, δ ₃ = arccos (−1/3) = 109,47 °, δ ₄ = arccos (−2/4) = 120 °, δ ₅ = arccos (- 3/5) = 126,87 °, ... δ _∞ = arccos (−1) = 180 °. ${\ displaystyle \ delta _ {n} = \ arccos \ left ({\ frac {2-n} {n}} \ right)}$

O hipervolume do cross-politope n- dimensional é

${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {n}} {n!}}.}$

Para cada par de vértices não opostos, existe uma aresta que os une. Mais geralmente, cada conjunto de k  + 1 vértices ortogonais corresponde a um componente k -dimensional distinto que os contém. O número de componentes k- dimensionais (vértices, arestas, faces, ..., facetas) em um politopo cruzado n- dimensional é, portanto, dado por (ver coeficiente binomial ):

${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ escolha {k + 1}}}$

Existem muitas projeções ortográficas possíveis que podem mostrar os politopos cruzados como gráficos bidimensionais. As projeções do polígono de Petrie mapeiam os pontos em polígonos regulares de 2 n ou polígonos regulares de ordem inferior. Uma segunda projeção leva o polígono petrie de 2 ( n −1) -gonos da dimensão inferior, visto como uma bipirâmide , projetado abaixo do eixo, com 2 vértices mapeados no centro.

Elementos cross-politope

n	β n k 11	Gráfico de Nomes	Gráfico 2 n -gon	Schläfli	Diagramas de Coxeter-Dynkin	Vértices	Arestas	Rostos	Células	4 faces	5 faces	6 faces	7 faces	8 faces	9 faces	10 faces
0	β 0	Ponto 0-orthoplex	.	()		1
1	β 1	Segmento de linha 1-orthoplex		{}		2	1
2	β 2 −1 11	quadrado 2-orthoplex Bicross		{4} 2 {} = {} + {}		4	4	1
3	β 3 0 11	octaedro 3-orthoplex Tricross		{3,4} {3 1,1 } 3 {}		6	12	8	1
4	β 4 1 11	Tetracross 4-orthoplex de 16 células		{3,3,4} {3,3 1,1 } 4 {}		8	24	32	16	1
5	β 5 2 11	Pentacross 5-orthoplex		{3 3 , 4} {3,3,3 1,1 } 5 {}		10	40	80	80	32	1
6	β 6 3 11	6-orthoplex Hexacross		{3 4 , 4} {3 3 , 3 1,1 } 6 {}		12	60	160	240	192	64	1
7	β 7 4 11	7-orthoplex Heptacross		{3 5 , 4} {3 4 , 3 1,1 } 7 {}		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β 8 5 11	Octacross 8-orthoplex		{3 6 , 4} {3 5 , 3 1,1 } 8 {}		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β 9 6 11	9-orthoplex Enneacross		{3 7 , 4} {3 6 , 3 1,1 } 9 {}		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β 10 7 11	Decacross 10-orthoplex		{3 8 , 4} {3 7 , 3 1,1 } 10 {}		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
n	β n k 11	n- ortoplex n -cross		{3 n  - 2 , 4} {3 n  - 3 , 3 1,1 } n {}	... ... ...	2 n 0-faces , ... k -faces ..., 2 n ( n −1) -faces${\ displaystyle 2 ^ {k + 1} {n \ escolha k + 1}}$

Os vértices de um politopo cruzado alinhado com o eixo estão todos a uma distância igual uns dos outros na distância de Manhattan ( norma L ¹ ). A conjectura de Kusner afirma que este conjunto de 2 pontos d é o maior conjunto equidistante possível para esta distância.

Ortoplexo generalizado

Os politopos complexos regulares podem ser definidos no espaço de Hilbert complexo , chamados de ortoplexos generalizados (ou politopos cruzados), β^p
_n= ₂ {3} ₂ {3} ... ₂ {4} _p , ou... Soluções reais existem com p = 2, ou seja, β²
_n= β _n = ₂ {3} ₂ {3} ... ₂ {4} ₂ = {3,3, .., 4}. Para p > 2, eles existem em . Um p -generalized n -orthoplex tem pn vértices. Os ortoplexos generalizados têm simplexes regulares (reais) como facetas . Os ortoplexos generalizados fazem gráficos multipartidos completos , β${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {n}}$^p
₂faça K _{p , p} para gráfico bipartido completo , β^p
₃faça K _{p , p , p} para gráficos tripartidos completos. β^p
_ncria K _{p ⁿ} . Uma projeção ortogonal pode ser definida para mapear todos os vértices igualmente espaçados em um círculo, com todos os pares de vértices conectados, exceto múltiplos de n . O perímetro do polígono regular nessas projeções ortogonais é chamado de polígono petrie .

Ortoplexos generalizados

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	2 {4} 2 = {4} = K 2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {2}}$	2 {4} 3 = K 3,3	2 {4} 4 = K 4,4	2 {4} 5 = K 5,5	2 {4} 6 = K 6,6	2 {4} 7 = K 7,7	2 {4} 8 = K 8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = K 2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {3}}$	2 {3} 2 {4} 3 = K 3,3,3	2 {3} 2 {4} 4 = K 4,4,4	2 {3} 2 {4} 5 = K 5,5,5	2 {3} 2 {4} 6 = K 6,6,6	2 {3} 2 {4} 7 = K 7,7,7	2 {3} 2 {4} 8 = K 8,8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = K 2,2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^ {6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8,8

Famílias de politopo relacionadas

Os politopos cruzados podem ser combinados com seus cubos duplos para formar politopos compostos:

• Em duas dimensões, obtemos a figura estelar octograma { 8 ⁄ 2 },
• Em três dimensões, obtemos o composto de cubo e octaedro ,
• Em quatro dimensões, obtemos o composto de tesserato e 16 células .

Veja também

• Lista de politopos regulares
• Grupo hiperoctaédrico , o grupo de simetria do politopo cruzado

Citações

Referências

• Coxeter, HSM (1973). Polytopes regulares (3ª ed.). Nova York: Dover.
  • pp. 121-122, §7.21. veja a ilustração Fig 7.2 B
  • p. 296, Tabela I (iii): Polopos regulares, três politopos regulares em n-dimensões (n≥5)

links externos

• Weisstein, Eric W. "Cross polytope" . MathWorld .