Momento de cristal - Crystal momentum

Há um número infinito de oscilações senoidais que se encaixam perfeitamente em um conjunto de osciladores discretos, tornando impossível definir um vetor k de maneira inequívoca. Esta é uma relação das distâncias entre os osciladores com a frequência espacial de ondas de Nyquist na rede. Consulte também Aliasing § Amostragem de funções sinusoidais para obter mais informações sobre a equivalência de vetores k.

Na física do estado sólido, o momento do cristal ou quasimomentum é um vetor semelhante ao momento associado aos elétrons em uma rede de cristal . É definido pelos vetores de onda associados a esta rede, de acordo com ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {cristal}} \ equiv \ hbar {\ mathbf {k}}}$

(onde está a constante de Planck reduzida ). Freqüentemente, o momento do cristal é conservado como o momento mecânico, tornando-o útil para físicos e cientistas de materiais como uma ferramenta analítica. ${\ displaystyle \ hbar}$

Origens de simetria reticulada

Um método comum de modelar a estrutura e o comportamento do cristal é ver os elétrons como partículas mecânicas quânticas viajando através de um potencial periódico infinito fixo, de modo que ${\ displaystyle V (x)}$

${\ displaystyle V ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = V ({\ mathbf {x}}),}$

onde é um vetor de rede arbitrário . Esse modelo é sensato porque os íons de cristal que formam a estrutura da rede são normalmente da ordem de dezenas de milhares de vezes mais massivos do que os elétrons, tornando seguro substituí-los por uma estrutura potencial fixa, e as dimensões macroscópicas de um cristal são tipicamente muito maior do que um espaçamento de rede simples, tornando os efeitos de borda insignificantes. Uma conseqüência dessa função de energia potencial é que é possível deslocar a posição inicial de um elétron por qualquer vetor de rede sem alterar nenhum aspecto do problema, definindo assim uma simetria discreta . Tecnicamente, um potencial periódico infinito implica que o operador de tradução da rede comuta com o hamiltoniano , assumindo uma forma simples de cinética mais potencial. ${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {a}}$${\ displaystyle T (a)}$

Essas condições implicam no teorema de Bloch , que afirma

${\ displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}}), \ qquad u_ {n {\ mathbf {k}}} ({\ mathbf {x}} + {\ mathbf {a}}) = u_ {n {\ mathbf {k }}} ({\ mathbf {x}})}$,

ou que um elétron em uma rede, que pode ser modelado como uma função de onda de uma única partícula , encontra suas soluções de estado estacionário na forma de uma onda plana multiplicada por uma função periódica . O teorema surge como uma consequência direta do fato acima mencionado de que o operador de tradução de simetria da rede comuta com o hamiltoniano do sistema. ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$

Um dos aspectos notáveis ​​do teorema de Bloch é que ele mostra diretamente que as soluções de estado estacionário podem ser identificadas com um vetor de onda , o que significa que esse número quântico permanece uma constante de movimento. O momento do cristal é então convencionalmente definido pela multiplicação deste vetor de onda pela constante de Planck: ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle {\ mathbf {p}} _ {\ text {cristal}} = \ hbar {\ mathbf {k}}.}$

Embora isso seja de fato idêntico à definição que se pode dar para o momento regular (por exemplo, tratando os efeitos do operador de translação pelos efeitos de uma partícula no espaço livre), existem diferenças teóricas importantes. Por exemplo, enquanto o momento regular é completamente conservado, o momento do cristal só é conservado dentro de um vetor de rede. Por exemplo, um elétron pode ser descrito não apenas pelo vetor de onda , mas também com qualquer outro vetor de onda de modo que ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {k '}}$

${\ displaystyle \ mathbf {k '} = \ mathbf {k} + \ mathbf {K},}$

onde é um vetor de rede recíproco arbitrário . Isso é uma consequência do fato de que a simetria da rede é discreta em oposição a contínua e, portanto, sua lei de conservação associada não pode ser derivada usando o teorema de Noether . ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$

Significado físico

A modulação de fase do estado de Bloch é a mesma de uma partícula livre com momentum , ou seja, dá a periodicidade do estado, que não é a mesma da rede. Essa modulação contribui para a energia cinética da partícula (enquanto a modulação é inteiramente responsável pela energia cinética de uma partícula livre). ${\ displaystyle \ psi _ {n} ({\ mathbf {x}}) = e ^ {i {\ mathbf {k} {\ mathbf {\ cdot x}}}} u_ {n {\ mathbf {k}} } ({\ mathbf {x}})}$${\ displaystyle \ hbar k}$${\ displaystyle k}$

Em regiões onde a banda é aproximadamente parabólica, o momento do cristal é igual ao momento de uma partícula livre com momento se atribuirmos à partícula uma massa efetiva que está relacionada à curvatura da parábola. ${\ displaystyle \ hbar k}$

Relação com a velocidade

Um pacote de ondas com dispersão , que faz com que a velocidade do grupo e a velocidade da fase sejam diferentes. Esta imagem é uma onda real unidimensional , mas os pacotes de onda de elétrons são ondas complexas tridimensionais .

O momento do cristal corresponde ao conceito fisicamente mensurável de velocidade de acordo com

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}).}$

Esta é a mesma fórmula da velocidade de grupo de uma onda . Mais especificamente, devido ao princípio da incerteza de Heisenberg , um elétron em um cristal não pode ter um k exatamente definido e uma posição exata no cristal. Pode, no entanto, formar um pacote de ondas centrado no momento k (com leve incerteza) e centrado em uma determinada posição (com ligeira incerteza). A posição central desse pacote de ondas muda conforme a onda se propaga, movendo-se através do cristal na velocidade v dada pela fórmula acima. Em um cristal real, um elétron se move dessa maneira - viajando em uma certa direção a uma certa velocidade - por apenas um curto período de tempo, antes de colidir com uma imperfeição no cristal que o faz se mover em uma direção diferente e aleatória. Essas colisões, chamadas de espalhamento de elétrons , são mais comumente causadas por defeitos cristalográficos , a superfície do cristal e vibrações térmicas aleatórias dos átomos no cristal ( fônons ).

Resposta a campos elétricos e magnéticos

O momento do cristal também desempenha um papel seminal no modelo semiclássico da dinâmica do elétron, onde obedece às equações de movimento (em unidades cgs):

${\ displaystyle {\ mathbf {v}} _ {n} ({\ mathbf {k}}) = {\ frac {1} {\ hbar}} \ nabla _ {\ mathbf {k}} E_ {n} ( {\ mathbf {k}}),}$

${\ displaystyle {\ mathbf {\ dot {p}}} _ {\ text {cristal}} = - e \ left ({\ mathbf {E}} - {\ frac {1} {c}} {\ mathbf { v}} \ times {\ mathbf {H}} \ right)}$

Aqui, talvez, a analogia entre o momento do cristal e o verdadeiro momento seja mais poderosa, pois essas são precisamente as equações que um elétron do espaço livre obedece na ausência de qualquer estrutura de cristal. O momento do cristal também ganha sua chance de brilhar nesses tipos de cálculos, pois, para calcular a trajetória de movimento de um elétron usando as equações acima, basta considerar os campos externos, ao tentar o cálculo de um conjunto de equações de movimento com base em o verdadeiro momento exigiria levar em consideração as forças individuais de Coulomb e Lorentz de cada íon da rede, além do campo externo.

Formulários

Espectroscopia de foto-emissão com resolução de ângulo (ARPES)

Na espectroscopia de foto-emissão de ângulo resolvido (ARPES), irradiar luz em uma amostra de cristal resulta na ejeção de um elétron para longe do cristal. Ao longo do curso da interação, é possível combinar os dois conceitos de cristal e momentum verdadeiro e, assim, obter conhecimento direto da estrutura de banda de um cristal. Ou seja, o momento do cristal de um elétron dentro do cristal torna-se o seu verdadeiro momento depois que ele sai, e o verdadeiro momento pode ser subsequentemente inferido a partir da equação

${\ displaystyle {\ mathbf {p _ {\ parallel}}} = {\ sqrt {2mE _ {\ text {kin}}}} \ sin \ theta}$

medindo o ângulo e a energia cinética em que o elétron sai do cristal, onde é a massa de um único elétron. Como a simetria do cristal na direção normal à superfície do cristal é perdida na fronteira do cristal, o momento do cristal nesta direção não é conservado. Consequentemente, as únicas direções nas quais dados úteis do ARPES podem ser coletados são as direções paralelas à superfície do cristal. ${\ displaystyle m}$

Referências