Função cúbica - Cubic function

Gráfico de uma função cúbica com 3 raízes reais (onde a curva cruza o eixo horizontal - onde y = 0 ). O caso mostrado possui dois pontos críticos . Aqui, a função é f ( x ) = ( x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8) / 4 .

Em matemática , uma função cúbica é uma função da forma

onde os coeficientes a , b , c e d são números reais e a variável x assume valores reais e a ≠ 0 . Em outras palavras, é uma função polinomial de grau três e uma função real . Em particular, o domínio e o codomínio são o conjunto dos números reais.

Definir f ( x ) = 0 produz uma equação cúbica da forma

cujas soluções são chamadas de raízes da função.

Uma função cúbica tem uma ou três raízes reais (que podem não ser distintas); todos os polinômios de grau ímpar têm pelo menos uma raiz real.

O gráfico de uma função cúbica sempre tem um único ponto de inflexão . Pode ter dois pontos críticos , um mínimo local e um máximo local. Caso contrário, uma função cúbica é monotônica . O gráfico de uma função cúbica é simétrico em relação ao seu ponto de inflexão; ou seja, é invariante sob uma rotação de meia volta em torno deste ponto. Até uma transformação afim , existem apenas três gráficos possíveis para funções cúbicas.

As funções cúbicas são fundamentais para a interpolação cúbica .

História

Pontos críticos e de inflexão

As raízes , pontos estacionários , ponto de inflexão e concavidade de um polinômio cúbico x 3 - 3 x 2 - 144 x + 432 (linha preta) e suas primeira e segunda derivadas (vermelho e azul).

Os pontos críticos de uma função cúbica são seus pontos estacionários , ou seja, os pontos onde a inclinação da função é zero. Assim, os pontos críticos de uma função cúbica f definida por

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,

ocorrem em valores de x de modo que a derivada

da função cúbica é zero.

As soluções desta equação são os valores x dos pontos críticos e são dadas, usando a fórmula quadrática , por

O sinal da expressão dentro da raiz quadrada determina o número de pontos críticos. Se for positivo, então existem dois pontos críticos, um é um máximo local e o outro é um mínimo local. Se b 2 - 3 ac = 0 , então há apenas um ponto crítico, que é um ponto de inflexão . Se b 2 - 3 ac <0 , então não há pontos críticos (reais). Nos dois últimos casos, isto é, se b 2 - 3 ac não for positivo, a função cúbica será estritamente monotônica . Veja a figura para um exemplo do caso Δ 0 > 0 .

O ponto de inflexão de uma função é onde essa função muda de concavidade . Um ponto de inflexão ocorre quando a segunda derivada é zero e a terceira derivada é diferente de zero. Assim, uma função cúbica tem sempre um único ponto de inflexão, que ocorre em

Classificação

Funções cúbicas da forma O gráfico de qualquer função cúbica é semelhante a essa curva.

O gráfico de uma função cúbica é uma curva cúbica , embora muitas curvas cúbicas não sejam gráficos de funções.

Embora as funções cúbicas dependam de quatro parâmetros, seu gráfico pode ter muito poucas formas. Na verdade, o gráfico de uma função cúbica é sempre semelhante ao gráfico de uma função da forma

Essa similaridade pode ser construída como a composição de translações paralelas aos eixos de coordenadas, uma homotecia ( escala uniforme ) e, possivelmente, um reflexo ( imagem espelhada ) em relação ao eixo y . Uma escala não uniforme adicional pode transformar o gráfico no gráfico de uma entre as três funções cúbicas

Isso significa que existem apenas três gráficos de funções cúbicas até uma transformação afim .

As transformações geométricas acima podem ser construídas da seguinte maneira, ao partir de uma função cúbica geral

Primeiramente, se a <0 , a mudança da variável x → - x permite supor a > 0 . Após esta mudança de variável, o novo gráfico é a imagem espelhada do anterior, em relação ao eixo y .

Então, a mudança da variável x = x 1 - b / 3 a fornece uma função do formulário

Isso corresponde a uma translação paralela ao eixo x .

A mudança da variável y = y 1 + q corresponde a uma tradução em relação ao eixo y e dá uma função da forma

A mudança de variável corresponde a uma escala uniforme, e dá, após a multiplicação por uma função da forma

que é a forma mais simples que pode ser obtida por uma semelhança.

Então, se p ≠ 0 , a escala não uniforme dá, após a divisão por

onde tem o valor 1 ou –1, dependendo do sinal de p . Se alguém definir a última forma da função se aplica a todos os casos (com e ).

Simetria

Para uma função cúbica da forma, o ponto de inflexão é, portanto, a origem. Como tal função é ímpar , seu gráfico é simétrico em relação ao ponto de inflexão e invariável sob uma rotação de meia volta em torno do ponto de inflexão. Como essas propriedades são invariáveis ​​por similaridade , o seguinte é verdadeiro para todas as funções cúbicas.

O gráfico de uma função cúbica é simétrico em relação ao seu ponto de inflexão e é invariável sob uma rotação de meia volta em torno do ponto de inflexão.

Colinearidades

Os pontos P 1 , P 2 e P 3 (em azul) são colineares e pertencem ao gráfico de x 3 + 3 / 2 x 2 - 5 / 2 x + 5 / 4 . Os pontos T 1 , T 2 e T 3 (em vermelho) são as interseções das linhas tangentes (pontilhadas) do gráfico nesses pontos com o próprio gráfico. Eles também são colineares.

As linhas tangentes ao gráfico de uma função cúbica em três pontos colineares interceptam a cúbica novamente em pontos colineares. Poderá ser visto da seguinte forma.

Como esta propriedade é invariante sob um movimento rígido , pode-se supor que a função tem a forma

Se α é um número real, então a tangente ao gráfico de f no ponto ( α , f ( α )) é a reta

{( x , f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α )): x R }.

Assim, o ponto de interseção entre esta linha e o gráfico de f pode ser obtido resolvendo a equação f ( x ) = f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α ) , ou seja

que pode ser reescrito

e fatorado como

Então, a tangente intercepta a cúbica em

Então, a função que mapeia um ponto ( x , y ) do gráfico para o outro ponto onde a tangente intercepta o gráfico é

Esta é uma transformação afim que transforma pontos colineares em pontos colineares. Isso prova o resultado reivindicado.

Interpolação cúbica

Dados os valores de uma função e sua derivada em dois pontos, há exatamente uma função cúbica que tem os mesmos quatro valores, que é chamada de spline cúbico de Hermite .

Existem duas maneiras padrão de usar esse fato. Em primeiro lugar, se se conhece, por exemplo por medição física, os valores de uma função e sua derivada em alguns pontos de amostragem, pode-se interpolar a função com uma função continuamente diferenciável , que é uma função cúbica por partes .

Se o valor de uma função é conhecido em vários pontos, a interpolação cúbica consiste em aproximar a função por uma função continuamente diferenciável , que é cúbica por partes . Por ter uma interpolação definida de forma única, mais duas restrições devem ser adicionadas, como os valores das derivadas nas extremidades ou uma curvatura zero nas extremidades.

Referência

links externos