Curva de largura constante - Curve of constant width

Medir a largura de um triângulo de Reuleaux como a distância entre linhas paralelas de suporte . Como essa distância não depende da direção das linhas, o triângulo de Reuleaux é uma curva de largura constante.

Em geometria , uma curva de largura constante é uma curva fechada simples no plano cuja largura (a distância entre as linhas de apoio paralelas ) é a mesma em todas as direções. A forma delimitada por uma curva de largura constante é um corpo de largura constante ou orbiforme , nome dado a essas formas por Leonhard Euler . Exemplos padrão são o círculo e o triângulo de Reuleaux . Essas curvas também podem ser construídas usando arcos circulares centralizados nos cruzamentos de um arranjo de linhas , como os involutos de certas curvas, ou pela intersecção de círculos centrados em uma curva parcial.

Todo corpo de largura constante é um conjunto convexo , seu limite cruzado no máximo duas vezes por qualquer linha, e se a linha cruza perpendicularmente, ele o faz em ambos os cruzamentos, separados pela largura. Pelo teorema de Barbier , o perímetro do corpo é exatamente π vezes sua largura, mas sua área depende de sua forma, com o triângulo de Reuleaux tendo a menor área possível para sua largura e o círculo, o maior. Cada superconjunto de um corpo de largura constante inclui pares de pontos que estão mais distantes do que a largura, e cada curva de largura constante inclui pelo menos seis pontos de curvatura extrema. Embora o triângulo de Reuleaux não seja suave, curvas de largura constante sempre podem ser aproximadas arbitrariamente por curvas suaves de mesma largura constante.

Cilindros com seção transversal de largura constante podem ser usados ​​como rolos para apoiar uma superfície nivelada. Outra aplicação de curvas de largura constante é para formas de cunhagem , onde polígonos Reuleaux regulares são uma escolha comum. A possibilidade de outras curvas além dos círculos terem largura constante torna mais complicado verificar a circularidade de um objeto .

Curvas de largura constante foram generalizadas de várias maneiras para dimensões superiores e geometria não euclidiana .

Definições

A largura e a largura constante são definidas em termos das linhas de suporte das curvas; são linhas que tocam uma curva sem cruzá-la. Cada curva compacta no plano tem duas linhas de apoio em qualquer direção, com a curva imprensada entre elas. A distância euclidiana entre essas duas linhas é a largura da curva naquela direção, e uma curva tem largura constante se essa distância for a mesma para todas as direções das linhas. A largura de um conjunto convexo limitado pode ser definida da mesma forma que para as curvas, pela distância entre pares de linhas paralelas que tocam o conjunto sem cruzá-lo, e um conjunto convexo é um corpo de largura constante quando esta distância é diferente de zero e não depende da direção das linhas. Cada corpo de largura constante tem uma curva de largura constante como seu limite, e cada curva de largura constante tem um corpo de largura constante como seu casco convexo .

Outra forma equivalente de definir a largura de uma curva compacta ou de um conjunto convexo é observando sua projeção ortogonal em uma linha. Em ambos os casos, a projeção é um segmento de linha , cujo comprimento é igual à distância entre as linhas de suporte perpendiculares à linha. Assim, uma curva ou conjunto convexo tem largura constante quando todas as suas projeções ortogonais têm o mesmo comprimento.

Exemplos

Uma curva de largura constante definida por um polinômio de 8º grau

Os círculos têm largura constante, igual ao diâmetro . Por outro lado, os quadrados não: as linhas de apoio paralelas a dois lados opostos do quadrado estão mais próximas do que as linhas de apoio paralelas a uma diagonal. De maneira mais geral, nenhum polígono pode ter largura constante. No entanto, existem outras formas de largura constante. Um exemplo padrão é o triângulo de Reuleaux , a interseção de três círculos, cada um centralizado onde os outros dois se cruzam. Sua curva limite consiste em três arcos desses círculos, encontrando-se em ângulos de 120 °, portanto, não é suave e, na verdade, esses ângulos são os mais agudos possíveis para qualquer curva de largura constante.

Outras curvas de largura constante podem ser suaves, mas não circulares, nem mesmo tendo quaisquer arcos circulares em seus limites. Por exemplo, o conjunto zero do polinômio abaixo forma uma curva algébrica lisa não circular de largura constante:

$${\ displaystyle {\ begin {align} f (x, y) = {} & (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {4} -45 (x ^ {2} + y ^ {2} ) ^ {3} -41283 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} \\ & + 7950960 (x ^ {2} + y ^ {2}) + 16 (x ^ {2} -3y ^ {2}) ^ {3} +48 (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} -3y ^ {2}) ^ {2} \\ & + x (x ^ {2} -3y ^ {2}) \ left (16 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -5544 (x ^ {2} + y ^ {2}) + 266382 \ direita) -720 ^ {3}. \ end {alinhado}}}$$

Seu grau, oito, é o grau mínimo possível para um polinômio que define uma curva não circular de largura constante.

Construções

Um polígono de Reuleaux irregular

Aplicando o método das linhas cruzadas a um arranjo de quatro linhas . Os limites do corpo azul de largura constante são arcos circulares de quatro pares aninhados de círculos (círculos internos vermelho escuro e círculos externos vermelho claro).

Corpo de largura constante (amarelo) formado por discos que se cruzam (azul) centrados em uma semi-elipse (preta). O círculo vermelho mostra um círculo tangente a uma linha de suporte, em um ponto de curvatura mínima da semielipse. A excentricidade da semi-elipse da figura é a máxima possível para esta construção.

Todo polígono regular com um número ímpar de lados dá origem a uma curva de largura constante, um polígono de Reuleaux , formado por arcos circulares centrados em seus vértices que passam pelos dois vértices mais distantes do centro. Por exemplo, esta construção gera um triângulo de Reuleaux a partir de um triângulo equilátero. Alguns polígonos irregulares também geram polígonos de Reuleaux. Em uma construção intimamente relacionada, chamada por Martin Gardner de "método das linhas cruzadas", um arranjo de linhas no plano (não dois paralelos, mas de outra forma arbitrário) é classificado em ordem cíclica pelas inclinações das linhas. As linhas são então conectadas por uma curva formada por uma sequência de arcos circulares; cada arco conecta duas linhas consecutivas na ordem classificada e é centralizado em seu cruzamento. O raio do primeiro arco deve ser escolhido grande o suficiente para fazer com que todos os arcos sucessivos terminem no lado correto do próximo ponto de cruzamento; entretanto, todos os raios suficientemente grandes funcionam. Para duas linhas, isso forma um círculo; para três linhas nos lados de um triângulo equilátero, com o raio mínimo possível, ele forma um triângulo de Reuleaux, e para as linhas de um polígono de estrela regular pode formar um polígono de Reuleaux.

Leonhard Euler construiu curvas de largura constante a partir de involutos de curvas com um número ímpar de singularidades de cúspide , tendo apenas uma linha tangente em cada direção (ou seja, ouriços projetivos ). Uma maneira intuitiva de descrever a construção involuta é rolar um segmento de linha ao redor dessa curva, mantendo-a tangente à curva sem deslizar ao longo dela, até que ela retorne ao seu ponto inicial de tangência. O segmento de linha deve ser longo o suficiente para atingir os pontos cúspides da curva, de modo que possa rolar além de cada cúspide para a próxima parte da curva, e sua posição inicial deve ser cuidadosamente escolhida para que no final do processo de rolagem ele está na mesma posição em que começou. Quando isso acontece, a curva traçada pelas extremidades do segmento de linha é um involuto que envolve a curva dada sem cruzá-la, com largura constante igual ao comprimento do segmento de linha. Se a curva inicial for suave (exceto nas cúspides), a curva resultante de largura constante também será suave. Um exemplo de curva inicial com as propriedades corretas para esta construção é a curva deltóide , e os involutos do deltóide que a envolvem formam curvas suaves de largura constante, não contendo quaisquer arcos circulares.

Outra construção escolhe a metade da curva de largura constante, atendendo a certos requisitos, e forma a partir dela um corpo de largura constante tendo a curva dada como parte de seu limite. A construção começa com um arco curvo convexo, cujas extremidades estão separadas pela largura pretendida . Os dois pontos finais devem tocar linhas de apoio paralelas distantes uma da outra. Além disso, cada linha de apoio que toca outro ponto do arco deve ser tangente nesse ponto a um círculo de raio contendo todo o arco; este requisito evita que a curvatura do arco seja menor que a do círculo. O corpo completo de largura constante é então a intersecção dos interiores de uma família infinita de círculos, de dois tipos: os tangentes às linhas de suporte e mais círculos do mesmo raio centrados em cada ponto do arco dado. Esta construção é universal: todas as curvas de largura constante podem ser construídas desta forma. Victor Puiseux , um matemático francês do século 19, encontrou curvas de largura constante contendo arcos elípticos que podem ser construídos dessa forma a partir de uma semi-elipse . Para atender à condição de curvatura, a semi-elipse deve ser limitada pelo semi-eixo maior de sua elipse, e a elipse deve ter excentricidade no máximo . De forma equivalente, o semi-eixo maior deve ser no máximo duas vezes o semi-eixo menor. ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {3}}}$

Dados quaisquer dois corpos de largura constante, sua soma de Minkowski forma outro corpo de largura constante. Uma generalização das somas de Minkowski às somas das funções de suporte dos ouriços produz uma curva de largura constante a partir da soma de um ouriço projetivo e um círculo, sempre que o resultado for uma curva convexa. Todas as curvas de largura constante podem ser decompostas em uma soma de ouriços desta forma.

Propriedades

O triângulo de Reuleaux rolando dentro de um quadrado, enquanto o tempo todo toca os quatro lados

Uma curva de largura constante pode girar entre duas linhas paralelas separadas por sua largura, ao mesmo tempo em que toca essas linhas, que atuam como linhas de apoio para a curva girada. Da mesma forma, uma curva de largura constante pode girar dentro de um losango ou quadrado, cujos pares de lados opostos são separados pela largura e ficam em linhas de suporte paralelas. Nem toda curva de largura constante pode girar dentro de um hexágono regular da mesma maneira, porque suas linhas de suporte podem formar diferentes hexágonos irregulares para diferentes rotações, em vez de sempre formarem um hexágono regular. No entanto, cada curva de largura constante pode ser delimitada por pelo menos um hexágono regular com lados opostos em linhas de suporte paralelas.

Uma curva tem largura constante se e somente se, para cada par de linhas de suporte paralelas, ela toca essas duas linhas em pontos cuja distância é igual à separação entre as linhas. Em particular, isso implica que ele só pode tocar cada linha de suporte em um único ponto. Equivalentemente, cada linha que cruza a curva perpendicularmente a cruza em exatamente dois pontos de distância igual à largura. Portanto, uma curva de largura constante deve ser convexa, pois toda curva fechada simples não convexa tem uma linha de apoio que a toca em dois ou mais pontos. Curvas de largura constante são exemplos de curvas auto-paralelas ou auto-paralelas, curvas traçadas por ambas as extremidades de um segmento de linha que se move de tal forma que ambas as extremidades se movem perpendicularmente ao segmento de linha. No entanto, existem outras curvas auto-paralelas, como a espiral infinita formada pelo involuto de um círculo, que não têm largura constante.

O teorema de Barbier afirma que o perímetro de qualquer curva de largura constante é igual à largura multiplicada por . Como um caso especial, esta fórmula está de acordo com a fórmula padrão para o perímetro de um círculo dado seu diâmetro. Pela desigualdade isoperimétrica e pelo teorema de Barbier, o círculo tem a área máxima de qualquer curva de largura constante dada. O teorema de Blaschke-Lebesgue diz que o triângulo de Reuleaux tem a menor área de qualquer curva convexa de largura constante dada. Todo superconjunto apropriado de um corpo de largura constante tem um diâmetro estritamente maior, e todo conjunto euclidiano com essa propriedade é um corpo de largura constante. Em particular, não é possível que um corpo de largura constante seja um subconjunto de um corpo diferente com a mesma largura constante. Cada curva de largura constante pode ser aproximada arbitrariamente por uma curva circular por partes ou por uma curva analítica da mesma largura constante. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi d}$

Um vértice de uma curva suave é um ponto onde sua curvatura é um máximo ou mínimo local; para um arco circular, todos os pontos são vértices, mas as curvas não circulares podem ter um conjunto discreto finito de vértices. Para uma curva que não é lisa, os pontos onde ela não é lisa também podem ser considerados como vértices, de curvatura infinita. Para uma curva de largura constante, cada vértice de curvatura localmente mínima é pareado com um vértice de curvatura localmente máxima, oposto a ele em um diâmetro da curva, e deve haver pelo menos seis vértices. Isso contrasta com o teorema dos quatro vértices , segundo o qual cada curva lisa fechada simples no plano tem pelo menos quatro vértices. Algumas curvas, como elipses, têm exatamente quatro vértices, mas isso não é possível para uma curva de largura constante. Como os mínimos locais de curvatura são opostos aos máximos locais de curvatura, as únicas curvas de largura constante com simetria central são os círculos, para os quais a curvatura é a mesma em todos os pontos. Para cada curva de largura constante, o círculo interno mínimo da curva e o maior círculo que ela contém são concêntricos, e a média de seus diâmetros é a largura da curva. Esses dois círculos juntos tocam a curva em pelo menos três pares de pontos opostos, mas esses pontos não são necessariamente vértices.

Um corpo convexo tem largura constante se e somente se a soma de Minkowski do corpo e sua rotação de 180 ° for um disco circular; em caso afirmativo, a largura do corpo é o raio do disco.

Formulários

Rolos de largura constante

Devido à capacidade das curvas de largura constante de rolar entre linhas paralelas, qualquer cilindro com uma curva de largura constante como sua seção transversal pode atuar como um "rolo" , apoiando um plano nivelado e mantendo-o plano enquanto rola ao longo de qualquer nível superfície. No entanto, o centro do rolo se move para cima e para baixo à medida que ele rola, portanto, essa construção não funcionaria para rodas com esse formato presas a eixos fixos.

Algumas formas de cunhagem são corpos não circulares de largura constante. Por exemplo, as moedas britânicas de 20p e 50p são heptágonos Reuleaux, e o loonie canadense é um Reuleaux 11-gon. Essas formas permitem que as máquinas automáticas de moedas reconheçam essas moedas por suas larguras, independentemente da orientação da moeda na máquina. Por outro lado, testar a largura é inadequado para determinar a circularidade de um objeto , porque esses testes não conseguem distinguir círculos de outras curvas de largura constante. Ignorar esse fato pode ter desempenhado um papel no desastre do ônibus espacial Challenger , já que a redondeza das seções do foguete naquele lançamento foi testada apenas medindo larguras, e formas fora do círculo podem causar tensões excepcionalmente altas que poderiam ter sido um dos fatores que causam o desastre.

Generalizações

As curvas de largura constante podem ser generalizadas para certas curvas não convexas, as curvas que possuem duas linhas tangentes em cada direção, com a mesma separação entre essas duas linhas independentemente de sua direção. Como caso limite, os ouriços projetivos (curvas com uma reta tangente em cada direção) também foram chamados de "curvas de largura zero".

Uma maneira de generalizar esses conceitos para três dimensões é por meio das superfícies de largura constante . O análogo tridimensional de um triângulo de Reuleaux, o tetraedro de Reuleaux , não tem largura constante, mas pequenas alterações produzem os corpos de Meissner , que sim. As curvas de largura constante também podem ser generalizadas para os corpos de brilho constante , formas tridimensionais cujas projeções bidimensionais têm áreas iguais; essas formas obedecem a uma generalização do teorema de Barbier. Uma classe diferente de generalizações tridimensionais, as curvas espaciais de largura constante, são definidas pelas propriedades de que cada plano que cruza a curva perpendicularmente a cruza exatamente em um outro ponto, onde também é perpendicular, e que todos os pares de pontos se cruzam por planos perpendiculares estão à mesma distância.

Curvas e corpos de largura constante também foram estudados em geometria não euclidiana e para espaços vetoriais normados não euclidianos .

Veja também

• Largura média , a largura de uma curva calculada em todas as direções possíveis
• Curva de Zindler , uma curva em que todos os acordes de divisão do perímetro têm o mesmo comprimento

Referências

links externos

• Applet interativo de Michael Borcherds mostrando uma forma irregular de largura constante (que você pode alterar) feita usando o GeoGebra .
• Weisstein, Eric W. "Curve of Constant Width" . MathWorld .
• Molde, Steve. "Formas e sólidos de largura constante" . Numberphile . Brady Haran . Arquivado do original em 19/03/2016 . Página visitada em 2013-11-17 .
• Formas de largura constante no corte do nó