Espaço curvo - Curved space

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v t e

O espaço curvo geralmente se refere a uma geometria espacial que não é "plana", onde um espaço plano é descrito pela geometria euclidiana . Espaços curvos podem geralmente ser descritos pela geometria Riemanniana, embora alguns casos simples possam ser descritos de outras maneiras. Espaços curvos desempenham um papel essencial na relatividade geral , onde a gravidade é frequentemente visualizada como espaço curvo. A métrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker é uma métrica curva que constitui a base atual para a descrição da expansão do espaço e da forma do universo .

Exemplo bidimensional simples

Um exemplo muito familiar de espaço curvo é a superfície de uma esfera. Embora, para nossa visão familiar, a esfera pareça tridimensional, se um objeto for restringido a ficar na superfície, ele só tem duas dimensões para se mover. A superfície de uma esfera pode ser completamente descrita por duas dimensões, não importa como áspera a superfície pode parecer, ainda é apenas uma superfície, que é a borda externa bidimensional de um volume. Mesmo a superfície da Terra, que é fractal em complexidade, ainda é apenas uma fronteira bidimensional ao longo da parte externa de um volume.

Embedding

Em um espaço plano, a soma dos quadrados do lado de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. Essa relação não é válida para espaços curvos.

Uma das características que definem um espaço curvo é sua partida com o teorema de Pitágoras . Em um espaço curvo

${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} \ neq dl ^ {2}}$ .

A relação pitagórica muitas vezes pode ser restaurada descrevendo o espaço com uma dimensão extra. Suponha que temos um espaço tridimensional não euclidiano com coordenadas . Porque não é plano ${\ displaystyle \ left (x ', y', z '\ right)}$

${\ displaystyle dx '^ {2} + dy' ^ {2} + dz '^ {2} \ neq dl' ^ {2} \,}$ .

Mas se agora descrevermos o espaço tridimensional com quatro dimensões ( ), podemos escolher coordenadas tais que ${\ displaystyle x, y, z, w}$

${\ displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} + dw ^ {2} = dl ^ {2} \,}$ .

Observe que a coordenada não é a mesma que a coordenada . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x '}$

Para que a escolha das coordenadas 4D sejam descritores válidos do espaço 3D original, deve ter o mesmo número de graus de liberdade . Como quatro coordenadas têm quatro graus de liberdade, deve haver uma restrição colocada nela. Podemos escolher uma restrição tal que o teorema de Pitágoras seja válido no novo espaço 4D. Isso é

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2} = {\ textrm {constant}} \,}$ .

A constante pode ser positiva ou negativa. Por conveniência, podemos escolher a constante a ser

${\ displaystyle \ kappa ^ {- 1} R ^ {2}}$ onde agora é positivo e . ${\ displaystyle R ^ {2} \,}$${\ displaystyle \ kappa \ equiv \ pm 1}$

Agora podemos usar essa restrição para eliminar a quarta coordenada artificial . O diferencial da equação de restrição é ${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle xdx + ydy + zdz + wdw = 0 \,}$ levando a . ${\ displaystyle dw = -w ^ {- 1} (xdx + ydy + zdz) \,}$

Conectar -se à equação original dá ${\ displaystyle dw}$

${\ displaystyle dl ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} + {\ frac {(xdx + ydy + zdz) ^ {2}} {\ kappa ^ {- 1 } R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}}}$ .

Esta forma é geralmente não particularmente atraente e assim por uma coordenada transformar é muitas vezes aplicada: , , . Com esta transformação de coordenadas ${\ displaystyle x = r \ sin \ theta \ cos \ phi}$${\ displaystyle y = r \ sin \ theta \ sin \ phi}$${\ displaystyle z = r \ cos \ theta}$

${\ displaystyle dl ^ {2} = {\ frac {dr ^ {2}} {1- \ kappa {\ frac {r ^ {2}} {R ^ {2}}}}} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$ .

Sem incorporação

A geometria de um espaço n-dimensional também pode ser descrita com a geometria Riemanniana . Um espaço isotrópico e homogêneo pode ser descrito pela métrica:

${\ displaystyle dl ^ {2} = e ^ {- \ lambda (r)} {dr ^ {2}} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2 } \ theta d \ phi ^ {2} \,}$ .

Isso se reduz ao espaço euclidiano quando . Mas pode-se dizer que um espaço é " plano " quando o tensor de Weyl tem todos os componentes zero. Em três dimensões, esta condição é atendida quando o tensor de Ricci ( ) é igual à métrica vezes o escalar de Ricci ( , não deve ser confundido com o R da seção anterior). Isso é . O cálculo desses componentes a partir da métrica dá que ${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle R_ {ab}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R_ {ab} = g_ {ab} R}$

${\ displaystyle \ lambda = - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1-kr ^ {2} \ right)}$ onde . ${\ displaystyle k \ equiv {\ frac {R} {2}}}$

Isso dá a métrica:

${\ displaystyle dl ^ {2} = {\ frac {dr ^ {2}} {1-k {r ^ {2}}}} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2 } \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$ .

onde pode ser zero, positivo ou negativo e não está limitado a ± 1. ${\ displaystyle k}$

Aberto, plano, fechado

Um espaço isotrópico e homogêneo pode ser descrito pela métrica:

${\ displaystyle dl ^ {2} = {\ frac {dr ^ {2}} {1- \ kappa {\ frac {r ^ {2}} {R ^ {2}}}}} + r ^ {2} d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2}}$ .

No limite em que a constante de curvatura ( ) se torna infinitamente grande, um espaço euclidiano plano é retornado. É essencialmente o mesmo que definir como zero. Se não for zero, o espaço não é euclidiano. Quando o espaço é dito fechado ou elíptico . Quando o espaço é considerado aberto ou hiperbólico . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa = + 1}$${\ displaystyle \ kappa = -1}$

Os triângulos que se encontram na superfície de um espaço aberto terão uma soma de ângulos inferior a 180 °. Os triângulos que estão na superfície de um espaço fechado terão uma soma de ângulos maior que 180 °. O volume, porém, não é . ${\ displaystyle (4/3) \ pi r ^ {3}}$

Veja também

• Espaço CAT ( k )
• Curvatura não positiva

Leitura adicional

• Papastavridis, John G. (1999). " Superfícies n- dimensionais gerais (Riemannianas)" . Cálculo tensorial e dinâmica analítica . Boca Raton: CRC Press. pp. 211–218. ISBN   0-8493-8514-8 .

links externos

• Curved Spaces , simulador para universos multiconectados desenvolvido por Jeffrey Weeks