Grupo cíclico - Cyclic group
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Em teoria grupo , um ramo de álgebra resumo , um grupo clico ou grupo monogenous é um grupo que é gerado por um único elemento. Ou seja, é um conjunto de elementos invertíveis com uma única operação binária associativa e contém um elemento g tal que todos os outros elementos do grupo podem ser obtidos aplicando repetidamente a operação de grupo a g ou seu inverso. Cada elemento pode ser escrito como uma potência de g em notação multiplicativa ou como um múltiplo de g em notação aditiva. Este elemento g é chamado de gerador do grupo.
Todo grupo cíclico infinito é isomórfico ao grupo aditivo de Z , os inteiros . Todo grupo cíclico finito de ordem n é isomórfico ao grupo aditivo de Z / n Z , o módulo de inteiros n . Cada grupo cíclico é um grupo abeliano (o que significa que sua operação de grupo é comutativa ), e cada grupo abeliano finitamente gerado é um produto direto de grupos cíclicos.
Cada grupo cíclico de ordem primária é um grupo simples , que não pode ser dividido em grupos menores. Na classificação de grupos simples finitos , uma das três classes infinitas consiste nos grupos cíclicos de ordem primária. Os grupos cíclicos de ordem primária estão, portanto, entre os blocos de construção a partir dos quais todos os grupos podem ser construídos.
Definição e notação
Para qualquer elemento g em qualquer grupo L , pode-se formar um subgrupo de todas as potências inteiras ⟨ g ⟩ = { g k | k ∈ Z }, denominado subgrupo cíclico de g . A fim de g representa o número de elementos em ⟨ g ⟩; ou seja, a ordem de um elemento é igual à ordem de seu subgrupo cíclico.
Um grupo cíclico é um grupo que é igual a um dos seus sub-grupos cíclicos: L = ⟨ g ⟩ por algum elemento g , chamado um gerador .
Para um grupo cíclico finito G de ordem n temos G = { e , g , g 2 , ..., g n −1 }, onde e é o elemento identidade e g i = g j sempre que i ≡ j ( mod n ); em particular g n = g 0 = e , e g −1 = g n −1 . Um grupo abstrato definido por esta multiplicação é freqüentemente denotado C n , e dizemos que G é isomorfo ao grupo cíclico padrão C n . Esse grupo também é isomórfico a Z / n Z , o grupo de inteiros módulo n com a operação de adição, que é o grupo cíclico padrão em notação aditiva. Sob o isomorfismo χ definido por χ ( g i ) = i o elemento de identidade e corresponde a 0, os produtos correspondem a somas e as potências correspondem a múltiplos.
Por exemplo, o conjunto de 6 raízes complexas da unidade
forma um grupo em multiplicação. É cíclico, uma vez que é gerada pela raiz primitiva isto é, G = ⟨ z ⟩ = {1, z , z 2 , Z 3 , Z 4 , z 5 } com z 6 = 1. De acordo com uma mudança de letras, esta é isomorfa (estruturalmente o mesmo que) o grupo cíclico padrão de ordem de 6, definido como C 6 = ⟨ g ⟩ = { e , g , g 2 , g 3 , g 4 , g 5 } com multiplicação g j · g k = g j + k (mod 6) , de modo que g 6 = g 0 = e. Esses grupos também são isomórficos a Z / 6 Z = {0,1,2,3,4,5} com a operação de módulo de adição 6, com z k e g k correspondendo a k . Por exemplo, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) corresponde a z 1 · z 2 = z 3 , e 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) corresponde a z 2 · z 5 = z 7 = z 1 , e assim por diante . Qualquer elemento gera a sua própria subgrupo cíclico, tal como ⟨ z 2 ⟩ = { E , Z 2 , Z 4 } de ordem 3, isomorfo a C 3 e Z / 3 Z ; e ⟨ z 5 ⟩ = { e , z 5 , Z 10 = Z 4 , Z 15 = Z 3 , Z 20 = Z 2 , Z 25 = Z } = L , de modo a que z 5 tem ordem 6 e é um gerador alternativo de L .
Em vez das notações de quociente Z / n Z , Z / ( n ) ou Z / n , alguns autores denotam um grupo cíclico finito como Z n , mas isso entra em conflito com a notação da teoria dos números , onde Z p denota um p -adic anel numérico , ou localização em um ideal primo .
p1, ( * ∞∞ ) | p11g, (22∞) |
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Dois grupos de friso são isomorfo a Z . Com um gerador, o p1 tem translações e o p11g tem reflexos de deslizamento. |
Por outro lado, em um grupo cíclico infinito L = ⟨ g ⟩ , os poderes g k dar elementos distintos para todos os inteiros k , de modo que L = {..., g -2 , g -1 , e , g , g 2 , ...} e G é isomórfico ao grupo padrão C = C ∞ e a Z , o grupo aditivo dos inteiros. Um exemplo é o primeiro grupo de frisos . Aqui não há ciclos finitos e o nome "cíclico" pode ser enganoso.
Para evitar essa confusão, Bourbaki introduziu o termo grupo monógeno para um grupo com um único gerador e restringiu "grupo cíclico" para significar um grupo monógeno finito, evitando o termo "grupo cíclico infinito".
Exemplos
C 1 | C 2 | C 3 |
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C 4 | C 5 | C 6 |
Adição integral e modular
O conjunto de inteiros Z , com a operação de adição, forma um grupo. É um grupo cíclico infinito , porque todos os inteiros podem ser escritos adicionando ou subtraindo repetidamente o único número 1. Nesse grupo, 1 e -1 são os únicos geradores. Cada grupo cíclico infinito é isomorfa a Z .
Para cada inteiro positivo n , o conjunto de números inteiros módulo N , novamente com a operação de adição, forma um grupo cíclico finito, denotado Z / N Z . Um inteiro modular i é um gerador deste grupo se i for relativamente primo a n , porque esses elementos podem gerar todos os outros elementos do grupo por meio da adição de inteiros. (O número de tais geradores é φ ( n ), onde φ é a função de Euler totiente .) Todo grupo cíclico finito G é isomorfo a Z / n Z , onde n = | G | é a ordem do grupo.
As operações de adição em inteiros e inteiros modulares, usadas para definir os grupos cíclicos, são as operações de adição de anéis comutativos , também denotados por Z e Z / n Z ou Z / ( n ). Se p é um primo , então Z / p Z é um corpo finito , e geralmente é denotado por F p ou GF ( p ) para o campo de Galois.
Multiplicação modular
Para cada inteiro positivo n , o conjunto de módulos inteiros n que são relativamente primos an é escrito como ( Z / n Z ) × ; ele forma um grupo sob a operação de multiplicação. Este grupo nem sempre é cíclico, mas o é sempre que n é 1, 2, 4, uma potência de um primo ímpar , ou duas vezes a potência de um primo ímpar (sequência A033948 no OEIS ). Este é o grupo multiplicativo de unidades do anel Z / n Z ; há φ ( n ) deles, onde novamente φ é a função de Euler totiente . Por exemplo, ( Z / 6 Z ) × = {1,5}, e como 6 é duas vezes um primo ímpar, este é um grupo cíclico. Em contraste, ( Z / 8 Z ) × = {1,3,5,7} é um grupo 4 de Klein e não é cíclico. Quando ( Z / n Z ) × é cíclico, seus geradores são chamados de raízes primitivas módulo n .
Para um número primo p , o grupo ( Z / p Z ) × é sempre cíclico, consistindo nos elementos não nulos do corpo finito de ordem p . Mais geralmente, todo subgrupo finito do grupo multiplicativo de qualquer campo é cíclico.
Simetrias rotacionais
O conjunto de simetrias rotacionais de um polígono forma um grupo cíclico finito. Se existem n diferentes maneiras de mover o polígono para si por uma rotação (incluindo a rotação nulo), então este grupo de simetria é isomorfa a Z / N Z . Em três ou mais dimensões, existem outros grupos de simetria finitos que são cíclicos , mas que nem todos são rotações em torno de um eixo, mas sim rotorreflecções .
O grupo de todas as rotações de um círculo S 1 (o grupo de círculos , também denotado S 1 ) não é cíclico, porque não há uma única rotação cujas potências inteiras gerem todas as rotações. Na verdade, o grupo cíclico infinito C ∞ é contável , enquanto S 1 não. O grupo de rotações por ângulos racionais é contável, mas ainda não cíclico.
Teoria de Galois
Uma n th raiz de unidade é um número complexo cujo n th poder é um, uma raiz do polinomial x n - 1. O conjunto de todos os n th raízes de forma a unidade um grupo cíclico de ordem n sob a multiplicação. Por exemplo, o polinômio z 3 - 1 fatora como ( z - 1) ( z - ω ) ( z - ω 2 ) , onde ω = e 2 πi / 3 ; o conjunto {1, ω , ω 2 } = { ω 0 , ω 1 , ω 2 } forma um grupo cíclico sob multiplicação. O grupo de Galois da extensão de campo dos números racionais gerados pelas n- ésimas raízes da unidade forma um grupo diferente, isomorfo ao grupo multiplicativo ( Z / n Z ) × de ordem φ ( n ) , que é cíclico para alguns, mas não todos n (veja acima).
Uma extensão de campo é chamada de extensão cíclica se seu grupo de Galois for cíclico. Para campos de característica zero , tais extensões são o assunto da teoria de Kummer e estão intimamente relacionadas à solvabilidade por radicais . Para uma extensão de campos finitos de característica p , seu grupo de Galois é sempre finito e cíclico, gerado por uma potência do mapeamento de Frobenius . Por outro lado, dado um campo finito F e um grupo cíclico finito L , existe uma extensão finita de campo F cujo grupo é de Galois L .
Subgrupos
Todos os subgrupos e grupos quocientes de grupos cíclicos são cíclicos. Especificamente, todos os subgrupos de Z são da forma ⟨ m ⟩ = m Z , com m um número inteiro positivo. Todos estes subgrupos são distintos uns dos outros, e além do grupo trivial {0} = 0 Z , todos eles são isomorfo a Z . A rede de subgrupos de Z é isomórfica ao dual da rede de números naturais ordenados por divisibilidade . Assim, uma vez que um número primo p não tem divisores não triviais, p Z é um subgrupo próprio máximo, e o grupo quociente Z / p Z é simples ; na verdade, um grupo cíclico é simples se e somente se sua ordem for primo.
Todos os grupos de quocientes Z / n Z são finitos, com exceção Z / 0 Z = Z / {0}. Para cada divisor positivo d de n , o grupo de quocientes Z / n Z tem exatamente um subgrupo de ordem d , gerado pela classe de resíduos de n / d . Não existem outros subgrupos.
Propriedades Adicionais
Todo grupo cíclico é abeliano . Ou seja, sua operação de grupo é comutativa : gh = hg (para todo g e h em G ). Isso é claro para os grupos de adição inteira e modular, uma vez que r + s ≡ s + r (mod n ) , e segue para todos os grupos cíclicos, uma vez que são todos isomórficos a esses grupos padrão. Para um grupo cíclico finito de ordem n , g n é o elemento de identidade para qualquer elemento g . Isso segue novamente usando o isomorfismo para adição modular, uma vez que kn ≡ 0 (mod n ) para todo inteiro k . (Isso também é verdadeiro para um grupo geral de ordem n , devido ao teorema de Lagrange .)
Para uma potência primária p k , o grupo Z / p k Z é chamado de grupo cíclico primário . O teorema fundamental dos grupos abelianos afirma que todo grupo abeliano finitamente gerado é um produto direto finito de grupos cíclicos primários e grupos cíclicos infinitos.
Como um grupo cíclico é abeliano, cada uma de suas classes de conjugação consiste em um único elemento. Um grupo cíclico de ordem n, portanto, tem n classes de conjugação.
Se d é um divisor de n , então o número de elementos em Z / n Z que têm ordem d é φ ( d ), e o número de elementos cuja ordem divide d é exatamente d . Se G é um grupo finito no qual, para cada n > 0 , G contém no máximo n elementos de ordem dividindo n , então G deve ser cíclico. A ordem de um elemento m em Z / n Z é n / mdc ( n , m ).
Se n e m são coprimos , então o produto direto de dois grupos cíclicos Z / n Z e Z / m Z é isomórfico ao grupo cíclico Z / nm Z , e o inverso também é válido: esta é uma forma do teorema do resto chinês . Por exemplo, Z / 12 Z é isomórfico ao produto direto Z / 3 Z × Z / 4 Z sob o isomorfismo ( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4); mas não é isomórfico a Z / 6 Z × Z / 2 Z , em que cada elemento tem ordem no máximo 6.
Se p é um número primo , então qualquer grupo com p elementos é isomorfa simples para o grupo Z / p Z . Um número n é chamado de número cíclico se Z / n Z é o único grupo de ordem n , o que é verdadeiro exatamente quando mdc ( n , φ ( n )) = 1 . Os números cíclicos incluem todos os primos, mas alguns são compostos , como 15. No entanto, todos os números cíclicos são ímpares, exceto 2. Os números cíclicos são:
- 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (sequência A003277 no OEIS )
A definição implica imediatamente que grupos cíclicos têm Apresentação do Grupo C ∞ = ⟨ x | ⟩ E C n = ⟨ x | x n ⟩ para finito n .
Objetos associados
Representações
A teoria da representação do grupo cíclico é um caso básico crítico para a teoria da representação de grupos finitos mais gerais. No caso complexo , a representação de um grupo cíclico se decompõe em uma soma direta de caracteres lineares, tornando transparente a conexão entre a teoria do caráter e a teoria da representação. No caso de característica positiva , as representações indecomponíveis do grupo cíclico formam um modelo e base indutiva para a teoria de representação de grupos com subgrupos de Sylow cíclicos e, mais geralmente, a teoria de representação de blocos de defeito cíclico.
Gráfico de ciclo
Um gráfico de ciclo ilustra os vários ciclos de um grupo e é particularmente útil para visualizar a estrutura de pequenos grupos finitos . Um grafo de ciclo para um grupo cíclico é simplesmente um grafo circular , onde a ordem do grupo é igual ao número de nós. Um único gerador define o grupo como um caminho direcional no gráfico e o gerador inverso define um caminho para trás. Caminhos triviais (identidade) podem ser desenhados como um loop, mas geralmente são suprimidos. Z 2 às vezes é desenhado com duas arestas curvas como um multigrafo .
Um grupo cíclico Z n , com ordem n , corresponde a um único ciclo representado graficamente como um polígono de n lados com os elementos nos vértices.
Gráfico Cayley
Um gráfico de Cayley é um gráfico definido a partir de um par ( G , S ) onde G é um grupo e S é um conjunto de geradores para o grupo; possui um vértice para cada elemento do grupo e uma aresta para cada produto de um elemento com um gerador. No caso de um grupo cíclico finito, com seu único gerador, o grafo de Cayley é um grafo de ciclo , e para um grupo cíclico infinito com seu gerador o grafo de Cayley é um grafo de caminho duplamente infinito . No entanto, os gráficos de Cayley também podem ser definidos a partir de outros conjuntos de geradores. Os gráficos de Cayley de grupos cíclicos com grupos geradores arbitrários são chamados de gráficos circulantes . Esses gráficos podem ser representados geometricamente como um conjunto de pontos igualmente espaçados em um círculo ou em uma linha, com cada ponto conectado a vizinhos com o mesmo conjunto de distâncias que cada outro ponto. Eles são exatamente os gráficos transitivos de vértice cujo grupo de simetria inclui um grupo cíclico transitivo.
Endomorfismos
O anel de endomorfismo do grupo abeliano Z / n Z é isomorfo ao próprio Z / n Z como um anel . Sob esse isomorfismo, o número r corresponde ao endomorfismo de Z / n Z que mapeia cada elemento para a soma de r cópias dele. Esta é uma bijeção se e somente se r for coprime com n , então o grupo de automorfismo de Z / n Z é isomórfico ao grupo de unidades ( Z / n Z ) × .
Da mesma forma, o anel endomorfismo do grupo de aditivos de Z é isomorfo para o anel Z . Seu grupo de automorfismo é isomórfico ao grupo de unidades do anel Z , que é ({−1, +1}, ×) ≅ C 2 .
Classes de grupos relacionadas
Várias outras classes de grupos foram definidas por sua relação com os grupos cíclicos:
Grupos virtualmente cíclicos
Um grupo é denominado virtualmente cíclico se contiver um subgrupo cíclico de índice finito (o número de cosets que o subgrupo possui). Em outras palavras, qualquer elemento em um grupo virtualmente cíclico pode ser obtido pela multiplicação de um membro do subgrupo cíclico por um membro de um determinado conjunto finito. Todo grupo cíclico é virtualmente cíclico, assim como todo grupo finito. Um grupo infinito é virtualmente cíclico se, e somente se, for finitamente gerado e tiver exatamente duas extremidades ; um exemplo de tal grupo é o produto direto de Z / n Z e Z , no qual o fator Z tem índice finito n . Cada subgrupo abeliano de um grupo hiperbólico de Gromov é virtualmente cíclico.
Grupos localmente cíclicos
Um grupo localmente cíclico é um grupo em que cada subgrupo finitamente gerado é cíclico. Um exemplo é o grupo aditivo dos números racionais : cada conjunto finito de números racionais é um conjunto de múltiplos inteiros de uma única fração unitária , o inverso de seu menor denominador comum , e gera como um subgrupo um grupo cíclico de múltiplos inteiros deste fração unitária. Um grupo é localmente cíclico se e somente se sua rede de subgrupos é uma rede distributiva .
Grupos ordenados ciclicamente
Um grupo ordenado ciclicamente é um grupo junto com uma ordem cíclica preservada pela estrutura do grupo. Cada grupo cíclico pode receber uma estrutura como um grupo ordenado ciclicamente, consistente com a ordem dos inteiros (ou os inteiros modulo a ordem do grupo). Cada subgrupo finito de um grupo ordenado ciclicamente é cíclico.
Grupos metacíclicos e policíclicos
Um grupo metacíclico é um grupo que contém um subgrupo normal cíclico cujo quociente também é cíclico. Esses grupos incluem os grupos cíclicos, os grupos dicíclicos e os produtos diretos de dois grupos cíclicos. Os grupos policíclicos generalizam grupos metacíclicos, permitindo mais de um nível de extensão de grupo. Um grupo é policíclico se tem uma sequência descendente finita de subgrupos, cada um dos quais é normal no subgrupo anterior com um quociente cíclico, terminando no grupo trivial. Todo grupo abeliano finitamente gerado ou grupo nilpotente é policíclico.
Veja também
- Gráfico de ciclo (grupo)
- Módulo cíclico
- Peneiramento cíclico
- Grupo Prüfer ( análogo infinito contável )
- Grupo de círculo ( análogo infinito incontável )
Notas de rodapé
Notas
Citações
Referências
- Alonso, JM; et al. (1991), "Notes on word hyperbolic groups", Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) (PDF) , River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, MR 1170363 , arquivado do original (PDF) em 2013 -04-25 , recuperado em 26/11/2013
- Alspach, Brian (1997), "Isomorphism and Cayley graphs on abelian groups", Graph symmetry (Montreal, PQ, 1996) , OTAN Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 497 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Pp. 1-22, ISBN 978-0-792-34668-5, MR 1468786
- Aluffi, Paolo (2009), "6.4 Exemplo: Subgrupos de Grupos Cíclicos", Álgebra, Capítulo 0 , Graduate Studies in Mathematics , 104 , American Mathematical Society, pp. 82-84, ISBN 978-0-8218-4781-7
- Bourbaki, Nicolas (1998-08-03) [1970], Algebra I: Capítulos 1-3 , Elements of Mathematics, 1 (edição em capa mole), Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-64243-5
- Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980), Generators and Relations for Discrete Groups , Nova York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 0-387-09212-9
- Lajoie, Caroline; Mura, Roberta (novembro de 2000), "O que há em um nome? Uma dificuldade de aprendizagem em conexão com grupos cíclicos", For the Learning of Mathematics , 20 (3): 29-33, JSTOR 40248334
- Cox, David A. (2012), Teoria de Galois , Matemática Pura e Aplicada (2ª ed.), John Wiley & Sons, Teorema 11.1.7, p. 294, doi : 10.1002 / 9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9
- Gallian, Joseph (2010), Contemporary Abstract Algebra (7ª ed.), Cengage Learning, Exercício 43, p. 84, ISBN 978-0-547-16509-7
-
Gannon, Terry (2006), Moonshine além do monstro: a ponte que conecta álgebra, formas modulares e física , monografias de Cambridge sobre física matemática, Cambridge University Press, p. 18, ISBN 978-0-521-83531-2,
Z n é simples se n for primo.
- Jungnickel, Dieter (1992), "On the uniqueness of the cyclic group of order n ", American Mathematical Monthly , 99 (6): 545-547, doi : 10.2307 / 2324062 , JSTOR 2324062 , MR 1166004
- Fuchs, László (2011), Partially Ordered Algebraic Systems , Série internacional de monografias em matemática pura e aplicada, 28 , Courier Dover Publications, p. 63, ISBN 978-0-486-48387-0
- Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups: An Introduction , Universitext, Springer, p. 50, ISBN 978-0-387-40510-0
- Motwani, Rajeev ; Raghavan, Prabhakar (1995), Randomized Algorithms , Cambridge University Press, Theorem 14.14, p. 401, ISBN 978-0-521-47465-8
- Ore, Øystein (1938), "Structures and group theory. II", Duke Mathematical Journal , 4 (2): 247–269, doi : 10.1215 / S0012-7094-38-00419-3 , hdl : 10338.dmlcz / 100155 , MR 1546048
- Rotman, Joseph J. (1998), Galois Theory , Universitext, Springer, Theorem 62, p. 65, ISBN 978-0-387-98541-1
- Stallings, John (1970), "Groups of cohomological dimension one", Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968) , Providence, RI: Amer. Matemática. Soc., Pp. 124-128, MR 0255689
- Stewart, Ian ; Golubitsky, Martin (2010), Fearful Symmetry: Is God a Geometer? , Courier Dover Publications, pp. 47-48, ISBN 978-0-486-47758-9
- Vilfred, V. (2004), "On circulant graphs", em Balakrishnan, R .; Sethuraman, G .; Wilson, Robin J. (eds.), Graph Theory and its Applications (Anna University, Chennai, 14-16 de março de 2001) , Alpha Science, pp. 34-36, ISBN 8173195692
- Vinogradov, IM (2003), "§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES" , Elements of Number Theory , Mineola, NY: Dover Publications, pp. 105-132, ISBN 0-486-49530-2
Leitura adicional
- Herstein, IN (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Prentice Hall , pp. 53-60, ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019