Homologia cíclica - Cyclic homology

Em geometria não comutativa e ramos relacionados da matemática, homologia cíclica e cohomologia cíclica são certas teorias de (co) homologia para álgebras associativas que generalizam a (co) homologia de Rham de variedades. Essas noções foram introduzidas independentemente por Boris Tsygan (homologia) e Alain Connes (cohomologia) na década de 1980. Estes invariantes têm muitas relações interessantes com vários ramos mais antigos da matemática, incluindo de teoria Rham, Hochschild (co) homologia, cohomology grupo, ea teoria-K . Contribuidores para o desenvolvimento da teoria incluem Max Karoubi , Yuri L. Daletskii, Boris Feigin , Jean-Luc Brylinski , Mariusz Wodzicki , Jean-Louis Loday , Victor Nistor, Daniel Quillen , Joachim Cuntz , Ryszard Nest, Ralf Meyer e Michael Puschnigg .

Dicas sobre definição

A primeira definição da homologia cíclica de um anel A sobre um campo de característica zero, denotada

HC _n ( A ) ou H _n ^λ ( A ),

procedido por meio do seguinte complexo de cadeia explícito relacionado ao complexo de homologia de Hochschild de A , denominado complexo de Connes :

Para qualquer número natural n ≥ 0 , defina o operador que gera a ação cíclica natural de no produto tensorial n- ésimo de A : ${\ displaystyle t_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} t_ {n}: A ^ {\ otimes n} \ to A ^ {\ otimes n}, \ quad a_ {1} \ otimes \ dots \ otimes a_ {n} \ mapsto ( -1) ^ {n-1} a_ {n} \ otimes a_ {1} \ otimes \ dots \ otimes a_ {n-1}. \ End {alinhado}}}$

Lembre-se de que os grupos complexos de Hochschild de A com coeficientes no próprio A são dados definindo para todo n ≥ 0 . Então, os componentes do complexo de Connes são definidos como , e o diferencial é a restrição do diferencial de Hochschild a esse quociente. Pode-se verificar que o diferencial de Hochschild de fato é fatorado por meio desse espaço de variantes monetárias. ${\ displaystyle HC_ {n} (A): = A ^ {\ otimes n + 1}}$${\ displaystyle C_ {n} ^ {\ lambda} (A): = HC_ {n} (A) / \ langle 1-t_ {n + 1} \ rangle}$${\ displaystyle d: C_ {n} ^ {\ lambda} (A) \ para C_ {n-1} ^ {\ lambda} (A)}$

Mais tarde, Connes encontrou uma abordagem mais categórica para a homologia cíclica usando uma noção de objeto cíclico em uma categoria abeliana , que é análoga à noção de objeto simplicial . Desta forma, a homologia cíclica (e cohomologia) pode ser interpretada como um functor derivado , que pode ser explicitamente calculado por meio do ( b , B ) -bicomplexo. Se o campo k contém os números racionais, a definição em termos do complexo de Connes calcula a mesma homologia.

Uma das características marcantes da homologia cíclica é a existência de uma longa sequência exata conectando Hochschild e a homologia cíclica. Essa longa seqüência exata é chamada de seqüência de periodicidade.

Caixa de anéis comutativos

Cohomology cíclica da álgebra comutativa Uma das funções regulares em uma variedade algébrica afim sobre um campo de k de característica zero pode ser calculado em termos de Grothendieck 's algébrica de Rham complexo . Em particular, se a variedade V = Spec A for suave, a cohomologia cíclica de A é expressa em termos da cohomologia de de Rham de V da seguinte forma:

${\ displaystyle HC_ {n} (A) \ simeq \ Omega ^ {n} \! A / d \ Omega ^ {n-1} \! A \ oplus \ bigoplus _ {i \ geq 1} H_ {DR} ^ {n-2i} (V).}$

Esta fórmula sugere uma maneira de definir a cohomologia de de Rham para um 'espectro não comutativo' de uma álgebra não comutativa A , que foi amplamente desenvolvida por Connes.

Variantes de homologia cíclica

Uma motivação da homologia cíclica foi a necessidade de uma aproximação da teoria K que é definida, ao contrário da teoria K, como a homologia de um complexo de cadeias . A cohomologia cíclica é, de fato, dotada de um emparelhamento com a teoria K, e espera-se que esse emparelhamento seja não degenerado.

Foi definido um número de variantes cujo propósito é se ajustar melhor com álgebras com topologia, como álgebras de Fréchet , -álgebras, etc. A razão é que a teoria K se comporta muito melhor em álgebras topológicas como álgebras de Banach ou C * - álgebras do que em álgebras sem estrutura adicional. Como, por outro lado, a homologia cíclica degenera nas C * -álgebras, surgiu a necessidade de definir teorias modificadas. Entre eles estão homologia cíclica total devida a Alain Connes , homologia cíclica analítica devida a Ralf Meyer ou homologia cíclica assintótica e local devida a Michael Puschnigg. O último é muito próximo da teoria K , pois é dotado de um personagem bivariante de Chern da teoria KK . ${\ displaystyle C ^ {*}}$

Formulários

Uma das aplicações da homologia cíclica é encontrar novas provas e generalizações do teorema do índice de Atiyah-Singer . Entre essas generalizações estão teoremas de índice baseados em triplos espectrais e quantização de deformação de estruturas de Poisson .

Um operador elíptico D em uma variedade lisa compacta define uma classe em homologia K. Uma invariante desta classe é o índice analítico do operador. Isso é visto como o emparelhamento da classe [D], com o elemento 1 em HC (C (M)). A cohomologia cíclica pode ser vista como uma maneira de obter invariantes superiores de operadores diferenciais elípticos não apenas para variedades suaves, mas também para folheações, orbifolds e espaços singulares que aparecem na geometria não comutativa.

Cálculos da teoria K algébrica

O mapa de rastreamento ciclotômico é um mapa da teoria K algébrica (de um anel A , digamos), para a homologia cíclica:

${\ displaystyle tr: K_ {n} (A) \ to HC_ {n-1} (A).}$

Em algumas situações, este mapa pode ser usado para calcular a teoria K por meio deste mapa. Um resultado pioneiro nesta direção é um teorema de Goodwillie (1986) : ele afirma que o mapa

${\ displaystyle K_ {n} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q} \ to HC_ {n-1} (A, I) \ otimes \ mathbf {Q}}$

entre a teoria K relativa de A com respeito a um ideal bilateral nilpotente I para a homologia cíclica relativa (medindo a diferença entre a teoria K ou homologia cíclica de A e de A / I ) é um isomorfismo para n ≥1.

Embora o resultado de Goodwillie seja válido para anéis arbitrários, uma rápida redução mostra que é, em essência, apenas uma afirmação sobre . Para anéis que não contêm Q , a homologia cíclica deve ser substituída pela homologia cíclica topológica a fim de manter uma conexão próxima com a teoria K. (Se Q está contido em uma , em seguida, homologia cíclico e homologia cíclico topológica de um concordam.) Isto está de acordo com o facto de que (clássica) homologia Hochschild é menos bem do que se comportou de homologia Hochschild topológica para os anéis não contenham Q . Clausen, Mathew & Morrow (2018) provaram uma generalização de longo alcance do resultado de Goodwillie, afirmando que para um anel comutativo A de modo que o lema de Henseliano seja válido em relação ao I ideal , a teoria K relativa é isomórfica à homologia cíclica topológica relativa (sem tensorizar ambos com Q ). Seu resultado também engloba um teorema de Gabber (1992) , afirmando que nesta situação o módulo do espectro relativo da teoria K um inteiro n que é invertível em A desaparece. Jardine (1993) usou o resultado de Gabber e a rigidez de Suslin para reprovar o cálculo de Quillen da teoria K de campos finitos . ${\ displaystyle A \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q}}$

Veja também

• Geometria não comutativa

Notas

Referências

• Jardine, JF (1993), "The K-theory of finite fields, revisited", K-Theory , 7 (6): 579-595, doi : 10.1007 / BF00961219 , MR  1268594
• Loday, Jean-Louis (1998), Cyclic Homology , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 301 , Springer, ISBN 978-3-540-63074-6
• Gabber, Ofer (1992), " K -theory of Henselian local rings and Henselian pairs", Algebraic K -theory, commutative algebra, and algebraic geometry (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Math., 126 , AMS, pp. 59-70
• Clausen, Dustin; Mathew, Akhil; Morrow, Matthew (2018), "K-teoria e homologia cíclica topológica de pares henselianos", arXiv : 1803.10897 [ math.KT ]
• Goodwillie, Thomas G. (1986), "Relative algebraic K -theory and cyclic homology", Annals of Mathematics , Second Series, 124 (2): 347-402, doi : 10.2307 / 1971283 , JSTOR  1971283 , MR  0855300
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications , Graduate Texts in Mathematics , 147 , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Errata

links externos

• "Cyclic cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Uma nota pessoal sobre Hochschild e homologia cíclica