pontos circulares no infinito - Circular points at infinity

Na geometria projectiva , os pontos circulares no infinito (também chamados pontos cíclicos ou pontos isotrópicos ) são dois especiais pontos no infinito no plano projectiva complexo que estão contidos no complexificação de cada real círculo .

coordenadas

Um ponto do plano projectiva complexo pode ser descrito em termos de coordenadas homogéneos , sendo um triplo de números complexos ( x  : y  : z ) , onde dois triplos descrevem o mesmo ponto do plano quando as coordenadas de uma tripla são os mesmos que aqueles do outro lado de ser multiplicado pelo mesmo factor diferente de zero. Neste sistema, os pontos no infinito pode ser escolhido como aqueles cujas z coordenada x é zero. Os dois pontos circulares no infinito, são dois destes, geralmente considerado como sendo aqueles com coordenadas homogéneas

(1: i: 0) e (1: -i: 0) .

círculos complexificada

Um círculo verdadeiro, definido pelo seu centro ponto ( x ₀ , y ₀ ) e o raio R (todos os três dos quais são números reais ) pode ser descrito como o conjunto de soluções reais para a equação

${\ Displaystyle (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-Y_ {0}) ^ {2} = r ^ {2}.}$

Convertendo isto em uma equação homogénea e tendo o conjunto de todas as soluções dos números complexos dá o complexificação do círculo. Os dois pontos circulares têm o seu nome, porque eles mentem sobre a complexificação de cada círculo real. De modo mais geral, ambos os pontos de satisfazer as equações homogéneas do tipo

${\ Ax displaystyle ^ {2} + Ay ^ {2} + 2B_ {1} xz + 2B_ {2} yz-Cz ^ {2} = 0.}$

O caso em que os coeficientes são tudo real dá a equação de um círculo geral (do plano projectiva verdadeiro ). Em geral, uma curva algébrico que passa por esses dois pontos é chamado circular .

Propriedades adicionais

Os pontos circulares no infinito, são os pontos no infinito das linhas isotrópicas . Eles são invariantes sob traduções e rotações do avião.

O conceito de ângulo pode ser definida usando os pontos circulares, logaritmo natural e transversal relação :

O ângulo entre as duas linhas é um determinado múltiplo do logaritmo da cruz-rácio do lápis formado pelas duas linhas e as linhas que unem a sua intersecção com os pontos circulares.

Sommerville configura duas linhas sobre a origem como denotando a pontos circulares como ω e ω ', ele obtém o rácio transversal${\ Displaystyle u: y = x \ tan \ teta, \ quad u ': y = x \ tan \ teta'.}$

${\ Displaystyle (uu '\ omega \ omega') = {\ frac {\ tan \ teta -i} {\ tan \ teta + i}} \ div {\ frac {\ tan \ teta '-i} {\ tan \ theta '+ i}},}$ de modo a

${\ Displaystyle \ phi = \ teta. '- \ teta = {\ tfrac {i} {2}} \ log (uu', \ omega \ omega ')}$

Referências

• Pierre Samuel (1988) Geometria Projectiva , Springer, secção 1.6;
• Semple e Kneebone (1952) algébrico geometria projectiva , Oxford, secção II-8.