Ciclóide - Cycloid

Um ciclóide gerado por um círculo rolante

Em geometria , um ciclóide é a curva traçada por um ponto em um círculo à medida que rola ao longo de uma linha reta sem escorregar. Um ciclóide é uma forma específica de trocóide e é um exemplo de roleta , uma curva gerada por uma curva rolando em outra curva.

O ciclóide, com as cúspides apontando para cima, é a curva de descida mais rápida sob gravidade constante (a curva de braquistócrona ). É também a forma de uma curva para a qual o período de um objeto em movimento harmônico simples (rolando para cima e para baixo repetidamente) ao longo da curva não depende da posição inicial do objeto (a curva tautócrona ).

História

Foi no potenciômetro da mão esquerda do Pequod, com a pedra-sabão circulando diligentemente ao meu redor, que fui atingido indiretamente pelo fato notável, que na geometria todos os corpos que deslizam ao longo da ciclóide, minha pedra-sabão por exemplo, descerão de qualquer ponto precisamente ao mesmo tempo.

Moby Dick de Herman Melville , 1851

O ciclóide foi chamado de "A Helena dos Geômetros", pois causava brigas frequentes entre os matemáticos do século XVII.

Os historiadores da matemática propuseram vários candidatos para o descobridor do ciclóide. O historiador matemático Paul Tannery citou um trabalho semelhante do filósofo sírio Jâmblico como evidência de que a curva era conhecida na Antiguidade. O matemático inglês John Wallis, escrevendo em 1679, atribuiu a descoberta a Nicolau de Cusa , mas estudos subsequentes indicam que Wallis se enganou ou a evidência que ele usou agora está perdida. O nome de Galileo Galilei foi proposto no final do século 19 e pelo menos um autor relata que o crédito foi dado a Marin Mersenne . Começando com o trabalho de Moritz Cantor e Siegmund Günther , os estudiosos agora atribuem prioridade ao matemático francês Charles de Bovelles com base em sua descrição do ciclóide em seu Introductio in geometriam , publicado em 1503. Neste trabalho, Bovelles confunde o arco traçado por um rolamento roda como parte de um círculo maior com um raio 120% maior do que a roda menor.

Galileu deu origem ao termo ciclóide e foi o primeiro a fazer um estudo sério da curva. De acordo com seu aluno Evangelista Torricelli , em 1599 Galileu tentou a quadratura do ciclóide (determinando a área sob o ciclóide) com uma abordagem invulgarmente empírica que envolvia traçar o círculo gerador e o ciclóide resultante na chapa, cortando-os e pesando-os . Ele descobriu que a proporção era de aproximadamente 3: 1, mas concluiu incorretamente que a proporção era uma fração irracional, o que tornaria a quadratura impossível. Por volta de 1628, Gilles Persone de Roberval provavelmente soube do problema da quadratura com o Père Marin Mersenne e efetuou a quadratura em 1634 usando o teorema de Cavalieri . No entanto, este trabalho não foi publicado até 1693 (em seu Traité des Indivisibles ).

A construção da tangente do ciclóide data de agosto de 1638, quando Mersenne recebeu métodos exclusivos de Roberval, Pierre de Fermat e René Descartes . Mersenne repassou esses resultados para Galileu, que os deu a seus alunos Torricelli e Viviana, que conseguiram produzir uma quadratura. Este resultado e outros foram publicados por Torricelli em 1644, que também é a primeira obra impressa sobre o ciclóide. Isso levou Roberval a acusar Torricelli de plágio, com a polêmica interrompida pela morte prematura de Torricelli em 1647.

Em 1658, Blaise Pascal trocou a matemática pela teologia, mas, enquanto sofria de uma dor de dente, começou a considerar vários problemas relacionados ao ciclóide. Sua dor de dente desapareceu e ele interpretou isso como um sinal celestial para prosseguir com sua pesquisa. Oito dias depois, ele havia concluído seu ensaio e, para divulgar os resultados, propôs um concurso. Pascal propôs três questões relativas ao centro de gravidade , área e volume da ciclóide, com o vencedor ou vencedores receber os prêmios de 20 e 40 dobrões espanhóis . Pascal, Roberval e o senador Carcavy foram os juízes, e nenhuma das duas submissões (por John Wallis e Antoine de Lalouvère ) foi considerada adequada. Enquanto o concurso estava em andamento, Christopher Wren enviou a Pascal uma proposta para uma prova da retificação do ciclóide; Roberval afirmou prontamente que sabia da prova há anos. Wallis publicou a prova de Wren (creditando a Wren) no Tractus Duo de Wallis , dando prioridade a Wren para a primeira prova publicada.

Quinze anos depois, Christiaan Huygens implantou o pêndulo cicloidal para melhorar os cronômetros e descobriu que uma partícula atravessaria um segmento de um arco cicloidal invertido no mesmo período de tempo, independentemente de seu ponto de partida. Em 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz usou a geometria analítica para descrever a curva com uma única equação. Em 1696, Johann Bernoulli propôs o problema da braquistócrona , cuja solução é um ciclóide.

Equações

O ciclóide através da origem, com uma base horizontal dada pelo eixo x , gerado por um círculo de raio r rolando sobre o lado "positivo" da base ( y ≥ 0 ), consiste nos pontos ( x , y ) , com

onde t é um parâmetro real , correspondendo ao ângulo através do qual o círculo giratório girou. Para dado t , o centro do círculo está em ( x , y ) = ( rt , r ) .

Resolvendo para t e substituindo, a equação cartesiana é encontrada para ser:

Quando y é visto como uma função de x , o ciclóide é diferenciável em qualquer lugar, exceto nas cúspides , onde atinge o eixo x , com a derivada tendendo em direção a uma cúspide ou conforme se aproxima. O mapa de t a ( x , y ) é uma curva diferenciável ou curva paramétrica da classe C , e a singularidade onde a derivada é 0 é uma cúspide comum.

Um segmento ciclóide de uma cúspide para a próxima é chamado de arco da ciclóide. O primeiro arco da ciclóide consiste em pontos tais que

A equação do ciclóide satisfaz a equação diferencial :

Envolvente

Geração do involuto do ciclóide desenrolando um fio tenso colocado em meio arco ciclóide (marcado em vermelho)

O involuto do ciclóide tem a propriedade de ser exatamente o mesmo ciclóide do qual se origina. Isso pode ser visto na ponta de um fio inicialmente colocado sobre um meio arco de ciclóide, descrevendo um arco ciclóide igual àquele em que estava uma vez desembrulhado (veja também o pêndulo cicloidal e o comprimento do arco ).

Demonstração

Demonstração das propriedades do involuto de um ciclóide

Existem várias demonstrações da afirmação. O apresentado aqui usa a definição física de ciclóide e a propriedade cinemática de que a velocidade instantânea de um ponto é tangente à sua trajetória. Referindo-se à imagem adjacente, e são dois pontos tangentes pertencentes a dois círculos rolantes. Os dois círculos começam a rolar com a mesma velocidade e mesma direção sem derrapar. e comece a desenhar dois arcos ciclóides como na imagem. Considerando a linha que conecta e em um instante arbitrário (linha vermelha), é possível provar que a linha é a qualquer momento tangente ao arco inferior e ortogonal à tangente do arco superior . Vê-se isso chamando o ponto em comum entre o círculo superior e o círculo inferior:

  • estão alinhados porque (velocidade de rolamento igual) e, portanto . O ponto está na linha, portanto, de forma análoga . Da igualdade de e também isso se tem . Segue-se .
  • Se é o ponto de encontro entre a perpendicular de à reta de e a tangente ao círculo em , então o triângulo é isósceles porque e (fácil de comprovar visto a construção) . Para a igualdade observada anteriormente entre e então e é isósceles.
  • Conduzir da reta ortogonal para , da reta tangente ao círculo superior e chamar o ponto de encontro agora é fácil ver que é um losango , usando os teoremas relativos aos ângulos entre as linhas paralelas
  • Agora considere a velocidade de . Pode ser vista como a soma de dois componentes, a velocidade de rolamento e a velocidade de deriva . Ambas as velocidades são iguais em módulo porque os círculos rolam sem derrapar. é paralelo e tangente ao círculo inferior em, portanto, é paralelo a . O losango se constitui a partir dos componentes e, portanto, é semelhante (mesmos ângulos) ao losango por apresentarem lados paralelos. A velocidade total de é então paralela a porque ambos são diagonais de dois losangos com lados paralelos e tem em comum com o ponto de contato . Conclui-se que o vetor velocidade está no prolongamento de . Por ser tangente ao arco da ciclóide em (propriedade da velocidade de uma trajetória), segue-se que também coincide com a tangente ao arco ciclóide inferior em .
  • Analogamente, pode-se facilmente demonstrar que é ortogonal a (outra diagonal do losango).
  • A ponta de um fio inextensível inicialmente esticada em meio arco da ciclóide inferior e limitada ao círculo superior seguirá o ponto ao longo de seu caminho sem alterar seu comprimento porque a velocidade da ponta é a cada momento ortogonal ao fio (sem alongamento ou compressão). O fio será ao mesmo tempo tangente ao arco inferior devido à tensão e aos itens demonstrados. Se não fosse tangente, então haveria uma descontinuidade e, conseqüentemente, haveria forças de tensão desequilibradas.

Área

Usando a parametrização acima para um arco de um ciclóide gerado por um círculo de raio r ,

para a área sob o arco é dada por

Este resultado, e algumas generalizações, podem ser obtidos sem cálculo pelo cálculo visual de Mamikon .

Comprimento do arco

O comprimento do ciclóide como consequência da propriedade de seu involuto

O comprimento do arco S de um arco é dado por

Outra maneira imediata de calcular o comprimento do ciclóide, dadas as propriedades do involuto, é observar que, quando um fio que descreve um involuto foi completamente desembrulhado, ele se estende ao longo de dois diâmetros, um comprimento de 4 r . Como o comprimento do fio não muda durante o desenrolamento, segue-se que o comprimento de meio arco de ciclóide é 4 r e o de um arco completo é 8 r .

Pêndulo cicloidal

Esquema de um pêndulo cicloidal.

Se um pêndulo simples é suspenso da cúspide de um ciclóide invertido, de modo que a "corda" seja restringida entre os arcos adjacentes do ciclóide, e o comprimento do pêndulo L é igual a metade do comprimento do arco do ciclóide (ou seja, duas vezes o diâmetro do círculo gerador, L = 4r ), o pêndulo também traça um caminho ciclóide. Esse pêndulo cicloidal é isócrono , independentemente da amplitude. Apresentando um sistema de coordenadas centrado na posição da cúspide, a equação do movimento é dada por:

onde é o ângulo da parte reta da corda em relação ao eixo vertical, e é dado por

onde A <1 é a "amplitude", é a frequência radiana do pêndulo eg a aceleração gravitacional.

Cinco pêndulos cicloidais isócronos com diferentes amplitudes.

O matemático holandês do século 17, Christiaan Huygens, descobriu e provou essas propriedades do ciclóide enquanto procurava designs de relógios de pêndulo mais precisos para serem usados ​​na navegação.

Curvas relacionadas

Várias curvas estão relacionadas ao ciclóide.

  • Trocoide : generalização de uma ciclóide em que o ponto que traça a curva pode estar dentro do círculo rolante (cortada) ou fora (prolata).
  • Hipociclóide : variante de um ciclóide em que um círculo rola no interior de outro círculo em vez de uma linha.
  • Epiciclóide : variante de um ciclóide em que um círculo rola do lado de fora de outro círculo em vez de uma linha.
  • Hipotrocoide : generalização de um hipociclóide onde o ponto gerador pode não estar na borda do círculo rolante.
  • Epitrocoide : generalização de um epicicloide onde o ponto gerador pode não estar na borda do círculo rolante.

Todas essas curvas são roletas com um círculo enrolado ao longo de outra curva de curvatura uniforme . Os ciclóides, epiciclóides e hipociclóides têm a propriedade de cada um ser semelhante ao seu evoluto . Se q é o produto dessa curvatura com o raio do círculo, com sinal positivo para epi- e negativo para hipo-, então a relação curva: similitude evolutiva é 1 + 2 q .

O clássico brinquedo do espirógrafo traça as curvas hipotrocoide e epitrocoide .

Outros usos

Arcos cicloidais no Museu de Arte Kimbell

O arco cicloidal foi usado pelo arquiteto Louis Kahn em seu projeto para o Museu de Arte Kimbell em Fort Worth, Texas . Também foi usado no projeto do Centro Hopkins em Hanover, New Hampshire .

As primeiras pesquisas indicaram que algumas curvas de arco transversais das placas dos violinos da idade de ouro são modeladas de perto por curvas ciclóides cortadas. Trabalhos posteriores indicam que os ciclóides curtatos não servem como modelos gerais para essas curvas, que variam consideravelmente.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos