David Hilbert - David Hilbert

David Hilbert
Hilbert.jpg
Hilbert em 1912
Nascer ( 1862-01-23 )23 de janeiro de 1862
Faleceu 14 de fevereiro de 1943 (14/02/1943)(com 81 anos)
Nacionalidade alemão
Educação Universidade de Königsberg ( PhD )
Conhecido por Teorema da base de
Hilbert Axiomas de
Hilbert Problemas de
Hilbert Programa
de Hilbert Einstein-Hilbert ação
Hilbert espaço
Epsilon cálculo
Cônjuge (s) Käthe Jerosch
Crianças Franz (nascido em 1893)
Prêmios Prêmio Lobachevsky (1903)
Prêmio Bolyai (1910)
ForMemRS
Carreira científica
Campos Matemática , Física e Filosofia
Instituições University of Königsberg
Göttingen University
Tese Sobre propriedades invariantes de formas binárias especiais, especialmente de funções esféricas  (1885)
Orientador de doutorado Ferdinand von Lindemann
Alunos de doutorado
Outros alunos notáveis Edward Kasner
John von Neumann
Influências Immanuel Kant

David Hilbert ( / h ɪ l b ər t / ; alemão: [daːvɪt hɪlbɐt] ; 23 de janeiro de 1862 - 14 de fevereiro 1943) foi um matemático alemão e um dos a maioria dos matemáticos influentes do século 20 início dos anos 19 e. Hilbert descobriu e desenvolveu uma ampla gama de ideias fundamentais em muitas áreas, incluindo teoria invariante , cálculo de variações , álgebra comutativa , teoria dos números algébricos , fundamentos da geometria , teoria espectral de operadores e sua aplicação a equações integrais , física matemática e os fundamentos da matemática (particularmente a teoria da prova ).

Hilbert adotou e defendeu a teoria dos conjuntos e os números transfinitos de Georg Cantor . Em 1900, ele apresentou uma coleção de problemas que definiram o curso de grande parte da pesquisa matemática do século XX.

Hilbert e seus alunos contribuíram significativamente para estabelecer o rigor e desenvolver ferramentas importantes usadas na física matemática moderna. Hilbert é conhecido como um dos fundadores da teoria da prova e da lógica matemática .

Vida

Infância e educação

Hilbert, o primeiro de dois filhos e único filho de Otto e Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, nasceu na Província da Prússia , Reino da Prússia , em Königsberg (de acordo com a própria declaração de Hilbert) ou em Wehlau (conhecida desde 1946 como Znamensk ) perto de Königsberg, onde seu pai trabalhava na época de seu nascimento.

No final de 1872, Hilbert entrou no Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , a mesma escola que Immanuel Kant frequentou 140 anos antes); mas, após um período infeliz, transferiu-se para (final de 1879) e graduou-se (início de 1880) no Ginásio Wilhelm, de orientação científica. Após a formatura, no outono de 1880, Hilbert matriculou-se na Universidade de Königsberg , a "Albertina". No início de 1882, Hermann Minkowski (dois anos mais novo que Hilbert e também natural de Königsberg, mas tinha ido para Berlim por três semestres), voltou a Königsberg e entrou na universidade. Hilbert desenvolveu uma amizade para toda a vida com o tímido e talentoso Minkowski.

Carreira

Em 1884, Adolf Hurwitz chegou de Göttingen como um Extraordinarius (ou seja, um professor associado). Uma intensa e frutífera troca científica entre os três começou, e Minkowski e Hilbert, especialmente, exerceram uma influência recíproca um sobre o outro em vários momentos de suas carreiras científicas. Hilbert obteve seu doutorado em 1885, com uma dissertação, escrita sob Ferdinand von Lindemann , intitulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre as propriedades invariantes de formas binárias especiais , em particular as funções harmônicas esféricas" ).

Hilbert permaneceu na Universidade de Königsberg como Privatdozent ( professor sênior ) de 1886 a 1895. Em 1895, como resultado da intervenção em seu nome por Felix Klein , ele obteve o cargo de Professor de Matemática na Universidade de Göttingen . Durante os anos Klein e Hilbert, Göttingen se tornou a instituição proeminente no mundo matemático. Ele permaneceu lá pelo resto de sua vida.

O Instituto de Matemática de Göttingen. Seu novo prédio, construído com fundos da Fundação Rockefeller , foi inaugurado por Hilbert e Courant em 1930.

Escola Göttingen

Entre os alunos de Hilbert estavam Hermann Weyl , o campeão de xadrez Emanuel Lasker , Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel . John von Neumann era seu assistente. Na Universidade de Göttingen, Hilbert foi cercado por um círculo social de alguns dos mais importantes matemáticos do século 20, como Emmy Noether e Alonzo Church .

Entre seus 69 Ph.D. muitos alunos em Göttingen se tornaram matemáticos famosos, incluindo (com a data da tese): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) e Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 e 1939, Hilbert foi editor do Mathematische Annalen , o principal jornal matemático da época.

Bom, ele não tinha imaginação suficiente para se tornar um matemático.

-  Resposta de Hilbert ao ouvir que um de seus alunos havia desistido para estudar poesia.

Vida pessoal

Käthe Hilbert com Constantin Carathéodory , antes de 1932

Em 1892, Hilbert casou-se com Käthe Jerosch (1864–1945), que era filha de um comerciante de Königsberg, uma jovem sincera com uma independência de espírito que combinava [com a de Hilbert]. "Enquanto estavam em Königsberg, tiveram seu único filho, Franz Hilbert ( 1893–1969). Franz sofreu ao longo de sua vida de uma doença mental não diagnosticada. Seu intelecto inferior foi uma terrível decepção para seu pai e esse infortúnio foi motivo de angústia para os matemáticos e estudantes de Göttingen.

Hilbert considerou o matemático Hermann Minkowski o seu "melhor e mais verdadeiro amigo".

Hilbert foi batizado e criado como calvinista na Igreja Evangélica Prussiana . Mais tarde, ele deixou a Igreja e tornou-se agnóstico . Ele também argumentou que a verdade matemática era independente da existência de Deus ou de outras suposições a priori . Quando Galileu Galilei foi criticado por não defender suas convicções sobre a teoria heliocêntrica , Hilbert objetou: "Mas [Galileu] não era um idiota. Só um idiota poderia acreditar que a verdade científica precisa do martírio; isso pode ser necessário na religião, mas os resultados científicos comprovam-se no devido tempo. "

Anos depois

Como Albert Einstein , Hilbert tinha contatos mais próximos com o Grupo de Berlim, cujos principais fundadores haviam estudado com Hilbert em Göttingen ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach e Walter Dubislav ).

Por volta de 1925, Hilbert desenvolveu anemia perniciosa , uma deficiência vitamínica então intratável, cujo principal sintoma é a exaustão; seu assistente Eugene Wigner o descreveu como sujeito a "enorme fadiga" e como "parecia muito velho", e que mesmo depois de ser diagnosticado e tratado, ele "dificilmente era um cientista depois de 1925, e certamente não um Hilbert."

Hilbert viveu para ver os nazistas eliminarem muitos dos membros proeminentes do corpo docente da Universidade de Göttingen em 1933. Entre os expulsos estavam Hermann Weyl (que assumira a cadeira de Hilbert quando se aposentou em 1930), Emmy Noether e Edmund Landau . Um que teve de deixar a Alemanha, Paul Bernays , colaborou com Hilbert na lógica matemática e foi coautor com ele do importante livro Grundlagen der Mathematik (que acabou aparecendo em dois volumes, em 1934 e 1939). Esta foi uma sequência do livro de Hilbert- Ackermann Principles of Mathematical Logic de 1928. O sucessor de Hermann Weyl foi Helmut Hasse .

Cerca de um ano depois, Hilbert compareceu a um banquete e sentou-se ao lado do novo Ministro da Educação, Bernhard Rust . Rust perguntou se "o Instituto de Matemática realmente sofreu tanto com a saída dos judeus". Hilbert respondeu: "Sofreu? Não existe mais, existe!"

Morte

Tumba de Hilbert:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Na época em que Hilbert morreu em 1943, os nazistas haviam restaurado quase completamente a universidade, já que muitos dos ex-professores eram judeus ou casados ​​com judeus. O funeral de Hilbert foi assistido por menos de uma dúzia de pessoas, apenas duas das quais eram colegas acadêmicos, entre eles Arnold Sommerfeld , um físico teórico e também natural de Königsberg. A notícia de sua morte só se tornou conhecida por todo o mundo seis meses depois de sua morte.

O epitáfio em sua lápide em Göttingen consiste nas famosas linhas que ele proferiu na conclusão de seu discurso de aposentadoria para a Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães em 8 de setembro de 1930. As palavras foram dadas em resposta à máxima latina: " Ignoramus et ignorabimus " ou "Não sabemos, não saberemos":

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

Devemos saber.
Nós saberemos.

Um dia antes de Hilbert ter pronunciado essas frases na reunião anual de 1930 da Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães, Kurt Gödel - em uma mesa redonda durante a Conferência sobre Epistemologia realizada juntamente com as reuniões da Sociedade - anunciou provisoriamente a primeira expressão de seu teorema da incompletude . Os teoremas da incompletude de Gödel mostram que mesmo sistemas axiomáticos elementares como a aritmética de Peano são autocontradicionais ou contêm proposições lógicas que são impossíveis de provar ou refutar.

Contribuições para matemática e física

Hilbert resolve o problema de Gordan

O primeiro trabalho de Hilbert sobre funções invariantes o levou à demonstração em 1888 de seu famoso teorema da finitude . Vinte anos antes, Paul Gordan havia demonstrado o teorema da finitude dos geradores para formas binárias usando uma abordagem computacional complexa. As tentativas de generalizar seu método para funções com mais de duas variáveis ​​falharam devido à enorme dificuldade dos cálculos envolvidos. Para resolver o que ficou conhecido em alguns círculos como o Problema de Gordan , Hilbert percebeu que era necessário seguir um caminho completamente diferente. Como resultado, ele demonstrou o teorema da base de Hilbert , mostrando a existência de um conjunto finito de geradores, para os invariantes dos quantics em qualquer número de variáveis, mas de forma abstrata. Ou seja, ao demonstrar a existência de tal conjunto, não foi uma prova construtiva - não exibiu "um objeto" - mas, ao contrário, foi uma prova de existência e contou com o uso da lei do terceiro excluído em uma extensão infinita .

Hilbert enviou seus resultados para o Mathematische Annalen . Gordan, o especialista da casa na teoria dos invariantes para a Mathematische Annalen , não pôde apreciar a natureza revolucionária do teorema de Hilbert e rejeitou o artigo, criticando a exposição por ser insuficientemente abrangente. Seu comentário foi:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

Isso não é matemática. Isso é teologia.

Klein , por outro lado, reconheceu a importância da obra e garantiu que ela seria publicada sem alterações. Incentivado por Klein, Hilbert estendeu seu método em um segundo artigo, fornecendo estimativas sobre o grau máximo do conjunto mínimo de geradores, e o enviou mais uma vez para o Annalen . Depois de ler o manuscrito, Klein escreveu para ele, dizendo:

Sem dúvida, este é o trabalho mais importante sobre álgebra geral que o Annalen já publicou.

Mais tarde, depois que a utilidade do método de Hilbert foi universalmente reconhecida, o próprio Gordan diria:

Eu me convenci de que até a teologia tem seus méritos.

Apesar de todos os seus sucessos, a natureza de sua prova criou mais problemas do que Hilbert poderia ter imaginado. Embora Kronecker tenha admitido, Hilbert mais tarde responderia às críticas semelhantes de outros que "muitas construções diferentes são subsumidas sob uma ideia fundamental" - em outras palavras (para citar Reid): "Por meio de uma prova de existência, Hilbert foi capaz de obter uma construção"; "a prova" (ou seja, os símbolos na página) era "o objeto". Nem todos ficaram convencidos. Enquanto Kronecker morreria logo depois, sua filosofia construtivista continuaria com o jovem Brouwer e sua "escola" intuicionista em desenvolvimento , para o tormento de Hilbert em seus últimos anos. De fato, Hilbert perderia seu "aluno talentoso" Weyl para o intuicionismo - "Hilbert ficou perturbado com o fascínio de seu ex-aluno pelas idéias de Brouwer, que despertou em Hilbert a memória de Kronecker". Brouwer, o intuicionista, em particular se opôs ao uso da Lei do Meio Excluído sobre conjuntos infinitos (como Hilbert a havia usado). Hilbert respondeu:

Tirar o Princípio do Meio Excluído do matemático ... é o mesmo que ... proibir ao boxeador o uso de seus punhos.

Axiomatização da geometria

O texto Grundlagen der Geometrie (tr .: Foundations of Geometry ) publicado por Hilbert em 1899 propõe um conjunto formal, denominado axiomas de Hilbert, substituindo os axiomas tradicionais de Euclides . Evitam as fragilidades identificadas nas de Euclides , cujas obras na época ainda eram utilizadas à moda dos livros didáticos. É difícil especificar os axiomas usados ​​por Hilbert sem se referir à história de publicação do Grundlagen, uma vez que Hilbert os alterou e modificou várias vezes. A monografia original foi rapidamente seguida por uma tradução francesa, na qual Hilbert adicionou o V.2, o Axioma da Completude. Uma tradução em inglês, autorizada por Hilbert, foi feita por EJ Townsend e protegida por direitos autorais em 1902. Esta tradução incorporou as alterações feitas na tradução francesa e, portanto, é considerada uma tradução da 2ª edição. Hilbert continuou a fazer mudanças no texto e várias edições apareceram em alemão. A 7ª edição foi a última a aparecer durante a vida de Hilbert. Novas edições seguiram a 7ª, mas o texto principal essencialmente não foi revisado.

A abordagem de Hilbert sinalizou a mudança para o método axiomático moderno . Nisto, Hilbert foi antecipado pela obra de Moritz Pasch de 1882. Axiomas não são tomados como verdades evidentes por si mesmas. A geometria pode tratar coisas sobre as quais temos poderosas intuições, mas não é necessário atribuir nenhum significado explícito aos conceitos indefinidos. Os elementos, como ponto , linha , plano e outros, poderiam ser substituídos, como Hilbert teria dito a Schoenflies e Kötter , por mesas, cadeiras, copos de cerveja e outros objetos semelhantes. São seus relacionamentos definidos que são discutidos.

Hilbert primeiro enumera os conceitos indefinidos: ponto, linha, plano, assentamento (uma relação entre pontos e retas, pontos e planos e retas e planos), intermediação, congruência de pares de pontos ( segmentos de linha ) e congruência de ângulos . Os axiomas unificam a geometria plana e a geometria sólida de Euclides em um único sistema.

Os 23 problemas

Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas não resolvidos mais influente no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900. Esta é geralmente considerada a compilação de problemas abertos mais bem-sucedida e profundamente considerada já produzida por um matemático individual.

Depois de retrabalhar os fundamentos da geometria clássica, Hilbert poderia ter extrapolado para o resto da matemática. Sua abordagem diferia, entretanto, do posterior 'fundacionalista' Russell-Whitehead ou 'enciclopedista' Nicolas Bourbaki , e de seu contemporâneo Giuseppe Peano . A comunidade matemática como um todo poderia se envolver em problemas, que ele identificou como aspectos cruciais das áreas da matemática que considerava fundamentais.

O problema levantado foi lançado como uma palestra “Os Problemas da Matemática” apresentada durante o curso do Segundo Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Paris. A introdução do discurso que Hilbert fez disse:

Quem entre nós não gostaria de levantar o véu por trás do qual se esconde o futuro; para contemplar os desenvolvimentos futuros de nossa ciência e os segredos de seu desenvolvimento nos séculos vindouros? Quais serão os fins para os quais tenderá o espírito das futuras gerações de matemáticos? Que métodos, que novos fatos o novo século revelará no vasto e rico campo do pensamento matemático?

Ele apresentou menos da metade dos problemas do Congresso, que foram publicados nas atas do Congresso. Em uma publicação subsequente, ele estendeu o panorama e chegou à formulação dos agora canônicos 23 Problems of Hilbert. Veja também o vigésimo quarto problema de Hilbert . O texto completo é importante, pois a exegese das questões ainda pode ser objeto de debate inevitável, sempre que se indaga quantas já foram resolvidas.

Alguns deles foram resolvidos em pouco tempo. Outros foram discutidos ao longo do século 20, com alguns agora considerados inadequadamente abertos para serem encerrados. Alguns continuam até hoje como um desafio para os matemáticos.

Formalismo

Em relato que se tornou padrão em meados do século, o conjunto de problemas de Hilbert foi também uma espécie de manifesto, que abriu caminho para o desenvolvimento da escola formalista , uma das três maiores escolas de matemática do século XX. De acordo com o formalista, a matemática é a manipulação de símbolos de acordo com regras formais acordadas. É, portanto, uma atividade autônoma de pensamento. Há, entretanto, espaço para duvidar se as próprias visões de Hilbert eram simplistas e formalistas nesse sentido.

Programa de Hilbert

Em 1920, Hilbert propôs um projeto de pesquisa em metamatemática que ficou conhecido como o programa de Hilbert. Ele queria que a matemática fosse formulada sobre uma base lógica sólida e completa. Ele acreditava que, em princípio, isso poderia ser feito mostrando que:

  1. toda a matemática segue de um sistema finito de axiomas corretamente escolhido ; e
  2. que algum desses sistemas de axiomas é comprovadamente consistente por alguns meios, como o cálculo épsilon .

Ele parece ter tido razões técnicas e filosóficas para formular essa proposta. Afirmava sua antipatia pelo que se tornara conhecido como o ignorabimus , ainda uma questão ativa em seu tempo no pensamento alemão, e remontava nessa formulação a Emil du Bois-Reymond .

Este programa ainda é reconhecível na filosofia da matemática mais popular , onde normalmente é chamado de formalismo . Por exemplo, o grupo Bourbaki adotou uma versão diluída e seletiva dela como adequada aos requisitos de seus projetos gêmeos de (a) escrever obras enciclopédicas fundamentais e (b) apoiar o método axiomático como ferramenta de pesquisa. Esta abordagem foi bem-sucedida e influente em relação ao trabalho de Hilbert em álgebra e análise funcional, mas não conseguiu se envolver da mesma forma com seus interesses em física e lógica.

Hilbert escreveu em 1919:

Não estamos falando aqui de arbitrariedade em nenhum sentido. A matemática não é como um jogo cujas tarefas são determinadas por regras estipuladas arbitrariamente. Em vez disso, é um sistema conceitual que possui uma necessidade interna que só pode ser e de forma alguma de outra forma.

Hilbert publicou suas opiniões sobre os fundamentos da matemática na obra de 2 volumes, Grundlagen der Mathematik .

O trabalho de Gödel

Hilbert e os matemáticos que trabalharam com ele em sua empresa estavam comprometidos com o projeto. Sua tentativa de apoiar a matemática axiomatizada com princípios definitivos, o que poderia banir as incertezas teóricas, terminou em fracasso.

Gödel demonstrou que qualquer sistema formal não contraditório, que fosse abrangente o suficiente para incluir pelo menos a aritmética, não pode demonstrar sua completude por meio de seus próprios axiomas. Em 1931, seu teorema da incompletude mostrou que o grande plano de Hilbert era impossível como afirmado. O segundo ponto não pode, de forma razoável, ser combinado com o primeiro ponto, desde que o sistema de axiomas seja genuinamente finitário .

Não obstante, as realizações subsequentes da teoria da prova, no mínimo, esclareceram a consistência no que se refere às teorias de interesse central para os matemáticos. O trabalho de Hilbert deu início à lógica neste curso de esclarecimento; a necessidade de compreender o trabalho de Gödel levou ao desenvolvimento da teoria da recursão e, em seguida, da lógica matemática como uma disciplina autônoma na década de 1930. A base para a ciência da computação teórica posterior , no trabalho de Alonzo Church e Alan Turing , também cresceu diretamente a partir desse "debate".

Análise funcional

Por volta de 1909, Hilbert se dedicou ao estudo de equações diferenciais e integrais ; seu trabalho teve consequências diretas para partes importantes da análise funcional moderna. Para realizar esses estudos, Hilbert introduziu o conceito de espaço euclidiano de dimensão infinita , mais tarde denominado espaço de Hilbert . Seu trabalho nesta parte da análise forneceu a base para contribuições importantes para a matemática da física nas próximas duas décadas, embora de uma direção imprevista. Posteriormente, Stefan Banach ampliou o conceito, definindo os espaços de Banach . Os espaços de Hilbert são uma importante classe de objetos na área da análise funcional , particularmente da teoria espectral dos operadores lineares auto-adjuntos, que cresceu em torno dela durante o século XX.

Física

Até 1912, Hilbert era quase exclusivamente um matemático puro . Ao planejar uma visita de Bonn, onde estava imerso no estudo de física, seu colega matemático e amigo Hermann Minkowski brincou que teria de passar 10 dias em quarentena antes de poder visitar Hilbert. Na verdade, Minkowski parece responsável pela maioria das investigações da física de Hilbert antes de 1912, incluindo seu seminário conjunto sobre o assunto em 1905.

Em 1912, três anos após a morte de seu amigo, Hilbert voltou seu foco para o assunto quase que exclusivamente. Ele arranjou um "professor de física" para si mesmo. Ele começou a estudar a teoria dos gases cinéticos e passou para a teoria da radiação elementar e a teoria molecular da matéria. Mesmo depois que a guerra começou em 1914, ele continuou seminários e aulas onde os trabalhos de Albert Einstein e outros foram acompanhados de perto.

Em 1907, Einstein havia elaborado os fundamentos da teoria da gravidade , mas depois lutou por quase 8 anos para colocar a teoria em sua forma final . No início do verão de 1915, o interesse de Hilbert pela física se concentrou na relatividade geral , e ele convidou Einstein a Göttingen para dar uma semana de palestras sobre o assunto. Einstein foi recebido com entusiasmo em Göttingen. Durante o verão, Einstein soube que Hilbert também estava trabalhando nas equações de campo e redobrou seus próprios esforços. Durante novembro de 1915, Einstein publicou vários artigos culminando em The Field Equations of Gravitation (ver equações de campo de Einstein ). Quase simultaneamente, David Hilbert publicou "The Foundations of Physics", uma derivação axiomática das equações de campo (ver ação de Einstein-Hilbert ). Hilbert creditou totalmente Einstein como o criador da teoria e nenhuma disputa de prioridade pública sobre as equações de campo jamais surgiu entre os dois homens durante suas vidas. Veja mais em prioridade .

Além disso, o trabalho de Hilbert antecipou e auxiliou vários avanços na formulação matemática da mecânica quântica . Seu trabalho foi um aspecto fundamental da Hermann Weyl e John von Neumann 'trabalho s sobre a equivalência matemática de Werner Heisenberg ' s mecânica matricial e Erwin Schrödinger 's equação de onda , e seu xará espaço de Hilbert desempenha um papel importante na teoria quântica. Em 1926, von Neumann mostrou que, se os estados quânticos fossem entendidos como vetores no espaço de Hilbert, eles corresponderiam tanto à teoria da função de onda de Schrödinger quanto às matrizes de Heisenberg.

Ao longo dessa imersão na física, Hilbert trabalhou para colocar rigor na matemática da física. Embora altamente dependentes da matemática avançada, os físicos tendiam a ser "desleixados" com ela. Para um matemático puro como Hilbert, isso era feio e difícil de entender. À medida que começou a entender a física e como os físicos estavam usando a matemática, ele desenvolveu uma teoria matemática coerente para o que encontrou - mais importante na área de equações integrais . Quando seu colega Richard Courant escreveu o agora clássico Methoden der mathematischen Physik ( Métodos de Física Matemática ), incluindo algumas das idéias de Hilbert, ele acrescentou o nome de Hilbert como autor, embora Hilbert não tivesse contribuído diretamente para a escrita. Hilbert disse que "a física é muito difícil para os físicos", implicando que a matemática necessária estava geralmente além deles; o livro Courant-Hilbert tornou tudo mais fácil para eles.

Teoria dos Números

Hilbert unificou o campo da teoria algébrica dos números com seu tratado de 1897, Zahlbericht (literalmente "relatório sobre números"). Ele também resolveu um problema significativo de teoria dos números formulado por Waring em 1770. Como com o teorema da finitude , ele usou uma prova de existência que mostra que deve haver soluções para o problema, em vez de fornecer um mecanismo para produzir as respostas. Ele então teve pouco mais a publicar sobre o assunto; mas o surgimento de formas modulares de Hilbert na dissertação de um aluno significa que seu nome está ainda mais vinculado a uma área importante.

Ele fez uma série de conjecturas sobre a teoria do campo de classe . Os conceitos foram altamente influentes, e sua própria contribuição vive nos nomes do campo de classe de Hilbert e do símbolo de Hilbert da teoria de campo de classe local . Os resultados foram comprovados principalmente em 1930, após o trabalho de Teiji Takagi .

Hilbert não trabalhou nas áreas centrais da teoria analítica dos números , mas seu nome se tornou conhecido pela conjectura de Hilbert – Pólya , por razões que são anedóticas.

Trabalho

Suas obras completas ( Gesammelte Abhandlungen ) foram publicadas várias vezes. As versões originais de seus artigos continham "muitos erros técnicos de vários graus"; quando a coleção foi publicada pela primeira vez, os erros foram corrigidos e foi descoberto que isso poderia ser feito sem grandes mudanças nas declarações dos teoremas, com uma exceção - uma alegada prova da hipótese do contínuo . Mesmo assim, os erros foram tão numerosos e significativos que Olga Taussky-Todd levou três anos para fazer as correções.

Veja também

Conceitos

Notas de rodapé

Citações

Fontes

Literatura primária na tradução para o inglês

  • Ewald, William B., ed. (1996). De Kant a Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics . Oxford, Reino Unido: Oxford University Press.
    • 1918. "Axiomatic thinking", 1114-1115.
    • 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115-1133.
    • 1923. "Os fundamentos lógicos da matemática", 1134-1147.
    • 1930. "Logic and the knowledge of nature", 1157-1165.
    • 1931. "The grounding of elementary number theory", 1148-1156.
    • 1904. "Sobre os fundamentos da lógica e da aritmética", 129-138.
    • 1925. "On the infinite", 367-392.
    • 1927. "The foundations of mathematics", com comentário de Weyl e Apêndice de Bernays , 464-489.
  • van Heijenoort, Jean (1967). De Frege a Gödel: um livro fonte em lógica matemática, 1879–1931 . Harvard University Press.
  • Hilbert, David (1950) [1902]. Os fundamentos da geometria [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Traduzido por Townsend, EJ (2ª ed.). La Salle, IL: Publicação de Tribunal Aberto.
  • Hilbert, David (1990) [1971]. Fundamentos da geometria [Grundlagen der Geometrie] . Traduzido por Unger, Leo (2ª ed. Em inglês). La Salle, IL: Publicação de Tribunal Aberto. ISBN 978-0-87548-164-7. traduzido da 10ª edição alemã
  • Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1999). Geometria e imaginação . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1998-2. Um conjunto acessível de palestras originalmente para os cidadãos de Göttingen.
  • Hilbert, David (2004). Hallett, Michael; Majer, Ulrich (eds.). David Hilbert's Lectures on the Foundations of Mathematics and Physics, 1891–1933 . Berlin e Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Literatura secundária

links externos