Modelo Deal – Grove - Deal–Grove model

O modelo Deal – Grove descreve matematicamente o crescimento de uma camada de óxido na superfície de um material. Em particular, é usado para prever e interpretar a oxidação térmica do silício na fabricação de dispositivos semicondutores . O modelo foi publicado pela primeira vez em 1965 por Bruce Deal e Andrew Grove da Fairchild Semiconductor , com base no trabalho de Mohamed M. Atalla sobre passivação de superfície de silício por oxidação térmica no Bell Labs no final dos anos 1950. Isso serviu como uma etapa no desenvolvimento de dispositivos CMOS e na fabricação de circuitos integrados .

Suposições físicas

O modelo assume que a reação de oxidação ocorre na interface entre a camada de óxido e o material do substrato, ao invés de entre o óxido e o gás ambiente . Assim, considera três fenômenos pelos quais sofre a espécie oxidante, nesta ordem:

1. Ele se difunde da maior parte do gás ambiente para a superfície.
2. Ele se difunde através da camada de óxido existente para a interface óxido-substrato.
3. Reage com o substrato.

O modelo assume que cada um desses estágios prossegue a uma taxa proporcional à concentração do oxidante. No primeiro caso, isso significa a lei de Henry ; no segundo, a lei da difusão de Fick ; no terceiro, uma reação de primeira ordem em relação ao oxidante. Também assume condições de estado estacionário, ou seja, que os efeitos transitórios não aparecem.

Resultados

Dadas essas suposições, o fluxo de oxidante através de cada uma das três fases pode ser expresso em termos de concentrações, propriedades do material e temperatura.

${\ displaystyle J_ {gas} = h_ {g} (C_ {g} -C_ {s})}$

${\ displaystyle J_ {óxido} = D_ {ox} {\ frac {C_ {s} -C_ {i}} {x}}}$

${\ displaystyle J_ {reagindo} = k_ {i} C_ {i}}$

Ao definir os três fluxos iguais entre si , as seguintes relações podem ser derivadas: ${\ displaystyle J_ {gás} = J_ {óxido} = J_ {reagindo}}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {i}} {C_ {g}}} = {\ frac {1} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {boi }}}}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {s}} {C_ {g}}} = {\ frac {1+ {k_ {i} x} / D_ {ox}} {1 + k_ {i} / h_ {g } + {k_ {i} x} / D_ {ox}}}}$

Assumindo que isto é um crescimento controlado de difusão onde determina a taxa de crescimento, e substituindo e em termos da partir do acima duas relações em e equação respectivamente, obtém-se: ${\ displaystyle J_ {óxido}}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {s}}$${\ displaystyle C_ {g}}$${\ displaystyle J_ {óxido}}$${\ displaystyle J_ {reagindo}}$

${\ displaystyle J_ {óxido} = J_ {reagindo} = {\ frac {k_ {i} C_ {g}} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox }}}}$

Se N é a concentração do oxidante dentro de um volume unitário do óxido, então a taxa de crescimento do óxido pode ser escrita na forma de uma equação diferencial. A solução para esta equação fornece a espessura do óxido em qualquer momento t .

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {J_ {óxido}} {N}} = {\ frac {k_ {i} C_ {g} / N} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox}}}}$

${\ displaystyle x ^ {2} + Ax = Bt + {x_ {i}} ^ {2} + Ax_ {i}}$

${\ displaystyle x ^ {2} + Ax = B (t + \ tau)}$

onde as constantes e encapsulam as propriedades da reação e da camada de óxido, respectivamente, e é a camada inicial de óxido que estava presente na superfície. Essas constantes são fornecidas como: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle A = 2D_ {ox} ({\ frac {1} {k_ {i}}} + {\ frac {1} {h_ {g}}})}$

${\ displaystyle B = {\ frac {2D_ {ox} C_ {s}} {N}}}$

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {x_ {i} ^ {2} + Ax_ {i}} {B}}}$

onde , sendo o parâmetro de solubilidade do gás da lei de Henry e é a pressão parcial do gás em difusão. ${\ displaystyle C_ {s} = HP_ {g}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle P_ {g}}$

Resolver a equação quadrática para x resulta:

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {-A + {\ sqrt {{A ^ {2}} + 4 (B) (t + \ tau)}}} {2}}}$

Pegar os limites de tempo curto e longo da equação acima revela dois modos principais de operação. A primeira modalidade, onde o crescimento é linear, ocorre inicialmente quando é pequena. O segundo modo dá um crescimento quadrático e ocorre quando o óxido engrossa com o aumento do tempo de oxidação. ${\ displaystyle t + \ tau}$

${\ displaystyle t + \ tau \ ll {\ frac {A ^ {2}} {4B}} \ Rightarrow x (t) = {\ frac {B} {A}} (t + \ tau)}$

${\ displaystyle t + \ tau \ gg {\ frac {A ^ {2}} {4B}} \ Rightarrow x (t) = {\ sqrt {B (t + \ tau)}}}$

As quantidades B e B / A são freqüentemente chamadas de constantes de taxa de reação quadrática e linear . Eles dependem exponencialmente da temperatura, assim:

${\ displaystyle B = B_ {0} e ^ {- E_ {A} / kT}; \ quad B / A = (B / A) _ {0} e ^ {- E_ {A} / kT}}$

onde está a energia de ativação e é a constante de Boltzmann em eV. difere de uma equação para a outra. A tabela a seguir lista os valores dos quatro parâmetros para silício monocristalino sob condições normalmente usadas na indústria (baixo dopagem , pressão atmosférica ). A constante de taxa linear depende da orientação do cristal (geralmente indicada pelos índices de Miller do plano do cristal voltado para a superfície). A tabela fornece valores para <100> e <111> silício. ${\ displaystyle E_ {A}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E_ {A}}$

Parâmetro	Quantidade	Molhado ( ) ${\ displaystyle H_ {2} O}$	Seco ( ) ${\ displaystyle O_ {2}}$
Constante de taxa linear	${\ displaystyle (B / A) _ {0} \ \ left ({\ frac {\ mu m} {hr}} \ right)}$	<100>: 9,7 × 10 7 <111>: 1,63 × 10 8	<100>: 3,71 × 10 6 <111>: 6,23 × 10 6
	${\ displaystyle E_ {A}}$ ( eV )	2.05	2,00
Constante de taxa parabólica	${\ displaystyle B_ {0} \ \ left ({\ frac {(\ mu m) ^ {2}} {hr}} \ right)}$	386	772
	${\ displaystyle E_ {A}}$ (eV)	0,78	1,23

Validade para silício

O modelo Deal – Grove funciona muito bem com silício monocristalino na maioria das condições. No entanto, dados experimentais mostram que óxidos muito finos (menos de cerca de 25 nanômetros) crescem muito mais rapidamente do que o previsto pelo modelo. Em nanoestruturas de silício (por exemplo, nanofios de silício ), esse rápido crescimento é geralmente seguido pela diminuição da cinética de oxidação em um processo conhecido como oxidação autolimitada, que exige uma modificação do modelo Deal – Grove. ${\ displaystyle O_ {2}}$

Se o óxido crescido em uma etapa de oxidação particular excederá significativamente 25 nm, um ajuste simples é responsável pela taxa de crescimento aberrante. O modelo produz resultados precisos para óxidos espessos se, em vez de assumir espessura inicial zero (ou qualquer espessura inicial menor que 25 nm), assumirmos que 25 nm de óxido existem antes do início da oxidação. No entanto, para óxidos próximos ou mais finos do que esse limite, modelos mais sofisticados devem ser usados.

Na década de 1980, tornou-se óbvio que uma atualização do modelo Deal-Grove seria necessária para modelar os óxidos finos acima mencionados (casos autolimitados). Uma dessas abordagens que modela óxidos finos com mais precisão é o modelo de Massoud de 1985 [2]. O modelo de Massoud é analítico e baseado em mecanismos de oxidação paralelos. Ele muda os parâmetros do modelo Deal-Grove para modelar melhor o crescimento de óxido inicial com a adição de termos de aumento de taxa.

Deal-Grove também falha para o silício policristalino ("poli-silício"). Primeiro, a orientação aleatória dos grãos de cristal torna difícil escolher um valor para a constante de taxa linear. Em segundo lugar, as moléculas oxidantes se difundem rapidamente ao longo dos limites dos grãos, de modo que o polissilício oxida mais rapidamente do que o silício de cristal único.

Os átomos dopantes tensionam a rede de silício e tornam mais fácil para os átomos de silício se ligarem ao oxigênio que entra. Este efeito pode ser negligenciado em muitos casos, mas o silício fortemente dopado oxida significativamente mais rápido. A pressão do gás ambiente também afeta a taxa de oxidação.

Referências

Bibliografia

• Massoud, HZ; JD Plummer (1985). "Oxidação térmica do silício em oxigênio seco: determinação precisa das constantes de velocidade cinética". Journal of the Electrochemical Society . 132 (11): 2693–2700. doi : 10.1149 / 1.2113649 .
• Jaeger, Richard C. (2002). "Oxidação Térmica do Silício". Introdução à Fabricação Microeletrônica (2ª ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN   0-201-44494-1 .
• Deal, BE; AS Grove (dezembro de 1965). "Relações Gerais para a Oxidação Térmica do Silício". Journal of Applied Physics . 36 (12): 3770–3778. Bibcode : 1965JAP .... 36.3770D . doi : 10.1063 / 1.1713945 .

links externos

• Calculadora online incluindo pressão, doping e efeitos de óxido fino