Decaimento exponencial - Exponential decay

Uma quantidade em decadência exponencial. Constantes de decaimento maiores fazem com que a quantidade desapareça muito mais rapidamente. Este gráfico mostra decaimento para constante de decaimento (λ) de 25, 5, 1, 1/5 e 1/25 para x de 0 a 5.

Uma quantidade está sujeita a decadência exponencial se diminuir a uma taxa proporcional ao seu valor atual. Simbolicamente, esse processo pode ser expresso pela seguinte equação diferencial, onde N é a quantidade e λ (lambda) é uma taxa positiva chamada constante de decaimento exponencial :

A solução para esta equação (veja a derivação abaixo) é:

onde N ( t ) é a quantidade no tempo t , N 0 = N (0) é a quantidade inicial, isto é, a quantidade no tempo t = 0, e a constante λ é chamada de constante de decaimento , constante de desintegração , constante de taxa , ou constante de transformação .

Medindo taxas de decadência

Vida média

Se a quantidade decadente, N ( t ), é o número de elementos discretos em um determinado conjunto , é possível calcular o tempo médio que um elemento permanece no conjunto. Este é chamado o tempo de vida médio (ou, simplesmente, o tempo de vida ), onde o exponencial constante de tempo , , relaciona-se com a velocidade de decaimento, λ, da seguinte forma:

O tempo de vida médio pode ser visto como um "tempo de escala", porque a equação de decaimento exponencial pode ser escrita em termos de tempo de vida médio , em vez da constante de decaimento, λ:

e esse é o momento em que a população da assembleia é reduzida a 1 / e ≈ 0,367879441 vezes seu valor inicial.

Por exemplo, se a população inicial do conjunto, N (0), é de 1000, então a população de tempo , , é de 368.

Uma equação muito semelhante será vista abaixo, que surge quando a base do exponencial é escolhida como 2, em vez de e . Nesse caso, o tempo de escalonamento é a "meia-vida".

Meia-vida

Uma característica mais intuitiva da decadência exponencial para muitas pessoas é o tempo necessário para que a quantidade decadente caia para a metade de seu valor inicial. (Se N ( t ) for discreto, então este é o tempo de vida mediano, e não o tempo de vida médio.) Esse tempo é chamado de meia-vida e frequentemente denotado pelo símbolo t 1/2 . A meia-vida pode ser escrita em termos da constante de decadência, ou vida média, como:

Quando esta expressão é inserida na equação exponencial acima, e ln 2 é absorvido pela base, esta equação se torna:

Assim, a quantidade de material restante é 2 −1  = 1/2 elevado ao número (inteiro ou fracionário) de meias-vidas passadas. Assim, após 3 meias-vidas haverá 1/2 3  = 1/8 do material original restante.

Portanto, a vida média é igual à meia-vida dividida pelo logarítmico natural de 2, ou:

Por exemplo, o polônio-210 tem meia-vida de 138 dias e média de vida de 200 dias.

Solução da equação diferencial

A equação que descreve a queda exponencial é

ou, reorganizando (aplicando a técnica chamada separação de variáveis ),

Integrando, nós temos

onde C é a constante de integração e, portanto,

onde a substituição final, N 0 = e C , é obtida avaliando a equação em t = 0, pois N 0 é definido como sendo a quantidade em t = 0.

Esta é a forma da equação mais comumente usada para descrever o declínio exponencial. Qualquer um de constante de decaimento, vida média ou meia-vida é suficiente para caracterizar a decadência. A notação λ para a constante de decaimento é um resquício da notação usual para um autovalor . Nesse caso, λ é o autovalor do negativo do operador diferencial com N ( t ) como autofunção correspondente . As unidades da constante de decaimento são s -1 .

Derivação da vida média

Dada uma montagem de elementos, o número dos quais, em última análise diminui para zero, o tempo de vida médio , , (também chamado simplesmente o tempo de vida ) é o valor esperado da quantidade de tempo antes de um objecto é removido da montagem. Especificamente, se o tempo de vida individual de um elemento do conjunto é o tempo decorrido entre algum tempo de referência e a remoção desse elemento do conjunto, o tempo de vida médio é a média aritmética dos tempos de vida individuais.

A partir da fórmula da população

primeiro seja c o fator de normalização para converter em uma função de densidade de probabilidade :

ou, ao reorganizar,

O decaimento exponencial é um múltiplo escalar da distribuição exponencial (isto é, o tempo de vida individual de cada objeto é distribuído exponencialmente), que tem um valor esperado bem conhecido . Podemos computá-lo aqui usando integração por partes .

Decadência por dois ou mais processos

Uma quantidade pode decair por meio de dois ou mais processos diferentes simultaneamente. Em geral, esses processos (muitas vezes chamados de "modos de decaimento", "canais de decaimento", "rotas de decaimento" etc.) têm diferentes probabilidades de ocorrer e, portanto, ocorrem em diferentes taxas com diferentes meias-vidas, em paralelo. A taxa de decaimento total da quantidade  N é dada pela soma das rotas de decaimento; assim, no caso de dois processos:

A solução para esta equação é dada na seção anterior, onde a soma de é tratada como uma nova constante de decaimento total .

Vida média parcial associada com processos individuais, por definição, é o inverso multiplicativo de constante decaimento parcial correspondente: . Um combinado pode ser dado em termos de s:

Uma vez que as meias-vidas diferem da vida média por um fator constante, a mesma equação é válida em termos das duas meias-vidas correspondentes:

onde é a meia-vida combinada ou total para o processo, e são denominadas meias-vidas parciais dos processos correspondentes. Os termos "meia-vida parcial" e "vida média parcial" denotam quantidades derivadas de uma constante de decaimento como se o modo de decaimento dado fosse o único modo de decaimento para a quantidade. O termo "meia-vida parcial" é enganoso, porque não pode ser medido como um intervalo de tempo para o qual uma certa quantidade é reduzida à metade .

Em termos de constantes de decaimento separadas, a meia-vida total pode ser mostrada como

Para um decaimento por três processos exponenciais simultâneos, a meia-vida total pode ser calculada como acima:

Série de decaimento / decaimento acoplado

Na ciência nuclear e na farmacocinética , o agente de interesse pode estar situado em uma cadeia de decaimento, onde a acumulação é governada pela decadência exponencial de um agente fonte, enquanto o próprio agente de interesse decai por meio de um processo exponencial.

Esses sistemas são resolvidos usando a equação de Bateman .

No cenário farmacológico, algumas substâncias ingeridas podem ser absorvidas pelo corpo por um processo razoavelmente modelado como decadência exponencial, ou podem ser deliberadamente formuladas para ter esse perfil de liberação.

Aplicações e exemplos

A decadência exponencial ocorre em uma ampla variedade de situações. A maioria deles cai no domínio das ciências naturais .

Muitos processos de decaimento que muitas vezes são tratados como exponenciais, são realmente apenas exponenciais, desde que a amostra seja grande e a lei dos grandes números se mantenha. Para pequenas amostras, uma análise mais geral é necessária, levando em consideração um processo de Poisson .

Ciências Naturais

  • Reações químicas : as taxas de certos tipos de reações químicas dependem da concentração de um ou outro reagente . Reações cuja taxa depende apenas da concentração de um reagente (conhecidas como reações de primeira ordem ), conseqüentemente, seguem o declínio exponencial. Por exemplo, muitas enzimas - catalisada reacções se comportar desta maneira.
  • Eletrostática : A carga elétrica (ou, equivalentemente, o potencial ) contida em um capacitor (capacitância C ) muda exponencialmente, se o capacitor experimenta uma carga externa constante(resistência R ). A constante de tempo exponencial τ para o processo é R C , e a meia-vida é, portanto, R C ln2. Isso se aplica tanto à carga quanto à descarga, ou seja, um capacitor carrega ou descarrega de acordo com a mesma lei. As mesmas equações podem ser aplicadas à corrente em um indutor. (Além disso, o caso particular de um capacitor ou indutor mudando através de vários resistores paralelos é um exemplo interessante de múltiplos processos de decaimento, com cada resistor representando um processo separado. Na verdade, a expressão para a resistência equivalente de dois resistores em paralelo reflete a equação para a meia-vida com dois processos de decaimento.)
  • Geofísica : A pressão atmosférica diminui aproximadamente exponencialmente com o aumento da altura acima do nível do mar, a uma taxa de cerca de 12% por 1000 m.
  • Transferência de calor : Se um objeto em uma temperatura é exposto a um meio de outra temperatura, a diferença de temperatura entre o objeto e o meio segue uma queda exponencial (no limite de processos lentos; equivalente a "boa" condução de calor dentro do objeto, então que sua temperatura permanece relativamente uniforme em seu volume). Veja também a lei de resfriamento de Newton .
  • Luminescência : Após a excitação, a intensidade de emissão - que é proporcional ao número de átomos ou moléculas excitadas - de um material luminescente decai exponencialmente. Dependendo do número de mecanismos envolvidos, o decaimento pode ser mono ou multiexponencial.
  • Farmacologia e toxicologia : Descobriu-se que muitas substâncias administradas são distribuídas e metabolizadas (ver depuração ) de acordo com padrões de decaimento exponencial. As meias-vidas biológicas "meia-vida alfa" e "meia-vida beta" de uma substância medem a rapidez com que uma substância é distribuída e eliminada.
  • Óptica física : A intensidade da radiação eletromagnética , como luz ou raios X ou raios gama em um meio absorvente, segue uma diminuição exponencial com a distância para o meio absorvente. Isso é conhecido como alei Beer-Lambert .
  • Radioatividade : em uma amostra de um radionuclídeo que sofre decaimento radioativo para um estado diferente, o número de átomos no estado original segue decaimento exponencial, desde que o número restante de átomos seja grande. O produto de decaimento é denominadonuclídeo radiogênico .
  • Termoeletricidade : O declínio na resistência de um termistor de coeficiente de temperatura negativoconforme a temperatura aumenta.
  • Vibrações : algumas vibrações podem diminuir exponencialmente; esta característica é freqüentemente encontrada em osciladores mecânicos amortecidos e usada na criação de envelopes ADSR em sintetizadores . Umsistema superamortecido simplesmente retornará ao equilíbrio por meio de um declínio exponencial.
  • Espuma de cerveja: Arnd Leike, da Universidade Ludwig Maximilian de Munique , ganhou o Prêmio Ig Nobel por demonstrar que a espuma de cerveja obedece à lei da decadência exponencial.

Ciências Sociais

  • Finanças : um fundo de aposentadoria decairá exponencialmente estando sujeito a valores de pagamento discretos, geralmente mensais, e um insumo sujeito a uma taxa de juros contínua. Uma equação diferencial dA / dt = entrada - saída pode ser escrita e resolvida para encontrar o tempo para atingir qualquer valor A, permanecendo no fundo.
  • Na glotocronologia simples , a suposição (discutível) de uma taxa de decaimento constante nas línguas permite estimar a idade de uma única língua. (Para calcular o tempo de divisão entre duas linguagens, são necessárias suposições adicionais, independentemente do declínio exponencial).

Ciência da Computação

  • O protocolo de roteamento central na Internet , BGP , deve manter uma tabela de roteamento para lembrar os caminhos para os quais um pacote pode ser desviado. Quando um desses caminhos muda repetidamente seu estado de disponível para não disponível (e vice-versa ), o roteador BGP que controla esse caminho tem que adicionar e remover repetidamente o registro de caminho de sua tabela de roteamento ( desvia o caminho), gastando assim recursos locais como como CPU e RAM e, ainda mais, transmitindo informações inúteis para roteadores de mesmo nível. Para evitar esse comportamento indesejado, um algoritmo denominado route flapping damping atribui a cada rota um peso que fica maior cada vez que a rota muda de estado e decai exponencialmente com o tempo. Quando o peso atinge determinado limite, não se faz mais batidas, suprimindo o trajeto.
Gráficos comparando tempos de duplicação e meias-vidas de crescimentos exponenciais (linhas em negrito) e decadência (linhas fracas) e suas aproximações de 70 / te 72 / t . Na versão SVG , passe o mouse sobre um gráfico para destacá-lo e seu complemento.

Veja também

Notas

Referências

links externos