Grau de extensão de campo - Degree of a field extension

Em matemática , mais especificamente na teoria de campo , o grau de extensão de um campo é uma medida aproximada do "tamanho" da extensão de campo . O conceito desempenha um papel importante em muitas partes da matemática, incluindo álgebra e teoria dos números - na verdade, em qualquer área onde os campos aparecem com destaque.

Definição e notação

Suponha que E / F seja uma extensão de campo . Então E pode ser considerado um espaço vetorial sobre F (o campo dos escalares). A dimensão desse espaço vetorial é chamada de grau de extensão do campo e é denotada por [E: F].

O grau pode ser finito ou infinito, o campo sendo chamado de extensão finita ou extensão infinita de acordo. Uma extensão E / F também é algumas vezes considerada simplesmente finita se for uma extensão finita; isso não deve ser confundido com os próprios campos sendo campos finitos (campos com muitos elementos finitos).

O grau não deve ser confundido com o grau de transcendência de um campo; por exemplo, o campo Q ( X ) de funções racionais tem grau infinito sobre Q , mas grau de transcendência apenas igual a 1.

A fórmula de multiplicatividade para graus

Dados três campos dispostos em uma torre , digamos K um subcampo de L que por sua vez é um subcampo de M , há uma relação simples entre os graus das três extensões L / K , M / L e M / K :

Em outras palavras, o grau que vai do campo "inferior" para o "superior" é apenas o produto dos graus que vão do "fundo" para o "meio" e depois do "meio" para o "topo". É bastante análogo ao teorema de Lagrange na teoria dos grupos , que relaciona a ordem de um grupo à ordem e ao índice de um subgrupo - na verdade, a teoria de Galois mostra que essa analogia é mais do que apenas uma coincidência.

A fórmula é válida para extensões de grau finito e infinito. No caso infinito, o produto é interpretado no sentido de produtos de números cardinais . Em particular, isso significa que se M / K é finito, então ambos M / L e L / K são finitos.

Se M / K for finito, a fórmula impõe fortes restrições aos tipos de campos que podem ocorrer entre M e K , por meio de considerações aritméticas simples. Por exemplo, se o grau [ M : K ] é um número primo p , então para qualquer campo intermediário L , uma de duas coisas pode acontecer: ou [ M : L ] = p e [ L : K ] = 1, em que caso G é igual a K , ou [ M : L ] = 1 e [ L : K ] = P , caso em que G é igual a H . Portanto, não há campos intermediários (além dos próprios M e K ).

Prova da fórmula da multiplicatividade no caso finito

Suponha que K , L e M formem uma torre de campos como na fórmula do grau acima, e que ambos d = [ L : K ] e e = [ M : L ] são finitos. Isto significa que nós podemos selecionar uma base { u 1 , ..., u d } para L sobre K , e uma base { w 1 , ..., w e } para M sobre L . Mostraremos que os elementos u m w n , para m variando por 1, 2, ..., d e n variando por 1, 2, ..., e , formam uma base para M / K ; uma vez que existem precisamente de deles, isso prova que a dimensão de M / K é de , que é o resultado desejado.

Em primeiro lugar, verificar se eles cobrem M / K . Se x for qualquer elemento de M , então, uma vez que w n forma uma base para M sobre L , podemos encontrar elementos a n em L tais que

Então, uma vez que u m forma uma base para L sobre K , podemos encontrar os elementos b m , n em K de modo que para cada n ,

Então, usando a lei distributiva e associatividade da multiplicação em M , temos

que mostra que x é uma combinação linear de u m w n com coeficientes de K ; em outras palavras, eles abrangem M sobre K .

Em segundo lugar, devemos verificar se eles são linearmente independentes sobre K . Então assuma que

para alguns coeficientes b m , n em K . Usando distributividade e associatividade novamente, podemos agrupar os termos como

e vemos que os termos entre parênteses deve ser zero, porque eles são elementos de L , eo w n são linearmente independentes sobre L . Isso é,

para cada n . Então, uma vez que o b m , n coeficientes são em K , e a u m são linearmente independente sobre K , temos de ter que b m , n = 0 para todos m e todos n . Isto mostra que os elementos de u m w n são linearmente independente sobre K . Isso conclui a prova.

Prova da fórmula no caso infinito

Neste caso, começamos com bases u ct e w β de L / K e M / L , respectivamente, onde α é feita a partir de um conjunto de indexação A , e β a partir de um conjunto de indexação B . Usando um argumento inteiramente semelhante como o descrito acima, verificamos que os produtos u ct w β formar uma base para M / K . Estes são indexados pelo produto cartesiano Um × B , o qual, por definição, tem cardinalidade igual ao produto dos cardinais de A e B .

Exemplos

  • Os números complexos são uma extensão de campo sobre os números reais com grau [ C : R ] = 2 e, portanto, não há campos não triviais entre eles.
  • A extensão de campo Q ( 2 , 3 ), obtida juntando 2 e 3 ao campo Q dos números racionais , tem grau 4, ou seja, [ Q ( 2 , 3 ): Q ] = 4. O campo intermediário Q ( 2 ) tem grau 2 sobre Q ; concluímos da fórmula da multiplicatividade que [ Q ( 2 , 3 ): Q ( 2 )] = 4/2 = 2.
  • O corpo finito ( campo de Galois) GF (125) = GF (5 3 ) tem grau 3 sobre seu subcampo GF (5). Mais geralmente, se p é primo en , m são inteiros positivos com n dividindo m , então [ GF ( p m ): GF ( p n )] = m / n .
  • A extensão de campo C ( T ) / C , onde C ( T ) é o campo de funções racionais sobre C , tem grau infinito (na verdade, é uma extensão puramente transcendental ). Isto pode ser visto através da observação de que os elementos 1, T , T 2 , etc., são linearmente independente sobre C .
  • A extensão do domínio C ( T 2 ) também tem um grau infinito sobre C . No entanto, se vermos C ( T 2 ) como um subcampo de C ( T ), então, de fato [ C ( T ): C ( T 2 )] = 2. Mais geralmente, se X e Y são curvas algébricas sobre um campo K e F  : XY é um morfismo sobrejetivo entre eles de grau d , então os campos de função K ( X ) e K ( Y ) são ambos de grau infinito sobre K , mas o grau [ K ( X ): K ( Y )] acaba sendo igual a d .

Generalização

Dados dois anéis de divisão E e F com F contido em E e a multiplicação e adição de F sendo a restrição das operações em E , podemos considerar E como um espaço vetorial sobre F de duas maneiras: tendo os escalares atuando à esquerda, dando uma dimensão [ E : F ] l , e fazendo-os agirem à direita, dando uma dimensão [ E : F ] r . As duas dimensões não precisam concordar. Ambas as dimensões, entretanto, satisfazem uma fórmula de multiplicação para torres de anéis de divisão; a prova acima se aplica a escalares de ação esquerda sem alteração.

Referências

  • página 215, Jacobson, N. (1985). Básico Álgebra I . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. Prova da fórmula da multiplicatividade.
  • página 465, Jacobson, N. (1989). Álgebra Básica II . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. Discute resumidamente o caso dimensional infinito.