Grau de um polinômio - Degree of a polynomial

Em matemática , o grau de um polinômio é o mais alto dos graus dos monômios do polinômio (termos individuais) com coeficientes diferentes de zero. O grau de um termo é a soma dos expoentes das variáveis que aparecem nele e, portanto, é um número inteiro não negativo . Para um polinômio univariado , o grau do polinômio é simplesmente o expoente mais alto que ocorre no polinômio. O termo ordem tem sido usado como sinônimo de grau , mas, atualmente, pode se referir a vários outros conceitos (ver ordem de um polinômio (desambiguação) ).

Por exemplo, o polinômio que também pode ser escrito como tem três termos. O primeiro termo tem grau 5 (a soma das potências 2 e 3), o segundo termo tem grau 1 e o último termo tem grau 0. Portanto, o polinômio tem grau 5, que é o mais alto grau de qualquer termo.

Para determinar o grau de um polinômio que não está na forma padrão, como , pode-se colocá-lo na forma padrão expandindo os produtos (por distributividade ) e combinando os termos semelhantes; por exemplo, é de grau 1, embora cada soma tenha grau 2. No entanto, isso não é necessário quando o polinômio é escrito como um produto de polinômios na forma padrão, porque o grau de um produto é a soma dos graus do fatores.

Nomes de polinômios por grau

Os seguintes nomes são atribuídos a polinômios de acordo com seu grau:

Para graus mais elevados, nomes às vezes têm sido propostos, mas raramente são usados:

  • Grau 8 - octico
  • Grau 9 - nonic
  • Grau 10 - decic

Nomes para graus acima de três são baseados em números ordinais latinos e terminam em -ic . Isso deve ser diferenciado dos nomes usados ​​para o número de variáveis, aridade , que são baseados em números distributivos latinos e terminam em -ary . Por exemplo, um polinômio de grau dois em duas variáveis, como , é chamado de "quadrático binário": binário devido a duas variáveis, quadrático devido ao grau dois. Existem também nomes para o número de termos, que também são baseados em números distributivos latinos, terminando em -nomial ; os mais comuns são monomial , binomial e (menos comumente) trinomial ; portanto, é um "binomial quadrático binário".

Exemplos

O polinômio é um polinômio cúbico: depois de multiplicar e coletar os termos do mesmo grau, ele se torna , com o expoente mais alto 3.

O polinômio é um polinômio quíntico: ao combinar termos semelhantes, os dois termos de grau 8 se cancelam, deixando o expoente mais alto 5.

Comportamento sob operações polinomiais

O grau da soma, o produto ou a composição de dois polinômios está fortemente relacionado ao grau dos polinômios de entrada.

Adição

O grau da soma (ou diferença) de dois polinômios é menor ou igual ao maior de seus graus; isso é,

e .

Por exemplo, o grau de é 2 e 2 ≤ máx {3, 3}.

A igualdade sempre se mantém quando os graus dos polinômios são diferentes. Por exemplo, o grau de é 3 e 3 = máx. {3, 2}.

Multiplicação

O grau do produto de um polinômio por um escalar diferente de zero é igual ao grau do polinômio; isso é,

.

Por exemplo, o grau de é 2, que é igual ao grau de .

Assim, o conjunto de polinômios (com coeficientes de um dado campo F ) cujos graus são menores ou iguais a um dado número n forma um espaço vetorial ; para mais informações, consulte Exemplos de espaços vetoriais .

De forma mais geral, o grau do produto de dois polinômios sobre um campo ou domínio integral é a soma de seus graus:

.

Por exemplo, o grau de é 5 = 3 + 2.

Para polinômios em um anel arbitrário , as regras acima podem não ser válidas, devido ao cancelamento que pode ocorrer ao multiplicar duas constantes diferentes de zero. Por exemplo, no anel de inteiros módulo 4 , tem-se aquele , mas , que não é igual à soma dos graus dos fatores.

Composição

O grau de composição de dois polinômios não constantes e sobre um campo ou domínio integral é o produto de seus graus:

.

Por exemplo:

  • Se , então , que tem grau 6.

Observe que, para polinômios em um anel arbitrário, isso não é necessariamente verdade. Por exemplo, no , mas .

Grau do polinômio zero

O grau do polinômio zero é deixado indefinido ou é definido como negativo (geralmente -1 ou ).

Como qualquer valor constante, o valor 0 pode ser considerado um polinômio (constante), denominado polinômio zero . Não tem termos diferentes de zero e, portanto, estritamente falando, também não tem grau. Como tal, seu grau geralmente é indefinido. As proposições para o grau de somas e produtos de polinômios na seção acima não se aplicam, se algum dos polinômios envolvidos for o polinômio zero.

É conveniente, no entanto, para definir o grau do polinômio zero a ser infinito negativo , e para introduzir as regras aritméticas

e

Esses exemplos ilustram como essa extensão atende às regras de comportamento acima:

  • O grau da soma é 3. Isso satisfaz o comportamento esperado, que é isso .
  • O grau da diferença é . Isso satisfaz o comportamento esperado, que é isso .
  • O grau do produto é . Isso satisfaz o comportamento esperado, que é isso .

Calculado a partir dos valores da função

Existem várias fórmulas que avaliarão o grau de uma função polinomial f . Um baseado em análise assintótica é

;

esta é a contrapartida exata do método de estimativa da inclinação em um gráfico log – log .

Esta fórmula generaliza o conceito de grau para algumas funções que não são polinômios. Por exemplo:

A fórmula também fornece resultados razoáveis ​​para muitas combinações de tais funções, por exemplo, o grau de é .

Outra fórmula para calcular o grau de f a partir de seus valores é

;

esta segunda fórmula segue da aplicação da regra de L'Hôpital à primeira fórmula. Porém, intuitivamente, trata-se mais de exibir o grau d como o fator constante extra na derivada de .

Uma descrição mais detalhada (do que um grau numérico simples) da assintótica de uma função pode ser obtida usando a notação de O grande . Na análise de algoritmos , é frequentemente relevante, por exemplo, distinguir entre as taxas de crescimento de e , que seriam ambas com o mesmo grau de acordo com as fórmulas acima.

Extensão para polinômios com duas ou mais variáveis

Para polinômios em duas ou mais variáveis, o grau de um termo é a soma dos expoentes das variáveis ​​no termo; o grau (às vezes chamado de grau total ) do polinômio é novamente o máximo dos graus de todos os termos no polinômio. Por exemplo, o polinômio x 2 y 2 + 3 x 3 + 4 y tem grau 4, o mesmo grau que o termo x 2 y 2 .

No entanto, um polinómio de variáveis x e y , é um polinómio em x com coeficientes que são polinómios em Y , e também um polinómio em y com coeficientes que são polinómios em x . O polinômio

tem grau 3 em x e grau 2 em y .

Função de grau em álgebra abstrata

Dado um anel R , o anel polinomial R [ X ] é o conjunto de todos os polinómios em x que têm coeficientes em R . No caso especial em que R também é um campo , o anel polinomial R [ x ] é um domínio ideal principal e, mais importante para nossa discussão aqui, um domínio euclidiano .

Pode-se mostrar que o grau de um polinômio sobre um campo atende a todos os requisitos da função norma no domínio euclidiano. Isto é, dado duas polinómios de f ( x ) e g ( x ), o grau do produto f ( x ) g ( x ) deve ser maior do que ambos os graus de f e g individualmente. Na verdade, algo mais forte se mantém:

Para obter um exemplo de por que a função de grau pode falhar em um anel que não é um campo, veja o seguinte exemplo. Seja R = , o anel dos inteiros módulo 4. Este anel não é um campo (e nem mesmo é um domínio integral ) porque 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Portanto, seja f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Então, f ( x ) g ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1. Assim deg ( fg ) = 0 que não é maior do que os graus de f e g (que cada um tinha um grau).

Como a função norma não é definida para o elemento zero do anel, consideramos o grau do polinômio f ( x ) = 0 como indefinido, de modo que segue as regras de uma norma em um domínio euclidiano.

Veja também

Notas

Referências

links externos