Graus de liberdade (mecânica) - Degrees of freedom (mechanics)

Em física , os graus de liberdade ( DOF ) de um sistema mecânico é o número de parâmetros independentes que definem sua configuração ou estado. É importante na análise de sistemas de corpos em engenharia mecânica , engenharia estrutural , engenharia aeroespacial , robótica e outros campos.

A posição de um único vagão (motor) movendo-se ao longo de uma linha tem um grau de liberdade porque a posição do carro é definida pela distância ao longo da linha. Um trem de carros rígidos conectados por dobradiças a um motor ainda tem apenas um grau de liberdade porque as posições dos carros atrás do motor são restringidas pelo formato da via.

Um automóvel com suspensão altamente rígida pode ser considerado um corpo rígido viajando em um avião (um espaço plano e bidimensional). Este corpo possui três graus de liberdade independentes, consistindo em dois componentes de translação e um ângulo de rotação. Patinar ou derrapar é um bom exemplo dos três graus de liberdade independentes de um automóvel.

A posição e orientação de um corpo rígido no espaço são definidas por três componentes de translação e três componentes de rotação , o que significa que ele possui seis graus de liberdade.

O método de projeto mecânico de restrição exata gerencia os graus de liberdade para restringir ou restringir demais um dispositivo.

Movimentos e dimensões

A posição de um n -dimensional corpo rígido é definida pela transformação rígida , [ t ] = [ Ad ], em que d é um n tradução -dimensional e A é um N  ×  n matriz de rotação, que tem n graus translacionais de liberdade en ( n  - 1) / 2 graus de liberdade rotacionais. O número de graus de liberdade rotacionais vem da dimensão do grupo de rotação  SO (n) .

Um corpo não rígido ou deformável pode ser pensado como uma coleção de muitas partículas minúsculas (número infinito de DOFs), isso geralmente é aproximado por um sistema de DOF finito. Quando o movimento envolvendo grandes deslocamentos é o principal objetivo do estudo (por exemplo, para analisar o movimento de satélites), um corpo deformável pode ser aproximado como um corpo rígido (ou mesmo uma partícula) para simplificar a análise.

O grau de liberdade de um sistema pode ser visto como o número mínimo de coordenadas necessárias para especificar uma configuração. Aplicando esta definição, temos:

  1. Para uma única partícula em um plano, duas coordenadas definem sua localização, portanto, ela tem dois graus de liberdade;
  2. Uma única partícula no espaço requer três coordenadas, portanto tem três graus de liberdade;
  3. Duas partículas no espaço têm seis graus de liberdade combinados;
  4. Se duas partículas no espaço são restringidas para manter uma distância constante uma da outra, como no caso de uma molécula diatômica, então as seis coordenadas devem satisfazer uma única equação de restrição definida pela fórmula da distância. Isso reduz o grau de liberdade do sistema para cinco, porque a fórmula da distância pode ser usada para resolver a coordenada restante, uma vez que as outras cinco são especificadas.

Corpos rígidos

Os seis graus de liberdade de movimento de um navio
Graus de liberdade de atitude para um avião
Mnemônicos para lembrar os nomes dos ângulos

Um único corpo rígido tem no máximo seis graus de liberdade (6 DOF) 3T3R consistindo em três translações 3T e três rotações 3R .

Veja também ângulos de Euler .

Por exemplo, o movimento de um navio no mar tem os seis graus de liberdade de um corpo rígido e é descrito como:

    Translação e rotação:
  1. Movendo-se para cima e para baixo (elevando / levantando);
  2. Movendo-se para a esquerda e para a direita (metralhar / balançar);
  3. Movendo-se para frente e para trás (andando / subindo);
  4. Roda para a esquerda e para a direita ( bocejando );
  5. Inclina-se para frente e para trás ( arremesso );
  6. Roda de um lado para o outro ( rolando ).

Por exemplo, a trajetória de um avião em vôo tem três graus de liberdade e sua atitude ao longo da trajetória tem três graus de liberdade, para um total de seis graus de liberdade.

Menor mobilidade

Veja também: Manipulador paralelo

As restrições físicas podem limitar o número de graus de liberdade de um único corpo rígido. Por exemplo, um bloco deslizando em uma mesa plana tem 3 DOF 2T1R consistindo em duas translações 2T e 1 rotação 1R . Um robô de posicionamento XYZ como o SCARA tem 3 DOF 3T menor mobilidade.

Fórmula de mobilidade

A fórmula de mobilidade conta o número de parâmetros que definem a configuração de um conjunto de corpos rígidos que são restringidos por juntas que conectam esses corpos.

Considere um sistema de n corpos rígidos movendo-se no espaço com 6 n graus de liberdade medidos em relação a uma estrutura fixa. Para contar os graus de liberdade deste sistema, inclua o corpo fixo na contagem dos corpos, de forma que a mobilidade seja independente da escolha do corpo que forma a moldura fixa. Então, o grau de liberdade do sistema irrestrito de N  =  n  + 1 é

porque o corpo fixo tem zero graus de liberdade em relação a si mesmo.

As juntas que conectam os corpos neste sistema removem graus de liberdade e reduzem a mobilidade. Especificamente, as dobradiças e os controles deslizantes impõem cinco restrições e, portanto, removem cinco graus de liberdade. É conveniente definir o número de restrições c que uma junta impõe em termos da liberdade da junta f , onde c  = 6 -  f . No caso de uma dobradiça ou controle deslizante, que são juntas de um grau de liberdade, têm f  = 1 e, portanto, c  = 6 - 1 = 5.

O resultado é que a mobilidade de um sistema formado por n elos móveis e j articulações, cada qual com liberdade f i , i  = 1, ..., j, é dada por

Lembre-se de que N inclui o link fixo.

Existem dois casos especiais importantes: (i) uma cadeia aberta simples e (ii) uma cadeia fechada simples. Uma única cadeia aberta consiste em n elos móveis conectados de ponta a ponta por n juntas, com uma extremidade conectada a um elo de aterramento. Assim, neste caso N  =  j  + 1 e a mobilidade da cadeia é

Para uma cadeia fechada simples, n elos móveis são conectados ponta a ponta por n  + 1 juntas de modo que as duas extremidades sejam conectadas ao elo de aterramento formando um loop. Neste caso, temos N  =  j e a mobilidade da cadeia é

Um exemplo de cadeia aberta simples é um robô manipulador serial. Esses sistemas robóticos são construídos a partir de uma série de links conectados por seis rotações de um grau de liberdade ou juntas prismáticas, de modo que o sistema tem seis graus de liberdade.

Um exemplo de uma cadeia fechada simples é a ligação espacial de quatro barras RSSR. A soma da liberdade dessas juntas é oito, então a mobilidade da articulação é dois, onde um dos graus de liberdade é a rotação do acoplador em torno da linha que une as duas juntas S.

Movimento plano e esférico

É prática comum projetar o sistema de articulação de modo que o movimento de todos os corpos seja restringido a se situar em planos paralelos, para formar o que é conhecido como articulação plana . Também é possível construir o sistema de articulação de forma que todos os corpos se movam em esferas concêntricas, formando uma articulação esférica . Em ambos os casos, os graus de liberdade dos links em cada sistema agora são três, em vez de seis, e as restrições impostas pelas juntas são agora c  = 3 -  f .

Neste caso, a fórmula de mobilidade é dada por

e os casos especiais tornam-se

  • cadeia aberta simples plana ou esférica,
  • cadeia fechada simples plana ou esférica,

Um exemplo de cadeia fechada simples plana é a ligação plana de quatro barras , que é um loop de quatro barras com quatro juntas de um grau de liberdade e, portanto, tem mobilidade  M  = 1.

Sistemas de corpos

Um robô articulado com seis DOF ​​em uma cadeia cinemática.

Um sistema com vários corpos teria um DOF combinado que é a soma dos DOFs dos corpos, menos as restrições internas que eles podem ter no movimento relativo. Um mecanismo ou ligação contendo vários corpos rígidos conectados pode ter mais do que os graus de liberdade de um único corpo rígido. Aqui, o termo graus de liberdade é usado para descrever o número de parâmetros necessários para especificar a postura espacial de uma ligação. Também é definido no contexto do espaço de configuração, espaço de tarefa e espaço de trabalho de um robô.

Um tipo específico de ligação é a cadeia cinemática aberta , onde um conjunto de elos rígidos são conectados nas juntas ; uma junta pode fornecer um DOF (dobradiça / deslizante) ou dois (cilíndricos). Essas cadeias ocorrem comumente em robótica , biomecânica e para satélites e outras estruturas espaciais. Um braço humano é considerado como tendo sete DOFs. Um ombro permite arremessar, guinar e rolar, um cotovelo permite arremessar e um pulso permite arremessar, guinar e rolar. Apenas 3 desses movimentos seriam necessários para mover a mão para qualquer ponto do espaço, mas as pessoas não teriam a capacidade de agarrar as coisas de diferentes ângulos ou direções. Um robô (ou objeto) que possui mecanismos para controlar todos os 6 DOF físicos é considerado holonômico . Um objeto com menos DOFs controláveis ​​do que o total de DOFs é considerado não holonômico, e um objeto com mais DOFs controláveis ​​do que o total de DOFs (como o braço humano) é considerado redundante. Embora tenha em mente que não é redundante no braço humano porque os dois DOFs; punho e ombro, que representam o mesmo movimento; rolar, suprir um ao outro, já que eles não podem fazer 360 graus completos. O grau de liberdade é como os diferentes movimentos que podem ser feitos.

Na robótica móvel, um robô semelhante a um carro pode alcançar qualquer posição e orientação no espaço 2-D, então ele precisa de 3 DOFs para descrever sua pose, mas em qualquer ponto, você pode movê-lo apenas por um movimento para a frente e um ângulo de direção. Portanto, ele tem dois DOFs de controle e três DOFs representacionais; ou seja, não é holonômico. Uma aeronave de asa fixa, com 3–4 DOFs de controle (movimento para frente, roll, pitch e, até certo ponto, yaw) em um espaço 3-D, também não é holonômica, uma vez que não pode se mover diretamente para cima / para baixo ou esquerda direita.

Um resumo das fórmulas e métodos para calcular os graus de liberdade em sistemas mecânicos foi fornecido por Pennestri, Cavacece e Vita.

Engenharia elétrica

Em engenharia elétrica, graus de liberdade são frequentemente usados ​​para descrever o número de direções nas quais uma antena de phased array pode formar feixes ou nulos . É igual a um a menos que o número de elementos contidos na matriz, já que um elemento é usado como uma referência contra a qual qualquer interferência construtiva ou destrutiva pode ser aplicada usando cada um dos elementos de antena restantes. Prática de radar e prática de link de comunicação, com direcionamento de feixe sendo mais prevalente para aplicações de radar e direcionamento nulo sendo mais prevalente para supressão de interferência em links de comunicação.

Veja também

Referências