Deltahedron - Deltahedron
Em geometria, um deltaedro ( plural deltaedro ) é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros . O nome é retirado do delta grego maiúsculo (Δ), que tem a forma de um triângulo equilátero. Existem infinitos deltaedras, todos tendo um número par de faces pelo lema do aperto de mão . Destes, apenas oito são convexos , com 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 e 20 faces. O número de faces, arestas e vértices está listado abaixo para cada um dos oito deltaedros convexos.
Os oito deltaedros convexos
Existem apenas oito deltaedros estritamente convexos: três são poliedros regulares e cinco são sólidos de Johnson .
Deltahedra regular | ||||||
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Imagem | Nome | Rostos | Arestas | Vértices | Configurações de vértice | Grupo de simetria |
tetraedro | 4 | 6 | 4 | 4 × 3 3 | T d , [3,3] | |
octaedro | 8 | 12 | 6 | 6 × 3 4 | O h , [4,3] | |
icosaedro | 20 | 30 | 12 | 12 × 3 5 | I h , [5,3] | |
Johnson Deltahedra | ||||||
Imagem | Nome | Rostos | Arestas | Vértices | Configurações de vértice | Grupo de simetria |
bipiramide triangular | 6 | 9 | 5 | 2 × 3 3 3 × 3 4 |
D 3h , [3,2] | |
bipirâmide pentagonal | 10 | 15 | 7 | 5 × 3 4 2 × 3 5 |
D 5h , [5,2] | |
snub disphenóide | 12 | 18 | 8 | 4 × 3 4 4 × 3 5 |
D 2d , [2,2] | |
prisma triangular triaugmentado | 14 | 21 | 9 | 3 × 3 4 6 × 3 5 |
D 3h , [3,2] | |
bipirâmide quadrada giroelongada | 16 | 24 | 10 | 2 × 3 4 8 × 3 5 |
D 4d , [4,2] |
No deltaedro de 6 faces, alguns vértices têm grau 3 e alguns grau 4. Nos deltaedros de 10, 12, 14 e 16 faces, alguns vértices têm grau 4 e alguns graus 5. Esses cinco deltaedros irregulares pertencem a a classe dos sólidos Johnson : poliedros convexos com polígonos regulares para faces.
O deltahedra mantém sua forma mesmo se as arestas estiverem livres para girar em torno de seus vértices, de modo que os ângulos entre as arestas sejam fluidos. Nem todos os poliedros têm essa propriedade: por exemplo, se você relaxar alguns dos ângulos de um cubo , o cubo pode ser deformado em um prisma quadrado incorreto .
Não há deltaedro convexo de 18 faces. No entanto, o icosaedro com a borda contraída dá um exemplo de um octadecaedro que pode ser convexo com 18 faces triangulares irregulares ou feito com triângulos equiláteros que incluem dois conjuntos coplanares de três triângulos.
Casos não estritamente convexos
Existem infinitamente muitos casos com triângulos coplanares, permitindo seções das infinitas telhas triangulares . Se os conjuntos de triângulos coplanares forem considerados uma única face, um conjunto menor de faces, arestas e vértices pode ser contado. As faces triangulares coplanares podem ser fundidas em faces rômbicas, trapezoidais, hexagonais ou outras faces poligonais equiláteras. Cada face deve ser um convexo polyiamond tais como , , , , , , e , ...
Alguns exemplos menores incluem:
Imagem | Nome | Rostos | Arestas | Vértices | Configurações de vértice | Grupo de simetria |
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Aumento do octaedro aumentado 1 tet + 1 oct |
10 | 15 | 7 | 1 × 3 3 3 × 3 4 3 × 3 5 0 × 3 6 |
C 3v , [3] | |
4 3 |
12 | |||||
Aumento do trapézio trigonal 2 tets + 1 out |
12 | 18 | 8 | 2 × 3 3 0 × 3 4 6 × 3 5 0 × 3 6 |
C 3v , [3] | |
6 | 12 | |||||
Aumento 2 tets + 1 out |
12 | 18 | 8 | 2 × 3 3 1 × 3 4 4 × 3 5 1 × 3 6 |
C 2v , [2] | |
2 2 2 |
11 | 7 | ||||
Aumento do tronco triangular 3 tets + 1 out |
14 | 21 | 9 | 3 × 3 3 0 × 3 4 3 × 3 5 3 × 3 6 |
C 3v , [3] | |
1 3 1 |
9 | 6 | ||||
Aumento de octaedro alongado 2 tets + 2 octs |
16 | 24 | 10 | 0 × 3 3 4 × 3 4 4 × 3 5 2 × 3 6 |
D 2h , [2,2] | |
4 4 |
12 | 6 | ||||
Aumento do tetraedro 4 tets + 1 oct |
16 | 24 | 10 | 4 × 3 3 0 × 3 4 0 × 3 5 6 × 3 6 |
T d , [3,3] | |
4 | 6 | 4 | ||||
Aumento 3 tets + 2 octs |
18 | 27 | 11 | 1 × 3 3 2 × 3 4 5 × 3 5 3 × 3 6 |
D 2h , [2,2] | |
2 1 2 2 |
14 | 9 | ||||
Icosaedro contraído na borda | 18 | 27 | 11 | 0 × 3 3 2 × 3 4 8 × 3 5 1 × 3 6 |
C 2v , [2] | |
12 2 |
22 | 10 | ||||
Aumento do bifrusto triangular 6 tets + 2 octs |
20 | 30 | 12 | 0 × 3 3 3 × 3 4 6 × 3 5 3 × 3 6 |
D 3h , [3,2] | |
2 6 |
15 | 9 | ||||
Cúpula triangular Aumento 4 tets + 3 octs |
22 | 33 | 13 | 0 × 3 3 3 × 3 4 6 × 3 5 4 × 3 6 |
C 3v , [3] | |
3 3 1 1 |
15 | 9 | ||||
Aumento de bipirâmide triangular 8 tets + 2 octs |
24 | 36 | 14 | 2 × 3 3 3 × 3 4 0 × 3 5 9 × 3 6 |
D 3h , [3] | |
6 | 9 | 5 | ||||
Antiprisma hexagonal | 24 | 36 | 14 | 0 × 3 3 0 × 3 4 12 × 3 5 2 × 3 6 |
D 6d , [12,2 + ] | |
12 2 |
24 | 12 | ||||
Tetraedro truncado Aumento 6 tets + 4 octs |
28 | 42 | 16 | 0 × 3 3 0 × 3 4 12 × 3 5 4 × 3 6 |
T d , [3,3] | |
4 4 |
18 | 12 | ||||
Cuboctaedro Tetrakis Octaedro Aumento 8 tets + 6 octs |
32 | 48 | 18 | 0 × 3 3 12 × 3 4 0 × 3 5 6 × 3 6 |
O h , [4,3] | |
8 | 12 | 6 |
Formas não convexas
Existe um número infinito de formas não convexas.
Alguns exemplos de deltaedra que se cruzam com a face:
- Grande icosaedro - um sólido Kepler-Poinsot , com 20 triângulos que se cruzam
Outros deltaedros não convexos podem ser gerados adicionando pirâmides equiláteras às faces de todos os 5 poliedros regulares:
triakis tetraedro | hexaedro de tetraquis |
triakis octaedro ( stella octangula ) |
pentakis dodecaedro | triakis icosaedro |
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12 triângulos | 24 triângulos | 60 triângulos |
Outros aumentos do tetraedro incluem:
8 triângulos | 10 triângulos | 12 triângulos |
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Também adicionando pirâmides invertidas aos rostos:
Dodecaedro escavado |
Um deltaedro toroidal |
60 triângulos | 48 triângulos |
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Veja também
- Politopo Simplicial - politopos com todas as facetas simplex
Referências
Leitura adicional
- Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135-142.
- Cundy, H. Martyn (dezembro de 1952), "Deltahedra", Mathematical Gazette , 36 : 263–266, doi : 10.2307 / 3608204 , JSTOR 3608204.
- Cundy, H. Martyn ; Rollett, A. (1989), "3.11. Deltahedra", Mathematical Models (3rd ed.), Stradbroke, England: Tarquin Pub., Pp. 142-144.
- Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American , New York: WH Freeman, pp. 40, 53 e 58-60.
- Pugh, Anthony (1976), Polyhedra: A visual approach , Califórnia: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 pp. 35-36