curva deltóide - Deltoid curve

A curva a vermelho é uma deltóide.

Na geometria , um deltóide , também conhecido como um tricuspoid ou curva Steiner , é um hipociclóide de três cúspides . Em outras palavras, é a roleta criado por um ponto na circunferência de um círculo à medida que rola sem deslizar ao longo do interior de um círculo com três ou um e meia vezes o seu raio. É nomeado após a letra grega delta que se assemelha.

Em termos mais amplos, uma deltóide pode referir-se a qualquer figura fechada com três vértices ligados por curvas que são côncavas para o exterior, fazendo com que os pontos interior um conjunto não convexa.

equações

Um deltóide pode ser representado (-se a rotação e tradução) pelas seguintes equações paramétricos

${\ Displaystyle x = (ba) \ cos (t) + a \ cos \ left ({\ frac {ba} {a}} t \ direita) \,}$

${\ Displaystyle y = (ba) \ sin (t) -a \ sin \ left ({\ frac {ba} {a}} t \ right) \ ,,}$

em que uma é o raio do círculo rolante, b é o raio do círculo dentro do qual o círculo acima mencionado está rolando. (Na ilustração acima b = 3a ).

Em coordenadas complexas isso se torna

${\ Displaystyle z = 2ae ^ {lo} + ae ^ {-}} 2it$.

A variável t pode ser eliminado a partir destas equações para dar a equação cartesiano

${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 18-A ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 27a ^ {4} = 8a (x ^ {3} -3xy ^ {2}), \,}$

de modo que o deltóide é uma curva plana algébrica de grau de quatro. Em coordenadas polares esta se torna

${\ Displaystyle r ^ {4} + 18-A ^ {2} r ^ {2} -27a ^ {4} = ^ 8aR {3} \ cos 3 \ teta \ ,.}$

A curva tem três singularidades, cúspides correspondente a . A parametrização acima implica que a curva é racional que implica que tem gênero zero. ${\ Displaystyle t = 0, \, \ pm {\ tfrac {2 \ pi} {3}}}$

Um segmento de linha pode deslizar com cada extremidade na deltóide e permanecem tangente para o deltóide. O ponto de tangência viaja em torno do deltóide duas vezes durante cada extremidade viaja em torno de uma vez.

A dupla curva do deltóide é

${\ Displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} - (3x + 1) y ^ {2} = 0, \,}$

que tem um duplo ponto na origem, que pode ser tornada visível para traçar por uma rotação imaginário y ↦ iy, que dá a curva

${\ Displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} + (3x + 1) y ^ {2} = 0 \,}$

com um duplo ponto na origem do avião real.

Área e perímetro

A área do deltóide é onde novamente um é o raio do círculo de rolamento; assim, a área da deltóide é duas vezes a do círculo rolante.${\ Displaystyle 2 \ pi a ^ {2}}$

O perímetro (comprimento total do arco) da deltóide é de 16 um .

História

Comuns cycloids foram estudados por Galileu Galilei e Marin Mersenne tão cedo quanto 1599, mas curvas cycloidal foram concebidos pela primeira vez por Ole Rømer em 1674, enquanto estudava a melhor forma de dentes de engrenagens. Leonhard Euler afirma primeira consideração do deltóide real em 1745 em conexão com um problema óptico.

aplicações

Deltóides surgir em vários campos da matemática. Por exemplo:

• O conjunto de valores próprios complexos de unistochastic matrizes de ordem três formas de um deltóide.
• Um corte transversal do conjunto de unistochastic matrizes de ordem três formas de um deltóide.
• O conjunto de todos os vestígios possíveis de matrizes unitárias pertencentes ao grupo SU (3) forma um deltóide.
• A intersecção de duas deltóides parametriza uma família de matrizes de Hadamard complexas de ordem seis.
• O conjunto de todas as linhas Simson de triângulo dado, formar um envelope na forma de uma deltóide. Isto é conhecido como o deltóide Steiner ou hipociclóide de Steiner após Jakob Steiner que descreveu a forma e simetria da curva em 1856.
• O envelope das bissectrizes área de um triângulo é um deltóide (no sentido mais lato definido acima) com vértices nos pontos médios das medianas . Os lados do deltóide são arcos de hipérboles que são assintótica para os lados do triângulo. [1]
• Um deltóide foi proposto como uma solução para o problema da agulha Kakeya .

Veja também

• Astroid , uma curva com quatro cúspides
• Pseudotriangle
• triângulo Reuleaux
• superelipse

Referências

• EH Lockwood (1961). "Capítulo 8: O Deltoid". A Book of Curves . Cambridge University Press.
• J. Dennis Lawrence (1972). Um catálogo de curvas planas especiais . Dover Publications. pp. 131-134. ISBN  0-486-60288-5 .
• Wells D (1991). O dicionário do pinguim da Geometria curioso e interessante . New York: Penguin Books. p. 52. ISBN  0-14-011813-6 .
• "Tricuspoid" no Índice de Curves famosos de MacTutor
• "Deltoid" no MathCurve
• Sokolov, DD (2001) [1994], "Steiner curva" , em Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4