teoria descritiva de conjuntos - Descriptive set theory

Na lógica matemática , teoria descritiva de conjuntos ( DST ) é o estudo de certas classes de " bem comportados " subconjuntos da reta real e outros espaços poloneses . Bem como sendo uma das principais áreas de pesquisa em teoria dos conjuntos , tem aplicações em outras áreas da matemática, como a análise funcional , teoria ergódica , o estudo das álgebras de operadores e ações do grupo e lógica matemática .

Conteúdo

1 espaços poloneses
- 1.1 Propriedades Universalidade
2 conjuntos de Borel
- 2.1 hierarquia Borel
- 2.2 Propriedades de regularidade dos conjuntos de Borel
3 conjuntos analíticos e coanalytic
4 conjuntos Projetivos e graus Wadge
5 relações de equivalência Borel
6 teoria conjunto descritiva efectiva
7 Tabela
8 Veja também
9 Referências
10 Ligações externas

espaços poloneses

Teoria dos conjuntos descritivo começa com o estudo dos espaços poloneses e seus conjuntos de Borel .

Um espaço polaca é uma segunda-contável espaço topológico que é metrizáveis com uma métrica completa . Equivalentemente, é um completo espaço métrico separável cuja métrica foi "esquecido". Exemplos incluem o eixo real , o espaço de Baire , o espaço Cantor , eo cubo de Hilbert . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle I ^ {\ mathbb {N}}}$

Propriedades universalidade

A classe de espaços poloneses tem várias propriedades de universalidade, que mostram que não há perda de generalidade em considerar espaços poloneses de certas formas restritas.

Cada espaço polaca é homeomorfo a um G _δsubespaço do cubo de Hilbert , e cada G _δ subespaço do cubo de Hilbert é polonês.
Cada espaço polonês é obtido como uma imagem contínua do espaço de Baire; na verdade cada espaço polonesa é a imagem de uma bijeção contínua definida em um subconjunto fechado de espaço de Baire. Da mesma forma, cada espaço Polish compacto é uma imagem contínua do espaço Cantor.

Devido a estas propriedades de universalidade, e porque o espaço de Baire tem a propriedade conveniente que é homeomorfo a , muitos resultados em teoria descritiva de conjuntos são provados no contexto de Baire espaço sozinho. ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} ^ {\ omega}}$

conjuntos de Borel

A classe dos conjuntos de Borel de um espaço topológico X é composta por todos os conjuntos no menor σ-álgebra contendo os conjuntos abertos de X . Isto significa que o Borel conjuntos de X são os menores coleção de conjuntos de tal forma que:

Cada subconjunto aberto de X é um conjunto Borel.
Se A é um conjunto Borel, assim é . Ou seja, a classe de conjuntos de Borel são fechados sob complementação. ${\ Displaystyle X \ setminus A}$
Se A _n é um conjunto Borel para cada número natural n , então a união é um conjunto Borel. Ou seja, os conjuntos de Borel são fechados sob uniões contáveis. ${\ Displaystyle \ bigcup A_ {n}}$

Um resultado fundamental mostra que quaisquer dois espaços incontáveis Polish X e Y são Borel isomorfo : existe uma bijeç~ao de X para Y de tal modo que o preimage de qualquer conjunto de Borel é Borel, e a imagem de qualquer conjunto de Borel é Borel. Isto dá justificação adicional para a prática de restringir a atenção para espaço de Baire e espaço Cantor, uma vez que estas e quaisquer outros espaços poloneses são isomorphic ao nível dos conjuntos de Borel.

hierarquia Borel

Cada conjunto de Borel de um espaço polaco está classificado na hierarquia Borel baseado em quantas vezes as operações de união contável e complementação deve ser utilizado para obter o conjunto, começando a partir de conjuntos abertos. A classificação é em termos de contáveis números ordinais . Para cada ordinal contáveis diferente de zero ct há classes , , e . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa ^} {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0}}$

Cada conjunto aberto é declarado . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {0}}$
Um conjunto é declarado se e somente se seu complemento é . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa ^} {0}}$
Um conjunto A é declarado para ser , δ> 1, se existe uma sequência < A _i > de conjuntos, cada um dos quais é por alguma λ ( i ) <δ, de tal modo que . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ delta} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ lambda (i)} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle A = \ bigcup A_ {i}}$
Um conjunto é se e somente se é tanto e . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa ^} {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$

Um teorema mostra que qualquer conjunto que é ou é , e qualquer conjunto é ao mesmo tempo e para todos α> β. Assim, a hierarquia tem a seguinte estrutura, em que as setas indicam a inclusão. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa ^} {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha 1} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ beta} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa ^} {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alpha} ^ {0}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} && \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Sigma} _ {2} ^ {0} && \ cdots \\ & \ nearrow && \ searrow && \ nearrow \\\ mathbf {\ Delta} _ {1} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Delta} _ {2} ^ {0} &&&& \ cdots \\ & \ searrow && \ nearrow && \ searrow \\ && \ mathbf {\ Pi} _ {1} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Pi} _ {2} ^ {0} && \ cdots \ final {matriz}} {\ begin {matriz} && \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alpha} ^ {0} &&& \ cdots \\ & \ nearrow && \ searrow \\\ quad \ mathbf {\ Delta} _ {\ alpha} ^ {0} &&&& \ mathbf {\ Delta} _ { \ alfa 1} ^ {0} & \ & cdots \\ \ searrow && \ \\ nearrow && \ mathbf {\ Pi} _ {\ alfa ^} {0} &&& \ cdots \ final {matriz}}}$

Propriedades de regularidade dos conjuntos de Borel

Teoria descritiva de conjuntos clássica inclui o estudo das propriedades de regularidade dos conjuntos de Borel. Por exemplo, todos os conjuntos de Borel de um espaço Polish têm a propriedade de Baire ea propriedade conjunto perfeito . Teoria descritiva de conjuntos moderna inclui o estudo das formas em que esses resultados generalizam, ou deixar de generalizar, a outras classes de subconjuntos de espaços poloneses.

Analíticas e coanalytic conjuntos

Apenas além do Borel define em complexidade são os conjuntos analíticos e conjuntos coanalytic . Um subconjunto de um espaço Polish X é analítica se é a imagem contínua de um subconjunto Borel de algum outro espaço polonês. Embora qualquer preimage contínua de um conjunto de Borel é Borel, nem todos os conjuntos analíticos são conjuntos de Borel. Um conjunto é coanalytic se seu complemento é analítica.

conjuntos projetivas e graus Wadge

Muitas perguntas na teoria descritiva de conjuntos em última análise, depende de set-theoretic considerações e as propriedades ordinais e números cardinais . Este fenômeno é particularmente evidente nos conjuntos projetivas . Estes são definidos através da hierarquia projetiva em um espaço Polish X :

Um conjunto é declarado se é analítica. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {1}}$
Um conjunto é se é coanalytic. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {1} ^ {1}}$
Um conjunto A é se há um subconjunto B de tal modo que um é a projecção de B para a primeira coordenada. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n + 1} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle X \ times X}$
Um conjunto A é se há um subconjunto B de tal modo que um é a projecção de B para a primeira coordenada. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n + 1} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle X \ times X}$
Um conjunto é se ele é ao mesmo tempo e . ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {n} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n} ^ {1}}$

Tal como acontece com a hierarquia Borel, para cada n , qualquer conjunto é ao mesmo tempo e ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {n} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n + 1} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n + 1} ^ {1}.}$

As propriedades dos conjuntos projectiva não são completamente determinada por ZFE. Sob a hipótese de V = L , nem todos os conjuntos projetivas têm a propriedade conjunto perfeito ou a propriedade de Baire. No entanto, sob a suposição de determinacy projetiva , todos os conjuntos projetivas têm tanto a propriedade conjunto perfeito e de propriedade de Baire. Isso está relacionado ao fato de que ZFC prova Borel determinacy , mas não determinacy projetiva.

De modo mais geral, toda a coleção de conjuntos de elementos de um espaço Polish X podem ser agrupados em classes de equivalência, conhecidos como graus Wadge , que generalizam a hierarquia projetiva. Estes graus são ordenados na hierarquia Wadge . O axioma da determinabilidade implica que a hierarquia Wadge em qualquer espaço polaca é bem fundamentada e de comprimento Θ , com estrutura estendendo a hierarquia projetiva.

relações de equivalência Borel

A área contemporâneo de pesquisa em estudos de teoria descritiva de conjuntos relações de equivalência Borel . A equivalência relação Borel em um espaço Polish X é um subconjunto Borel de que é uma relação de equivalência em X . ${\ Displaystyle X \ times X}$

teoria descritiva de conjuntos eficaz

A área da teoria dos conjuntos descritiva eficaz combina os métodos da teoria dos conjuntos descritivo com os da teoria recursão generalizada (especialmente teoria hyperarithmetical ). Em particular, ele se concentra em lightface análogos de hierarquias da teoria dos conjuntos descritiva clássica. Assim, a hierarquia hyperarithmetic é estudada em vez da hierarquia Borel, e a hierarquia analítica em vez da hierarquia projectiva. Esta pesquisa está relacionada com versões mais fracas da teoria dos conjuntos, como Kripke-Platek a teoria dos conjuntos e aritmética de segunda ordem .

Mesa

Lightface		Negrito
Σ ⁰ ₀ = Π ⁰ ₀ = Δ ⁰ ₀ (por vezes o mesmo que Δ ⁰ ₁ )		Σ ⁰ ₀ = Π ⁰ ₀ = Δ ⁰ ₀ (se definido)
Δ ⁰ ₁ = recursiva		Δ ⁰ ₁ = clopen
Σ ⁰ ₁ = recursivamente enumeráveis	Π ⁰ ₁ = co-recursivamente enumeráveis	Σ ⁰ ₁ = G = aberta	Π ⁰ ₁ = F = fechada
Δ ⁰ ₂		Δ ⁰ ₂
Σ ⁰ ₂	Π ⁰ ₂	Σ ⁰ ₂ = F _σ	Π ⁰ ₂ = L _δ
Δ ⁰ ₃		Δ ⁰ ₃
Σ ⁰ ₃	Π ⁰ ₃	Σ ⁰ ₃ = L _δσ	Π ⁰ ₃ = F _σδ
⋮		⋮
Σ ⁰ _<ω = Π ⁰ _<ω = Δ ⁰ _<ω = Σ ¹ ₀ = Π ¹ ₀ = Δ ¹ ₀ = aritmética		Σ ⁰ _<ω = Π ⁰ _<ω = Δ ⁰ _<ω = Σ ¹ ₀ = Π ¹ ₀ = Δ ¹ ₀ = aritmética negrito
⋮		⋮
Δ ⁰ _α (α recursiva )		Δ ⁰ _α (α contáveis )
Σ ⁰ _α	¸ ⁰ _α	Σ ⁰ _α	¸ ⁰ _α
⋮		⋮
Σ ⁰ _{ω ^CK ₁} = Π ⁰ _{ω ^CK ₁} = Δ ⁰ _{ω ^CK ₁} = Δ ¹ ₁ = hyperarithmetical		Σ ⁰ _{ω ₁} = Π ⁰ _{ω ₁} = Δ ⁰ _{ω ₁} = Δ ¹ ₁ = B = Borel
Σ ¹ ₁ = analítico lightface	Π ¹ ₁ = coanalytic lightface	Σ ¹ ₁ = A = analítico	Π ¹ ₁ = CA = coanalytic
Δ ¹ ₂		Δ ¹ ₂
Σ ¹ ₂	Π ¹ ₂	Σ ¹ ₂ = PCA	Π ¹ ₂ = CPCA
Δ ¹ ₃		Δ ¹ ₃
Σ ¹ ₃	Π ¹ ₃	Σ ¹ ₃ = PCPCA	Π ¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ ¹ _<ω = Π ¹ _<ω = Δ ¹ _<ω = Σ ² ₀ = Π ² ₀ = Δ ² ₀ = analítica		Σ ¹ _<ω = Π ¹ _<ω = Δ ¹ _<ω = Σ ² ₀ = Π ² ₀ = Δ ² ₀ = P = projectiva
⋮		⋮

Veja também

Referências

Kechris, S. Alexander (1994). Teoria descritiva Set clássica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9 .

Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descritiva Teoria dos Conjuntos . Holanda do Norte. p. 2. ISBN 0-444-70199-0 .

links externos

Teoria descritiva conjunto , David Marker, 2002. Notas de aula.

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