Diagonal - Diagonal

As diagonais de um cubo com comprimento lateral 1. AC '(mostrado em azul) é uma diagonal de espaço com comprimento , enquanto AC (mostrado em vermelho) é uma diagonal de face e tem comprimento .

Em geometria , uma diagonal é um segmento de linha que une dois vértices de um polígono ou poliedro , quando esses vértices não estão na mesma aresta . Informalmente, qualquer linha inclinada é chamada de diagonal. A palavra diagonal deriva do grego antigo διαγώνιος diagonios , "de ângulo a ângulo" (de διά- dia- , "através de", "transversalmente" e γωνία gonia , "ângulo", relacionado a gony "joelho"); foi usado por Estrabão e Euclides para se referir a uma linha conectando dois vértices de um losango ou cubóide , e mais tarde adotado em latim como diagonus ("linha inclinada").

Na álgebra matricial , a diagonal de uma matriz quadrada é um conjunto de entradas que se estendem de um canto ao canto mais distante.

Existem também outros usos não matemáticos.

Usos não matemáticos

Suporte de andaime básico em canteiro de obras, com travessas diagonais para manter sua estrutura

Em engenharia , uma travessa diagonal é uma viga usada para travar uma estrutura retangular (como um andaime ) para resistir a fortes forças que empurram para dentro dela; embora seja chamado de diagonal, devido a considerações práticas, os colchetes diagonais geralmente não são conectados aos cantos do retângulo.

Alicates diagonais são alicates de corte de arame definidos pelas bordas cortantes das mandíbulas que cruzam o rebite da junta em um ângulo ou "na diagonal", daí o nome.

A amarração diagonal é um tipo de amarração usado para amarrar mastros ou varas aplicadas de forma que as amarrações cruzem as varas em um ângulo.

No futebol associativo , o sistema diagonal de controle é o método que os árbitros e assistentes usam para se posicionar em um dos quatro quadrantes do campo.

A diagonal é uma medida comum do tamanho da tela .

Polígonos

Quando aplicado a um polígono , uma diagonal é um segmento de linha que une quaisquer dois vértices não consecutivos. Portanto, um quadrilátero tem duas diagonais, unindo pares opostos de vértices. Para qualquer polígono convexo , todas as diagonais estão dentro do polígono, mas para polígonos reentrantes , algumas diagonais estão fora do polígono.

Qualquer polígono de n lados ( n ≥ 3), convexo ou côncavo , tem diagonais, pois cada vértice tem diagonais para todos os outros vértices, exceto ele mesmo e os dois vértices adjacentes, ou n  - 3 diagonais, e cada diagonal é compartilhada por dois vértices.

Lados Diagonais
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
8 20
9 27
10 35
Lados Diagonais
11 44
12 54
13 65
14 77
15 90
16 104
17 119
18 135
Lados Diagonais
19 152
20 170
21 189
22 209
23 230
24 252
25 275
26 299
Lados Diagonais
27 324
28 350
29 377
30 405
31 434
32 464
33 495
34 527
Lados Diagonais
35 560
36 594
37 629
38 665
39 702
40 740
41 779
42 819

Regiões formadas por diagonais

Em um polígono convexo , se não houver três diagonais concorrentes em um único ponto no interior, o número de regiões em que as diagonais dividem o interior é dado por

Para n- pontos com n = 3, 4, ... o número de regiões é

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246 ...

Esta é a sequência OEIS A006522.

Intersecções de diagonais

Se não houver três diagonais de um polígono convexo simultâneas em um ponto do interior, o número de interseções internas das diagonais é dado por . Isso vale, por exemplo, para qualquer polígono regular com um número ímpar de lados. A fórmula segue do fato de que cada interseção é determinada exclusivamente pelos quatro pontos finais das duas diagonais de interseção: o número de interseções é, portanto, o número de combinações dos n vértices quatro de cada vez.

Polígonos regulares

Um triângulo não tem diagonais.

Um quadrado tem duas diagonais de igual comprimento, que se cruzam no centro do quadrado. A proporção de uma diagonal para um lado é

Um pentágono regular possui cinco diagonais, todas do mesmo comprimento. A proporção de uma diagonal para um lado é a proporção áurea ,

Um hexágono regular possui nove diagonais: as seis menores são iguais em comprimento; os três mais longos são iguais entre si em comprimento e se cruzam no centro do hexágono. A proporção de uma diagonal longa para um lado é 2, e a proporção de uma diagonal curta para um lado é .

Um heptágono regular possui 14 diagonais. Os sete mais curtos são iguais e os sete mais longos são iguais. O recíproco do lado é igual à soma dos recíprocos de uma diagonal curta e uma diagonal longa.

Em qualquer n -gon regular com n par, todas as diagonais longas se cruzam no centro do polígono.

Poliedros

Um poliedro (um objeto sólido no espaço tridimensional , delimitado por faces bidimensionais ) pode ter dois tipos diferentes de diagonais: diagonais de face nas várias faces, conectando vértices não adjacentes na mesma face; e diagonais espaciais , inteiramente no interior do poliedro (exceto nas extremidades dos vértices).

Assim como um triângulo não tem diagonais, também um tetraedro (com quatro faces triangulares) não tem diagonais de face nem diagonais de espaço.

Um cuboide tem duas diagonais em cada uma das seis faces e quatro diagonais espaciais.

Matrizes

No caso de uma matriz quadrada , a diagonal principal ou principal é a linha diagonal de entradas que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito. Para uma matriz com índice de linha especificado por e índice de coluna especificado por , seriam entradas com . Por exemplo, a matriz de identidade pode ser definida como tendo entradas de 1 na diagonal principal e zeros em outros lugares:

A diagonal superior direita para inferior esquerda é algumas vezes descrita como a diagonal menor ou antidiagonal . As entradas fora da diagonal são aquelas que não estão na diagonal principal. Uma matriz diagonal é aquela cujas entradas fora da diagonal são todas zero.

Uma entrada superdiagonal é aquela que está diretamente acima e à direita da diagonal principal. Assim como as entradas diagonais são aquelas com , as entradas superdiagonais são aquelas com . Por exemplo, as entradas diferentes de zero da matriz a seguir estão todas na superdiagonal:

Da mesma forma, uma entrada subdiagonal é aquela que está diretamente abaixo e à esquerda da diagonal principal, ou seja, uma entrada com . As diagonais da matriz geral podem ser especificadas por um índice medido em relação à diagonal principal: a diagonal principal tem ; o superdiagonal tem ; o subdiagonal tem ; e, em geral, o -diagonal consiste nas entradas com .

Geometria

Por analogia, o subconjunto do produto cartesiano X × X de qualquer conjunto X consigo mesmo, consistindo em todos os pares (x, x), é chamado de diagonal, e é o gráfico da relação de igualdade em X ou equivalentemente o gráfico do função de identidade de X a x . Isso desempenha um papel importante na geometria; por exemplo, os pontos fixos de um mapeamento F de X para si mesmo podem ser obtidos cruzando o gráfico de F com a diagonal.

Nos estudos geométricos, a ideia de cruzar a diagonal consigo mesma é comum, não diretamente, mas perturbando-a dentro de uma classe de equivalência . Isso está relacionado em um nível profundo com a característica de Euler e os zeros dos campos vetoriais . Por exemplo, o círculo S 1 tem os números de Betti 1, 1, 0, 0, 0 e, portanto, a característica de Euler 0. Uma forma geométrica de expressar isso é olhar para a diagonal do toro S 1 x S 1 e observar que ele pode se mover para fora pelo pequeno movimento (θ, θ) para (θ, θ + ε). Em geral, o número de interseção do gráfico de uma função com a diagonal pode ser calculado usando homologia por meio do teorema de ponto fixo de Lefschetz ; a autointerseção da diagonal é o caso especial da função de identidade.

Veja também

Notas

Referências

links externos