Matriz diagonal - Diagonal matrix

Na álgebra linear , uma matriz diagonal é uma matriz na qual as entradas fora da diagonal principal são todas zero; o termo geralmente se refere a matrizes quadradas . Os elementos da diagonal principal podem ser zero ou diferentes de zero. Um exemplo de uma matriz diagonal 2 × 2 é , enquanto um exemplo de uma matriz diagonal 3 × 3 é . Uma matriz identidade de qualquer tamanho, ou qualquer múltiplo dela (uma matriz escalar ), é uma matriz diagonal. ${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 3 e 0 \\ 0 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right]}$

Uma matriz diagonal é às vezes chamada de matriz de escala , uma vez que a multiplicação da matriz com ela resulta na mudança de escala (tamanho). Seu determinante é o produto de seus valores diagonais.

Definição

Como afirmado acima, uma matriz diagonal é uma matriz em que todas as entradas fora da diagonal são zero. Ou seja, a matriz D = ( d _{i , j} ) com n colunas en linhas é diagonal se

${\ displaystyle \ forall i, j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}, i \ neq j \ implica d_ {i, j} = 0.}$

No entanto, as principais entradas diagonais são irrestritas.

O termo matriz diagonal às vezes pode se referir a um matriz diagonal retangular , que é umamatrizm-by-ncom todas as entradas que não são da formad _{i , i} sendo zero. Por exemplo:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}$ ou ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

Mais frequentemente, no entanto, a matriz diagonal se refere a matrizes quadradas, que podem ser especificadas explicitamente como ummatriz quadrada diagonal . Uma matriz diagonal quadrada é umamatriz simétrica, portanto, também pode ser chamada dematriz diagonal simétrica .

A matriz a seguir é uma matriz diagonal quadrada:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \ end {bmatrix}}}$

Se as entradas forem números reais ou complexos , também é uma matriz normal .

No restante deste artigo, consideraremos apenas matrizes diagonais quadradas e nos referiremos a elas simplesmente como "matrizes diagonais".

Matriz escalar

Uma matriz diagonal com entradas diagonais iguais é uma matriz escalar ; ou seja, um múltiplo escalar λ da matriz identidade I . Seu efeito em um vetor é a multiplicação escalar por λ . Por exemplo, uma matriz escalar 3 × 3 tem a forma:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda \ end {bmatrix}} \ equiv \ lambda {\ boldsymbol {I}} _ {3}}$

As matrizes escalares são o centro da álgebra de matrizes: isto é, elas são precisamente as matrizes que comutam com todas as outras matrizes quadradas do mesmo tamanho. Em contraste, em um campo (como os números reais), uma matriz diagonal com todos os elementos diagonais distintos apenas comuta com matrizes diagonais (seu centralizador é o conjunto de matrizes diagonais). Isso é porque se uma matriz diagonal tem dado então uma matriz com o prazo dos produtos são: e e (uma vez que se pode dividir por ), para que eles não comutar a menos que os termos fora da diagonal são zero. Matrizes diagonais em que as entradas diagonais não são todas iguais ou totalmente distintas têm centralizadores intermediários entre todo o espaço e apenas matrizes diagonais. ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {i} \ neq a_ {j},}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m_ {ij} \ neq 0,}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle (DM) _ {ij} = a_ {i} m_ {ij}}$${\ displaystyle (MD) _ {ij} = m_ {ij} a_ {j},}$${\ displaystyle a_ {j} m_ {ij} \ neq m_ {ij} a_ {i}}$${\ displaystyle m_ {ij}}$

Para um espaço vetorial abstrato V (em vez do espaço vetorial concreto ), o análogo de matrizes escalares são transformações escalares . Isso é verdade mais geralmente para um módulo M sobre um anel R , com a álgebra de endomorfismo End ( M ) (álgebra de operadores lineares em M ) substituindo a álgebra de matrizes. Formalmente, a multiplicação escalar é um mapa linear, induzindo um mapa (de um escalar λ para sua correspondente transformação escalar, multiplicação por λ ) exibindo End ( M ) como uma R - álgebra . Para espaços vetoriais, as transformadas escalares são exatamente o centro da álgebra do endomorfismo e, da mesma forma, as transformadas invertíveis são o centro do grupo linear geral GL ( V ). O primeiro é mais geralmente módulos livres verdadeiros , para os quais a álgebra de endomorfismo é isomórfica a uma álgebra de matriz. ${\ displaystyle K ^ {n}}$ ${\ displaystyle R \ to \ operatorname {End} (M),}$ ${\ displaystyle M \ cong R ^ {n}}$

Operações vetoriais

Multiplicar um vetor por uma matriz diagonal multiplica cada um dos termos pela entrada diagonal correspondente. Dada uma matriz diagonal e um vetor , o produto é: ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} & \ dotsm & x_ {n} \ end {bmatrix}} ^ {\ textf {T}}}$

${\ displaystyle D \ mathbf {v} = \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ & \ ddots \\ && a_ {n} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} x_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} x_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Isso pode ser expresso de forma mais compacta usando um vetor em vez de uma matriz diagonal , e tomando o produto Hadamard dos vetores (produto de entrada), denotado : ${\ displaystyle \ mathbf {d} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & \ dotsm & a_ {n} \ end {bmatrix}} ^ {\ textf {T}}}$${\ displaystyle \ mathbf {d} \ circ \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle D \ mathbf {v} = \ mathbf {d} \ circ \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {bmatrix}} \ circ {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} x_ {1} \\\ vdots \\ a_ { n} x_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Isso é matematicamente equivalente, mas evita armazenar todos os termos zero dessa matriz esparsa . Este produto é, portanto, usado em aprendizado de máquina , como produtos de computação de derivados em retropropagação ou multiplicação de pesos IDF em TF-IDF , uma vez que alguns frameworks BLAS , que multiplicam matrizes de forma eficiente, não incluem a capacidade do produto Hadamard diretamente.

Operações matriciais

As operações de adição e multiplicação de matrizes são especialmente simples para matrizes diagonais. Escreva diag ( a ₁ , ..., a _n ) para uma matriz diagonal cujas entradas diagonais começando no canto superior esquerdo são a ₁ , ..., a _n . Então, para além disso, temos

diag ( a ₁ , ..., a _n ) + diag ( b ₁ , ..., b _n ) = diag ( a ₁ + b ₁ , ..., a _n + b _n )

e para multiplicação de matrizes ,

diag ( a ₁ , ..., a _n ) diag ( b ₁ , ..., b _n ) = diag ( a ₁ b ₁ , ..., a _n b _n ) .

A matriz diagonal diag ( a ₁ , ..., a _n ) é invertível se e somente se as entradas a ₁ , ..., a _n forem todas diferentes de zero. Neste caso, temos

diag ( a ₁ , ..., a _n ) ⁻¹ = diag ( a ₁ ⁻¹ , ..., a _n ⁻¹ ) .

Em particular, as matrizes diagonais formar um subanel do anel de tudo n -by- n matrizes.

Multiplicando um n -by- n matricial A partir da esquerda com diag ( um ₁ , ..., um _n ) eleva-se a multiplicação do i th fileira de um por um _i para todos os i ; multiplicar a matriz A da direita com diag ( a ₁ , ..., a _n ) equivale a multiplicar a i- ésima coluna de A por a _i para todo i .

Matriz de operador em base própria

Conforme explicado na determinação dos coeficientes da matriz do operador , existe uma base especial, e ₁ , ..., e _n , para a qual a matriz assume a forma diagonal. Portanto, na equação de definição , todos os coeficientes com i ≠ j são zero, deixando apenas um termo por soma. Os elementos diagonais sobreviventes,, são conhecidos como autovalores e designados com na equação, que se reduz a . A equação resultante é conhecida como equação de autovalor e usada para derivar o polinômio característico e, além disso, autovalores e autovetores . ${\ displaystyle A}$${\ textstyle A \ mathbf {e} _ {j} = \ sum a_ {i, j} \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle a_ {i, j}}$${\ displaystyle a_ {i, i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle A \ mathbf {e} _ {i} = \ lambda _ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$

Em outras palavras, os autovalores de diag ( λ ₁ ,…, λ _n ) são λ ₁ ,…, λ _n com autovetores associados de e ₁ ,…, e _n .

Propriedades

• O determinante de diag ( a ₁ , ..., a _n ) é o produto a ₁ ⋯ a _n .
• O adjunto de uma matriz diagonal é novamente diagonal.
• Onde todas as matrizes são quadradas,
  • Uma matriz é diagonal se e somente se for triangular e normal .
  • Uma matriz é diagonal se e somente se for triangular superior e inferior .
  • Uma matriz diagonal é simétrica .
• A matriz identidade I _n e a matriz zero são diagonais.
• Uma matriz 1 × 1 é sempre diagonal.

Formulários

Matrizes diagonais ocorrem em muitas áreas da álgebra linear. Por causa da descrição simples da operação da matriz e dos autovalores / autovetores fornecidos acima, é normalmente desejável representar uma dada matriz ou mapa linear por uma matriz diagonal.

De fato, uma dada matriz A n -by- n é semelhante a uma matriz diagonal (significando que existe uma matriz X tal que X ⁻¹ AX é diagonal) se e somente se ela tiver n autovetores linearmente independentes . Essas matrizes são diagonalizáveis .

Sobre o campo de números reais ou complexos , mais é verdade. O teorema espectral diz que toda matriz normal é unitariamente semelhante a uma matriz diagonal (se AA ^∗ = A ^∗ A então existe uma matriz unitária U tal que UAU ^∗ é diagonal). Além disso, a decomposição de valor singular implica que para qualquer matriz A , existem matrizes unitárias U e V tais que UAV ^∗ é diagonal com entradas positivas.

Teoria do operador

Na teoria do operador , particularmente no estudo de PDEs , os operadores são particularmente fáceis de entender e os PDEs fáceis de resolver se o operador for diagonal em relação à base com a qual está trabalhando; isso corresponde a uma equação diferencial parcial separável . Portanto, uma técnica chave para entender os operadores é uma mudança de coordenadas - na linguagem dos operadores, uma transformação integral - que muda a base para uma base própria de funções próprias : o que torna a equação separável. Um exemplo importante disso é a transformada de Fourier , que diagonaliza os operadores de diferenciação de coeficiente constante (ou, mais geralmente, os operadores invariantes de translação), como o operador Laplaciano, digamos, na equação do calor .

Especialmente fáceis são os operadores de multiplicação , que são definidos como multiplicação por (os valores de) uma função fixa - os valores da função em cada ponto correspondem às entradas diagonais de uma matriz.

Veja também

Notas

Referências

Fontes

• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6