Dados - Dice

Quatro dados tradicionais mostrando todos os seis lados diferentes.

Tocar mídia

Dados de tamanhos diferentes sendo lançados em câmera lenta.

Os dados ( dado ou dado único ) são pequenos objetos que podem ser lançados com lados marcados que podem ficar em várias posições. Eles são usados ​​para gerar números aleatórios , geralmente como parte de jogos de mesa , incluindo jogos de dados , jogos de tabuleiro , jogos de RPG e jogos de azar .

Um dado tradicional é um cubo com cada uma de suas seis faces marcadas com um número diferente de pontos ( pips ) de um a seis. Quando lançado ou rolado, o dado para, mostrando um inteiro aleatório de um a seis em sua superfície superior, com cada valor sendo igualmente provável. Os dados também podem ter formas poliédricas ou irregulares e podem ter faces marcadas com números ou símbolos em vez de sementes. Os dados carregados são projetados para favorecer alguns resultados em detrimento de outros para trapaça ou entretenimento.

História

Imagem composta de todos os lados de um dado romano de 12 mm (½ ") , encontrado em Leicestershire , Inglaterra

Os dados têm sido usados ​​desde antes da história registrada e não se sabe onde eles se originaram. Teoriza-se que os dados se desenvolveram a partir da prática da leitura da sorte com o talus de animais com cascos, coloquialmente conhecidos como knucklebones . O jogo egípcio de senet era jogado com marcadores de dois lados que indicavam o número de quadrados que um jogador podia mover e, portanto, funcionava como uma forma de dado. O Senet foi jogado antes de 3000 aC e até o século 2 dC. Os dados ósseos de Skara Brae foram datados de 3100–2400 aC. Escavações de túmulos em Mohenjo-daro , um assentamento da civilização do Vale do Indo , dados de terracota descobertos que datam de 2500–1900 aC.

Morra de osso da junta , feita de esteatita

Os jogos que envolvem dados são mencionados na lista de jogos do antigo Rigveda , Atharvaveda , Mahabharata e Budista da Índia . Existem várias bíblicos referências a "lotes de fundição" ( hebraico : יפילו גורל yappîlū Goral ), como no Salmo 22, indicando que cortar (ou uma actividade relacionada) era comum quando o salmo foi composto. Knucklebones era um jogo de habilidade praticado na Grécia antiga ; uma forma derivada tinha os quatro lados dos ossos recebendo valores diferentes, como dados modernos.

O serpentinito de vinte lados morre do Egito ptolomaico

Embora o jogo fosse ilegal, muitos romanos eram jogadores apaixonados que gostavam de jogar dados , o que era conhecido como aleam ludere ("jogar dados"). Havia dois tamanhos de dados romanos. Tali eram grandes dados com inscrições de um, três, quatro e seis nos quatro lados. Tesserae eram dados menores com lados numerados de um a seis. Os dados de vinte lados datam do século 2 DC e do Egito ptolomaico já no século 2 AC.

Uma coleção de dados históricos de várias regiões da Ásia

O dominó e as cartas de jogar tiveram origem na China como desenvolvimento dos dados. A transição dos dados para as cartas de jogar ocorreu na China por volta da dinastia Tang e coincide com a transição tecnológica dos rolos de manuscritos para os livros impressos em bloco . No Japão, os dados eram usados ​​para jogar um jogo popular chamado sugoroku . Existem dois tipos de sugoroku. Ban-sugoroku é semelhante ao gamão e data do período Heian , enquanto o e-sugoroku é um jogo de corrida.

Usar

Os dados são lançados em uma superfície pela mão ou de um recipiente projetado para isso (como um copo ou bandeja). A face do dado que está em primeiro lugar quando se trata de repouso fornece o valor do lançamento.

O resultado de um lançamento de dados é determinado pela maneira como ele é lançado, de acordo com as leis da mecânica clássica . Uma jogada de dados é feita aleatoriamente pela incerteza em fatores menores, como pequenos movimentos na mão do lançador; eles são, portanto, uma forma bruta de gerador de números aleatórios de hardware .

Um típico jogo de dados contemporâneo é o craps , em que dois dados são lançados simultaneamente e as apostas são feitas sobre o valor total dos dois dados. Os dados são freqüentemente usados ​​para introduzir aleatoriedade em jogos de tabuleiro , onde são freqüentemente usados ​​para decidir a distância pela qual uma peça se moverá ao longo do tabuleiro (como no gamão e no Banco Imobiliário ).

Construção

Arranjo

Quiralidade de dados. As faces podem ser colocadas no sentido anti-horário (topo) ou no sentido horário .

Os dados comuns são pequenos cubos , geralmente com 1,6 cm (0,63 pol.) De diâmetro, cujas faces são numeradas de um a seis, geralmente por padrões de pontos redondos chamados pips . (Embora o uso de algarismos arábicos seja ocasionalmente visto, esses dados são menos comuns.)

Os lados opostos de um dado moderno tradicionalmente somam sete, exigindo que as faces 1, 2 e 3 compartilhem um vértice . As faces de um dado podem ser colocadas no sentido horário ou anti-horário sobre este vértice. Se as faces 1, 2 e 3 rodarem no sentido anti-horário, o dado é chamado de "destro". Se essas faces rodarem no sentido horário, o dado é chamado de "canhoto". Os dados ocidentais são normalmente destros e os dados chineses são normalmente canhotos.

Facetas típicas que mostram o arranjo de pip mais compacto de uma matriz de estilo asiático (superior) em comparação a uma matriz de estilo ocidental (inferior)

Os pips nos dados padrão de seis lados são organizados em padrões específicos, conforme mostrado. Os dados de estilo asiático apresentam padrões semelhantes aos ocidentais, mas as sementes estão mais próximas do centro da face; além disso, os pips têm tamanhos diferentes nos dados de estilo asiático, e os pips são coloridos de vermelho nos lados 1 e 4. Os quatros vermelhos podem ser de origem indiana.

Manufatura

Dados ocidentais, asiáticos e de cassino

Os dados de não precisão são fabricados por meio do processo de moldagem por injeção de plástico . As sementes ou números na matriz fazem parte do molde. Diferentes pigmentos podem ser adicionados aos dados para torná-los opacos ou transparentes, ou vários pigmentos podem ser adicionados para tornar os dados salpicados ou marmorizados.

A coloração para a numeração é obtida submergindo a matriz inteiramente em tinta, que é deixada secar. A matriz é então polida por meio de um processo de acabamento por tambor semelhante ao polimento de rocha . O agente abrasivo raspa toda a tinta, exceto os travessões da numeração. Um abrasivo mais fino é então usado para polir a matriz. Esse processo também produz bordas arredondadas e suaves nos dados.

Os dados de precisão do casino podem ter um acabamento polido ou areia, tornando-os transparentes ou translúcidos, respectivamente. Os dados de cassino têm seus caroços perfurados e, em seguida, preenchidos com tinta da mesma densidade do material usado para os dados, de modo que o centro de gravidade dos dados seja o mais próximo possível do centro geométrico. Isso atenua as preocupações de que os pips causem um pequeno viés. Todos esses dados são marcados com um número de série para evitar que os trapaceiros em potencial substituam um dado. Os dados de gamão de precisão são feitos da mesma maneira; eles tendem a ser um pouco menores e têm cantos e bordas arredondados, para permitir um melhor movimento dentro do copo de dados e impedir que rolos fortes danifiquem a superfície de jogo.

Etimologia e termos

A palavra morrer vem do francês antigo dé ; do datum latino "algo que é dado ou jogado".

Embora os termos ace , deuce , trey , cater , cinque e sice sejam geralmente obsoletos, com os nomes dos números preferidos, eles ainda são usados ​​por alguns jogadores profissionais para designar diferentes lados dos dados. Ace vem do latim como , significando "uma unidade"; os outros são de 2 a 6 em francês antigo .

Ao lançar dois dados, certas combinações têm nomes de gíria. O termo olhos de cobra é um rolo de um pip em cada dado. O Dicionário Online de Etimologia rastreia o uso do termo desde 1919. O termo vagões de carga , também conhecido como meia-noite , é um lançamento de seis pips em cada dado. O par de seis pips lembra um par de vagões de carga em um trem de carga. Muitos lançamentos têm nomes no jogo de dados .

Representação Unicode

Usando caracteres Unicode, as faces ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅ podem ser mostradas em texto usando o intervalo U + 2680 a U + 2685 ou usando decimal ⚀para ⚅.

Dados viciados

Um dado carregado, pesado, trapaceiro ou torto é aquele que foi adulterado para que caia com um lado específico voltado para cima com mais ou menos frequência do que um dado normal. Existem vários métodos para fazer dados carregados, incluindo faces arredondadas, faces fora do quadrado e pesos. Os cassinos e salas de jogos freqüentemente usam dados transparentes de acetato de celulose, já que a adulteração é mais fácil de detectar do que com dados opacos.

Variantes

Dados poliédricos

Um conjunto típico de dados de RPG em várias cores. Eles consistem em cinco sólidos platônicos, junto com uma matriz de dez lados que também é usada para gerar porcentagens.

Várias formas, como dados de dois ou quatro lados, são documentadas em achados arqueológicos; por exemplo, do Antigo Egito e do Oriente Médio. Embora o dado cúbico de seis lados tenha se tornado o tipo mais comum em muitas partes do mundo, outras formas sempre foram conhecidas, como dados de 20 lados nos tempos ptolomaico e romano.

A tradição moderna de usar conjuntos de dados poliédricos começou por volta do final da década de 1960, quando os dados não cúbicos se tornaram populares entre os jogadores de jogos de guerra e, desde então, têm sido amplamente empregados em jogos de RPG e jogos de cartas colecionáveis . Os dados usando os números 6 e 9, que são reciprocamente simétricos por meio da rotação, normalmente os distinguem com um ponto ou sublinhado.

Variações comuns

Os dados são geralmente vendidos em conjuntos de cores iguais em seis formatos diferentes. Cinco dos dados têm a forma de sólidos platônicos , cujas faces são polígonos regulares . Além do cubo, os outros quatro sólidos platônicos têm 4, 8, 12 e 20 faces, permitindo que essas faixas de número sejam geradas. O único outro dado não cúbico comum é o dado de 10 lados, um dado trapezoedro pentagonal , cujas faces são dez pipas , cada uma com dois comprimentos de aresta diferentes, três ângulos diferentes e dois tipos diferentes de vértices. Esses conjuntos frequentemente incluem um segundo dado de 10 lados de cor contrastante ou numerado por dezenas, permitindo que o par de dados de 10 lados seja combinado para gerar números entre 1 e 100.

Usando esses dados de várias maneiras, os jogos podem se aproximar de uma variedade de distribuições de probabilidade . Por exemplo, dados de 10 lados podem ser lançados em pares para produzir uma distribuição uniforme de porcentagens aleatórias, e a soma dos valores de dados múltiplos produzirá aproximações para distribuições normais .

Ao contrário de outros dados comuns, um dado de quatro lados (tetraédrico) não tem um lado voltado para cima quando está em repouso em uma superfície, portanto, deve ser lido de uma maneira diferente. Em alguns dados de quatro lados, cada face apresenta vários números, com o mesmo número impresso próximo a cada vértice em todos os lados. Neste caso, o número ao redor do vértice apontando para cima é usado. Alternativamente, os números em um dado tetraédrico podem ser colocados no meio das bordas, caso em que os números ao redor da base são usados.

Normalmente, as faces em um dado serão colocadas de forma que faces opostas somarão um a mais do que o número de faces. (Isso não é possível com dados de 4 lados e dados com um número ímpar de faces.) Alguns dados, como aqueles com 10 lados, são geralmente numerados sequencialmente começando com 0, caso em que as faces opostas serão adicionadas a um a menos do que o número de rostos.

Alguns dados de vinte lados têm um arranjo diferente usado com o propósito de manter o controle de um número inteiro que faz a contagem regressiva, como pontos de saúde. Esses dados spindown são organizados de forma que inteiros adjacentes apareçam nas faces adjacentes, permitindo ao usuário encontrar facilmente o próximo número inferior. Eles são comumente usados ​​com jogos de cartas colecionáveis .

Rostos / lados	Forma		Notas
4	Tetraedro		Cada face tem três números, dispostos de forma que o número vertical, colocado próximo ao vértice ou próximo à borda oposta, seja o mesmo em todas as três faces visíveis. Os números retos representam o valor da jogada. Este dado não rola bem e, portanto, geralmente é jogado para o ar.
6	Cubo		Um dado comum. A soma dos números nas faces opostas é 7.
8	Octaedro		Cada face é triangular e a matriz se assemelha a duas pirâmides quadradas anexadas base a base. Normalmente, a soma das faces opostas é 9.
10	Trapezoedro pentagonal		Cada rosto é uma pipa . O dado tem dois cantos agudos, onde cinco pipas se encontram, e dez cantos mais arredondados, onde três pipas se encontram. As dez faces geralmente carregam números de zero a nove, em vez de um a dez (zero sendo lido como "dez" em muitas aplicações). Freqüentemente, todas as faces com números ímpares convergem em um canto agudo e os pares no outro. A soma dos números nas faces opostas é geralmente 9 (se numerada de 0 a 9) ou 11 (se numerada de 1 a 10).
12	Dodecaedro		Cada face é um pentágono regular. A soma dos números nas faces opostas geralmente é 13.
20	Icosaedro		As faces são triângulos equiláteros . Icosaedros foram encontrados datando da época romana / ptolomaica, mas não se sabe se eram usados ​​como dados de jogo. Os dados modernos com 20 lados às vezes são numerados de 0 a 9 duas vezes como uma alternativa aos dados de 10 lados. A soma dos números nas faces opostas é 21 se numerada de 1 a 20.

Variações mais raras

"Dados justos uniformes" são dados em que todas as faces têm probabilidade igual de resultado devido à simetria do dado, pois é transitivo de face . Teoricamente, eles incluem:

• Bipiramidas , os duais do conjunto infinito de prismas , com faces triangulares: qualquer múltiplo de 4 (de modo que uma face fique voltada para cima) acima de 8
• Sólidos catalães , os duais dos 13 sólidos arquimedianos : 12, 24, 30, 48, 60, 120 lados
• Disfenóides , um conjunto infinito de tetraedros feitos de triângulos não regulares congruentes: 4 lados. Este é um tetraedro menos simétrico do que o tetraedro platônico, mas ainda suficientemente simétrico para ser transitivo de face. Da mesma forma, os piritoedros e os tetartóides são menos simétricos, mas ainda assim são dodecaedros transitivos de face: 12 lados.
• Sólidos platônicos , os cinco poliedros regulares: 4, 6, 8, 12, 20 lados
• Trapezohedra , os duais do conjunto infinito de antiprismas , com faces de pipa: qualquer número par não divisível por 4 (para que uma face fique voltada para cima) acima de 6

Dois outros tipos de poliedros não são tecnicamente transitivos de face, mas ainda são dados justos devido à simetria:

• antiprismas : a base dos dados de barril
• prismas : a base de dados longos e teetotums

Dados longos e teetotums podem, em princípio, ser feitos com qualquer número de faces, incluindo números ímpares. Dados longos são baseados no conjunto infinito de prismas . Todas as faces retangulares são mutuamente transitivas de face, portanto, são igualmente prováveis. As duas extremidades do prisma podem ser arredondadas ou cobertas por uma pirâmide, projetada de forma que o dado não possa se apoiar nessas faces. Os dados longos de 4 lados são mais fáceis de rolar do que os tetraedros e são usados ​​nos tradicionais jogos de tabuleiro dayakattai e daldøs .

Faces / lados	Forma	Imagem	Notas
1	Faixa ou esfera de Möbius		Mais comumente um dado de piada , é uma esfera com um 1 marcado ou em forma de tira de Möbius .
2	Cilindro		Um cara ou coroa . Algumas moedas com 1 marcado em um lado e 2 no outro estão disponíveis, mas a maioria simplesmente usa uma moeda comum.
3	Prisma triangular arredondado		Um dado longo que deve ser rolado no sentido do comprimento. Quando o dado é lançado, uma borda (em vez de um lado) aparece voltada para cima. Em cada lado de cada borda, o mesmo número é impresso (de 1 a 3). Os números de cada lado da borda voltada para cima são lidos como resultado do rolo de dados.
4	Matriz longa tampada de 4 lados		Um dado longo que deve ser rolado no sentido do comprimento. Ele não pode ficar em pé porque as pontas são tampadas.
5
	Prisma triangular		Um prisma que é fino o suficiente para pousar em sua "borda" ou "face". Ao pousar em uma borda, o resultado é exibido por dígitos (2–4) perto da borda superior do prisma. As faces triangulares são rotuladas com os dígitos 1 e 5.
	Matriz longa de 5 lados com tampa		Morte longa de cinco caras para o Jogo dos Dignitários coreanos; entalhes que indicam os valores são cortados nas bordas, uma vez que em uma matriz longa de face ímpar esses pontos ficam para cima.
6	Matriz longa de 6 lados com tampa		Dois dados longos de seis faces são usados ​​para simular a atividade de marcar corridas e receber postigos no jogo de críquete . Originalmente jogado com lápis de seis lados etiquetados e freqüentemente conhecido como grilo de lápis .
7	Prisma pentagonal		Semelhante em constituição ao dado de 5 lados. Dados de sete lados são usados ​​em uma variante de gamão para sete jogadores . Os dados de sete lados são descritos no Livro de los juegos do século 13 como tendo sido inventados por Alfonso X para acelerar o jogo nas variantes do xadrez .
12	Dodecaedro rômbico		Cada rosto é um losango .
	Trapezoedro hexagonal		Cada rosto é uma pipa.
14	Trapezoedro heptagonal		Cada rosto é uma pipa .
16	Bipirâmide octogonal		Cada face é um triângulo isósceles.
	Trapezoedro octogonal		Cada rosto é uma pipa.
18	Rombicuboctaedro arredondado		18 faces são quadrados. As 8 faces triangulares são arredondadas e não podem ser fixadas.
20	Trapezoedro decagonal		Cada rosto é uma pipa.
24	Octaedro triakis		Cada face é um triângulo isósceles.
	Hexaedro de Tetrakis		Cada face é um triângulo isósceles.
	Icositetraedro deltóide		Cada rosto é uma pipa.
	Icositetraedro pseudo-deltóide		Cada rosto é uma pipa.
	Icositraedro pentagonal		Cada face é um pentágono irregular.
	Trapezoedro dodecagonal		Cada rosto é uma pipa.
30	Triacontaedro rômbico		Cada rosto é um losango.
34	Heptadecagonal trapezoedro		Cada rosto é uma pipa.
48	Dodecaedro de Disdyakis		Cada face é um triângulo escaleno .
50	Trapezoedro icossicaipentagonal		Cada rosto é uma pipa.
60	Hexecontahedron deltóide		Cada rosto é uma pipa.
	Dodecaedro de pentakis		Cada face é um triângulo isósceles.
	Hexecontahedron pentagonal		Cada face é um pentágono irregular.
	Triakis icosaedro		Cada face é um triângulo isósceles.
100	Zocquedro		Uma esfera contendo outra esfera com 100 facetas achatadas nela. Não funciona como um dado uniforme uniforme, pois alguns resultados são mais prováveis ​​do que outros.
120	Triacontahedron Disdyakis		Cada face é um triângulo escaleno.

Dados não numéricos

Um conjunto de dados Fudge

As faces da maioria dos dados são marcadas com sequências de números inteiros, geralmente começando em um, expressos com pips ou dígitos. No entanto, existem alguns aplicativos que exigem resultados diferentes de números. Os exemplos incluem cartas para Boggle , instruções para Warhammer Fantasy Battle , dados Fudge , símbolos de cartas de jogar para dados de pôquer e instruções para atos sexuais usando dados sexuais .

Dados numerados alternativamente

Os dados podem ter números que não formam uma sequência de contagem começando em um. Uma variação do dado padrão é conhecida como dado "médio". Estes são dados de seis lados com lados numerados 2, 3, 3, 4, 4, 5, que têm a mesma média aritmética de um dado padrão (3,5 para um único dado, 7 para um par de dados), mas têm uma faixa mais estreita de valores possíveis (2 a 5 para um, 4 a 10 para um par). Eles são usados ​​em alguns jogos de guerra de mesa , onde uma gama menor de números é necessária. Outras variações numeradas incluem dados de Sicherman e dados intransitivos .

Dados esféricos

Um dado esférico

Uma matriz pode ser construída em forma de esfera, com a adição de uma cavidade interna em forma de poliedro duplo com a forma de matriz desejada e um peso interno. O peso se acomodará em um dos pontos da cavidade interna, fazendo com que se acomode com um dos números mais acima. Por exemplo, uma esfera com uma cavidade octaédrica e um pequeno peso interno irá se assentar com um dos 6 pontos da cavidade mantido para baixo pelo peso.

Formulários

Dados típicos de RPG, mostrando uma variedade de cores e estilos. Observe o antigo dado verde de 12 lados com tinta à mão (mostrando um 11), fabricado antes que os dados pré-tintados fossem comuns. Muitos jogadores coletam ou adquirem um grande número de dados mistos e incomparáveis.

Medieval People at Play, Museu de Arte Walters , Baltimore

Dados poliédricos são comumente usados ​​em jogos de RPG. O RPG de fantasia Dungeons & Dragons (D&D) é amplamente creditado por popularizar os dados em tais jogos. Alguns jogos usam apenas um tipo, como Exalted, que usa apenas dados de dez lados. Outros usam vários tipos para diferentes propósitos de jogo, como D&D, que faz uso de todos os dados poliédricos comuns. Os dados geralmente são usados ​​para determinar o resultado dos eventos. Os jogos normalmente determinam os resultados como um total em um ou mais dados acima ou abaixo de um número fixo, ou um certo número de lançamentos acima de um certo número em um ou mais dados. Devido às circunstâncias ou perícia do personagem, o teste inicial pode ter um número adicionado ou subtraído do resultado final, ou fazer com que o jogador role mais ou menos dados. Para manter o controle dos lançamentos facilmente, a notação de dados é freqüentemente usada.

Muitos jogos de tabuleiro usam dados para determinar o quão longe as peças se movem ou para resolver conflitos. Normalmente, isso significa que rolar números mais altos é melhor. Alguns jogos, como Axis & Allies , inverteram esse sistema, tornando os valores mais baixos mais potentes. Na era moderna, alguns jogos e designers de jogos abordaram os dados de uma maneira diferente, tornando cada lado do dado igualmente valioso. Em Castles of Burgundy , os jogadores gastam seus dados para realizar ações com base no valor do dado. Neste jogo, um seis não é melhor que um, ou vice-versa. Em Quarriors (e seu descendente, Dicemasters), diferentes lados dos dados podem oferecer habilidades completamente diferentes. Muitas vezes, vários lados fornecem recursos, enquanto outros concedem ações úteis ao jogador.

Os dados podem ser usados ​​para adivinhação e o uso de dados para esse propósito é chamado de cleromancia . Um par de dados comuns é usual, embora outras formas de poliedros possam ser usadas. Os budistas tibetanos às vezes usam esse método de adivinhação . É muito provável que os pitagóricos usassem os sólidos platônicos como dados. Eles se referiam a esses dados como "os dados dos deuses" e buscavam compreender o universo por meio de uma compreensão da geometria em poliedros.

Dados astrológicos são um conjunto especializado de três dados de 12 lados para adivinhação; o primeiro dado representa os planetas, o Sol, a Lua e os nós da Lua, o segundo dado representa os 12 signos do zodíaco e o terceiro representa as 12 casas. Um dado de icosaedro especializado fornece as respostas do Magic 8-Ball , convencionalmente usado para fornecer respostas a perguntas do tipo sim ou não.

Os dados podem ser usados ​​para gerar números aleatórios para uso em senhas e aplicativos de criptografia . A Electronic Frontier Foundation descreve um método pelo qual os dados podem ser usados ​​para gerar frases-senha . Diceware é um método recomendado para gerar frases-senha seguras, mas memoráveis, lançando cinco dados repetidamente e escolhendo a palavra correspondente em uma lista pré-gerada.

Notação

Em muitos contextos de jogos, especialmente jogos de RPG de mesa, são usadas notações abreviadas que representam diferentes jogadas de dados. Um "d" ou "D" é usado para indicar um dado com um número específico de lados; por exemplo, d4denota uma matriz de quatro lados. Se vários dados do mesmo tipo devem ser lançados, isso é indicado por um número inicial especificando o número de dados. Portanto, 6d8significa que o jogador deve lançar seis dados de oito lados e somar os resultados. Os modificadores para um lançamento de dados também podem ser indicados conforme desejado. Por exemplo, 3d6+4instrui o jogador a lançar três dados de seis lados, calcular o total e adicionar quatro a ele.

Veja também

Referências

• Diaconis, Persi ; e Keller, Joseph B .; "Fair Dice" , The American Mathematical Monthly , 96 (4): 337-339, 1989 (Discussão de dados que são justos "por simetria" e "por continuidade".)
• Iverson, GR; Longcour, WH; et al .; Preconceito e corridas no lançamento e gravação de dados: A Few Million Throws , Psychometrika, vol. 36, não. 1 de março de 1971
• Knizia, Reiner , Dice Games Properly Explained , Elliot Right Way Books, 1999, ISBN  0-7160-2112-9

links externos

• Weisstein, Eric W. "Dice" . MathWorld . - análise de probabilidades de dados, também apresentando o trabalho de Uspenski em lançar dados múltiplos

 Este artigo incorpora texto de uma publicação agora em domínio público :  Chisholm, Hugh, ed. (1911). " Dados ". Encyclopædia Britannica . 8 (11ª ed.). Cambridge University Press. p. 176–177.