Difeomorfismo - Diffeomorphism

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
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Grupos discretos Treliças Inteiros ( Z ) Grupo livre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Laço Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Grupos de mentiras
Grupos clássicos
Grupos de Lie simples Clássico A n B n C n D n Excepcional G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Outros grupos de Lie Círculo Lorentz Poincaré Grupo Conformal Difeomorfismo Laço Euclidiana
Álgebras de Lie
Álgebra de Lie semisimples
Teoria da representação
Grupos de mentiras em física
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossário Tabela de grupos de Lie
v t e

Em matemática , um difeomorfismo é um isomorfismo de variedades suaves . É uma função invertível que mapeia uma variedade diferenciável para outra, de forma que tanto a função quanto sua inversa sejam suaves .

A imagem de uma grade retangular em um quadrado sob um difeomorfismo do quadrado sobre si mesmo.

Definição

Dados duas variedades e , um mapa diferenciável é chamado de difeomorfismo se for uma bijeção e seu inverso também for diferenciável. Se essas funções são vezes continuamente diferenciáveis , é chamado de -diffeomorfismo .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle f \ colon M \ rightarrow N}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ dois pontos N \ rightarrow M}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C ^ {r}}$

Duas variedades e são difeomórficas (geralmente denotadas ) se houver um difeomorfismo de a . Eles são - difeomórficos se houver um mapa bijetivo diferenciável continuamente entre eles cujo inverso também seja diferenciável continuamente. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M \ simeq N}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle C ^ {r}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Difeomorfismos de subconjuntos de variedades

Dado um subconjunto X de uma variedade M e um subconjunto Y de uma variedade N , uma função f  : X  → Y é considerada suave se para todo p em X houver uma vizinhança U  ⊆ M de p e uma função suave g  : U  → N de forma que as restrições concordem: (observe que g é uma extensão de f ). A função f é dita difeomorfismo se for bijetiva, suave e seu inverso for suave. ${\ displaystyle g_ {| U \ cap X} = f_ {| U \ cap X}}$

Descrição local

Teorema de Hadamard-Caccioppoli

Se L , V está conectado subconjuntos abertos de R ⁿ tal que V é simplesmente ligado , um diferenciável mapa f  : L  → V é um difeomorfismo se é adequada e, se o diferencial Df _x  : R ⁿ  → R ⁿ é bijective (e, portanto, um isomorfismo linear ) em cada ponto x na L .

Primeira observação

É essencial que V seja simplesmente conectado para que a função f seja globalmente invertível (sob a única condição de que sua derivada seja um mapa bijetivo em cada ponto). Por exemplo, considere a "realização" da função quadrada complexa

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \} \ to \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) ) \} \\ (x, y) \ mapsto (x ^ {2} -y ^ {2}, 2xy). \ end {cases}}}$

Então f é sobrejetiva e satisfaz

${\ displaystyle \ det Df_ {x} = 4 (x ^ {2} + y ^ {2}) \ neq 0.}$

Assim, embora Df _x seja bijetivo em cada ponto, f não é invertível porque deixa de ser injetivo (por exemplo, f (1, 0) = (1, 0) = f (−1, 0)).

Segunda observação

Já que o diferencial em um ponto (para uma função diferenciável)

${\ displaystyle Df_ {x}: T_ {x} U \ para T_ {f (x)} V}$

é um mapa linear , ele tem um inverso bem definido se e somente se Df _x for uma bijeção. A matriz de representação de Df _x é o n  x  n matriz de primeira ordem derivadas parciais cuja entrada no i fileira -ésimo e j -ésimo coluna é . Esta assim chamada matriz Jacobiana é freqüentemente usada para cálculos explícitos. ${\ displaystyle \ parcial f_ {i} / \ parcial x_ {j}}$

Terceira observação

Os difeomorfismos são necessariamente entre variedades da mesma dimensão . Imagine f indo da dimensão n para a dimensão k . Se n  <  k então Df _x nunca poderia ser sobrejetiva, e se n  >  k então Df _x nunca poderia ser injetiva. Em ambos os casos, portanto, Df _x deixa de ser uma bijeção.

Quarta observação

Se Df _x é uma bijeção em x, então f é dito um difeomorfismo local (visto que, por continuidade, Df _y também será bijetivo para todo y suficientemente próximo de x ).

Quinta observação

Dado um mapa uniforme da dimensão n para a dimensão k , se Df (ou, localmente, Df _x ) for sobrejetora, f é considerado uma submersão (ou, localmente, uma "submersão local"); e se Df (ou, localmente, Df _x ) for injetivo, f é considerado uma imersão (ou, localmente, uma "imersão local").

Sexta observação

Uma bijeção diferenciável não é necessariamente um difeomorfismo. f ( x ) =  x ³ , por exemplo, não é um difeomorfismo de R para si mesmo porque sua derivada desaparece em 0 (e, portanto, seu inverso não é diferenciável em 0). Este é um exemplo de homeomorfismo que não é um difeomorfismo.

Sétima observação

Quando f é um mapa entre variedades diferenciáveis , um f difeomórfico é uma condição mais forte do que um f homeomórfico . Para um difeomorfismo, f e seu inverso precisam ser diferenciáveis ; para um homeomorfismo, f e seu inverso precisam apenas ser contínuos . Todo difeomorfismo é um homeomorfismo, mas nem todo homeomorfismo é um difeomorfismo.

f  : M  → N é chamado de difeomorfismo se, em gráficos de coordenadas , satisfaz a definição acima. Mais precisamente: Escolha qualquer capa de M por compatível coordenar gráficos e fazer o mesmo para N . Sejam φ e ψ gráficos em, respectivamente, M e N , com U e V como, respectivamente, as imagens de φ e ψ. A aplicação ψ f φ ⁻¹  : U  → V é então um difeomorfismo como na definição acima, sempre que f (φ ⁻¹ (U)) ⊆ ψ ⁻¹ (V).

Exemplos

Uma vez que qualquer variedade pode ser parametrizada localmente, podemos considerar alguns mapas explícitos de R ² em R ² .

• Deixar

${\ displaystyle f (x, y) = \ left (x ^ {2} + y ^ {3}, x ^ {2} -y ^ {3} \ right).}$

Podemos calcular a matriz Jacobiana:

${\ displaystyle J_ {f} = {\ begin {pmatrix} 2x e 3y ^ {2} \\ 2x & -3y ^ {2} \ end {pmatrix}}.}$

A matriz Jacobiana tem determinante zero se e somente se xy = 0. Vemos que f só poderia estar a um difeomorfismo de distância do eixo xe do eixo y . Porém, f não é bijetivo, pois f ( x ,  y ) = f (- x ,  y ), e portanto não pode ser um difeomorfismo.

• Deixar

${\ displaystyle g (x, y) = \ left (a_ {0} + a_ {1,0} x + a_ {0,1} y + \ cdots, \ b_ {0} + b_ {1,0} x + b_ {0,1} y + \ cdots \ right)}$

onde o e são números reais arbitrários , e os termos omitidos são de grau pelo menos dois em x e y . Podemos calcular a matriz Jacobiana em 0 : ${\ displaystyle a_ {i, j}}$${\ displaystyle b_ {i, j}}$

${\ displaystyle J_ {g} (0,0) = {\ begin {pmatrix} a_ {1,0} & a_ {0,1} \\ b_ {1,0} & b_ {0,1} \ end {pmatrix} }.}$

Vemos que g é um difeomorfismo local em 0 se, e somente se,

${\ displaystyle a_ {1,0} b_ {0,1} -a_ {0,1} b_ {1,0} \ neq 0,}$

isto é, os termos lineares nas componentes de g são linearmente independentes como polinômios .

• Deixar

${\ displaystyle h (x, y) = \ left (\ sin (x ^ {2} + y ^ {2}), \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) \ right).}$

Podemos calcular a matriz Jacobiana:

${\ displaystyle J_ {h} = {\ begin {pmatrix} 2x \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) & 2y \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) \\ - 2x \ sin (x ^ {2} + y ^ {2}) & - 2y \ sin (x ^ {2} + y ^ {2}) \ end {pmatriz}}.}$

A matriz Jacobiana tem determinante zero em todos os lugares! Na verdade, vemos que a imagem de h é o círculo unitário .

Deformações de superfície

Em mecânica , uma transformação induzida por estresse é chamada de deformação e pode ser descrita por um difeomorfismo. Um difeomorfismo f  : U → V entre duas superfícies U e V tem uma matriz Jacobiana Df que é uma matriz invertível . De fato, é necessário que para p em U , haja uma vizinhança de p na qual o Df Jacobiano permaneça não singular . Suponha que em um gráfico da superfície,${\ displaystyle f (x, y) = (u, v).}$

O diferencial total de você é

${\ displaystyle du = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} dx + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} dy}$, e da mesma forma para v .

Então a imagem é uma transformação linear , fixando a origem, e exprimível como a ação de um número complexo de um tipo particular. Quando ( dx ,  dy ) também é interpretado como aquele tipo de número complexo, a ação é de multiplicação complexa no plano de número complexo apropriado. Como tal, existe um tipo de ângulo ( euclidiano , hiperbólico ou inclinado ) que é preservado nessa multiplicação. Devido ao fato de Df ser invertível, o tipo de número complexo é uniforme na superfície. Consequentemente, uma deformação de superfície ou difeomorfismo de superfícies tem a propriedade conforme de preservar (o tipo apropriado de) ângulos. ${\ displaystyle (du, dv) = (dx, dy) Df}$

Grupo de difeomorfismo

Seja M uma variedade diferenciável de segunda contagem e Hausdorff . O grupo difeomorfismo de M é o grupo de todos os difeomorfismos C ^r de M a si mesmo, denotado por Diff ^r ( M ) ou, quando r é entendido, Diff ( M ). Este é um grupo "grande", no sentido de que - contanto que M não seja de dimensão zero - não é localmente compacto .

Topologia

O grupo de difeomorfismo tem duas topologias naturais : fraca e forte ( Hirsch 1997 ). Quando o manifold é compacto , essas duas topologias concordam. A topologia fraca é sempre metrizável . Quando a variedade não é compacta, a topologia forte captura o comportamento das funções "no infinito" e não é metrizável. No entanto, ainda é Baire .

Fixando uma métrica Riemanniana em M , a topologia fraca é a topologia induzida pela família de métricas

${\ displaystyle d_ {K} (f, g) = \ sup \ nolimits _ {x \ in K} d (f (x), g (x)) + \ sum \ nolimits _ {1 \ leq p \ leq r } \ sup \ nolimits _ {x \ in K} \ left \ | D ^ {p} f (x) -D ^ {p} g (x) \ right \ |}$

como K varia ao longo de subconjuntos compactos de M . Com efeito, uma vez que M é σ-compacto, existe uma sequência de subconjuntos compactos K _n cuja união é H . Então:

${\ displaystyle d (f, g) = \ sum \ nolimits _ {n} 2 ^ {- n} {\ frac {d_ {K_ {n}} (f, g)} {1 + d_ {K_ {n} } (f, g)}}.}$

O grupo de difeomorfismo equipado com sua topologia fraca é localmente homeomórfico ao espaço dos campos vetoriais C ^r ( Leslie 1967 ). Sobre um subconjunto compacto de M , isso segue fixando uma métrica Riemanniana em M e usando o mapa exponencial para essa métrica. Se r for finito e a variedade compacta, o espaço dos campos vetoriais é um espaço de Banach . Além disso, os mapas de transição de um gráfico deste atlas para outro são suaves, tornando o grupo de difeomorfismo uma variedade de Banach com translações suaves à direita; as traduções e inversões à esquerda são apenas contínuas. Se r  = ∞, o espaço dos campos vetoriais é um espaço de Fréchet . Além disso, os mapas de transição são suaves, tornando o grupo de difeomorfismo em uma variedade de Fréchet e até mesmo em um grupo regular de Lie de Fréchet . Se a variedade é σ-compacta e não compacta, o grupo de difeomorfismo completo não é localmente contraível para nenhuma das duas topologias. É preciso restringir o grupo controlando o desvio da identidade próximo ao infinito para obter um grupo de difeomorfismo que é um múltiplo; veja ( Michor & Mumford 2013 ).

Álgebra de mentira

A álgebra de Lie do grupo de difeomorfismo de M consiste em todos os campos de vetor em M equipados com o colchete de Lie de campos de vetor . Um tanto formalmente, isso é visto fazendo uma pequena mudança na coordenada em cada ponto no espaço: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ mapsto x ^ {\ mu} + \ varepsilon h ^ {\ mu} (x)}$

então os geradores infinitesimais são os campos vetoriais

${\ displaystyle L_ {h} = h ^ {\ mu} (x) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}}.}$

Exemplos

• Quando M  = G é um grupo de Lie , há uma inclusão natural de G em seu próprio grupo de difeomorfismo via tradução à esquerda. Deixe Diff ( G ) denotar o grupo de difeomorfismo de G , então há uma divisão Diff ( G ) ≃ G  × Diff ( G ,  e ), onde Diff ( G ,  e ) é o subgrupo de Diff ( G ) que fixa a identidade elemento do grupo.
• O grupo de difeomorfismo do espaço euclidiano R ⁿ consiste em dois componentes, consistindo nos difeomorfismos de preservação e reversão de orientação. Na verdade, o grupo linear geral é uma deformação retraída do subgrupo Diff ( R ⁿ , 0) de difeomorfismos fixando a origem sob o mapa f ( x ) ↦ f ( tx )  / t , t  ∈ (0,1]. em particular, o grupo linear geral também é uma deformação retraída do grupo de difeomorfismo completo. 
• Para um conjunto finito de pontos, o grupo de difeomorfismo é simplesmente o grupo simétrico . Da mesma forma, se M for qualquer variedade, há uma extensão de grupo 0 → Dif ₀ ( M ) → Dif ( M ) → Σ (π ₀ ( M )). Aqui Diff ₀ ( M ) é o subgrupo de Diff ( M ) que preserva todos os componentes de M , e Σ (π ₀ ( M )) é o grupo de permutação do conjunto π ₀ ( M ) (os componentes de M ). Além disso, a imagem do mapa Diff ( M ) → Σ (π ₀ ( M )) são as bijeções de π ₀ ( M ) que preservam as classes de difeomorfismo.

Transitividade

Para um colector ligado M , o grupo difeomorfismo actua transitively em H . Mais geralmente, o grupo difeomorfismo actua transitively no espaço de configuração C _k H . Se M é pelo menos bidimensional, o grupo do difeomorfismo atua transitivamente no espaço de configuração F _k M e a ação em M é multiplamente transitiva ( Banyaga 1997 , p. 29).

Extensões de difeomorfismos

Em 1926, Tibor Radó perguntou se a extensão harmônica de qualquer homeomorfismo ou difeomorfismo do círculo unitário para o disco unitário produz um difeomorfismo no disco aberto. Uma prova elegante foi fornecida pouco depois por Hellmuth Kneser . Em 1945, Gustave Choquet , aparentemente sem saber desse resultado, apresentou uma prova completamente diferente.

O grupo de difeomorfismo (que preserva a orientação) do círculo é conectado por caminhos. Isso pode ser visto observando que qualquer difeomorfismo pode ser elevado a um difeomorfismo f dos reais satisfazendo [ f ( x  + 1) = f ( x ) + 1]; este espaço é convexo e, portanto, conectado ao caminho. Um caminho suave e eventualmente constante para a identidade oferece uma segunda maneira mais elementar de estender um difeomorfismo do círculo ao disco unitário aberto (um caso especial do truque de Alexander ). Além disso, o grupo do difeomorfismo do círculo possui o tipo homotópico do grupo ortogonal O (2).

O problema de extensão correspondente para difeomorfismos de esferas de dimensões superiores S ^{n −1} foi muito estudado nas décadas de 1950 e 1960, com contribuições notáveis ​​de René Thom , John Milnor e Stephen Smale . Uma obstrução a tais extensões é dada pelo grupo abeliano finito Γ _n , o " grupo de esferas torcidas ", definido como o quociente do grupo de componentes abelianos do grupo do difeomorfismo pelo subgrupo de classes estendendo-se aos difeomorfismos da bola B ⁿ .

Conectividade

Para variedades, o grupo de difeomorfismo geralmente não está conectado. Seu grupo de componentes é chamado de grupo de classes de mapeamento . Na dimensão 2 (ou seja, superfícies ), o grupo de classes de mapeamento é um grupo finitamente apresentado gerado por torções Dehn ( Dehn , Lickorish , Hatcher ). Max Dehn e Jakob Nielsen mostraram que ele pode ser identificado com o grupo de automorfismo externo do grupo fundamental da superfície.

William Thurston refinou essa análise classificando os elementos do grupo de classes de mapeamento em três tipos: aqueles equivalentes a um difeomorfismo periódico ; aqueles equivalentes a um difeomorfismo deixando uma invariante curva fechada simples; e aqueles equivalentes aos difeomorfismos pseudo-Anosov . No caso do toro S ¹  ×  S ¹  = R ² / Z ² , o grupo de classes de mapeamento é simplesmente o grupo modular SL (2,  Z ) e a classificação torna-se clássica em termos de matrizes elípticas , parabólicas e hiperbólicas . Thurston realizou sua classificação observando que o grupo da classe de mapeamento agiu naturalmente na compactação do espaço de Teichmüller ; como este espaço ampliado era homeomórfico a uma bola fechada, o teorema do ponto fixo de Brouwer tornou - se aplicável. Smale conjecturou que, se M é uma variedade fechada suave orientada , o componente de identidade do grupo de difeomorfismos que preservam a orientação é simples . Isso foi provado pela primeira vez para um produto de círculos por Michel Herman ; foi provado de forma geral por Thurston.

Tipos de homotopia

• O grupo difeomorfismo de S ² tem o tipo homotópico do subgrupo O (3). Isso foi provado por Steve Smale.
• O grupo difeomorfismo do toro tem o tipo homotópico de seus automorfismos lineares : S ¹  ×  S ¹  × GL (2, Z ).
• Os grupos de difeomorfismo de superfícies orientáveis ​​do gênero g  > 1 têm o tipo de homotopia de seus grupos de classes de mapeamento (ou seja, os componentes são contraíveis).
• O tipo de homotopia dos grupos de difeomorfismo de 3-variedades é bastante bem compreendido através do trabalho de Ivanov, Hatcher, Gabai e Rubinstein, embora haja alguns casos abertos pendentes (principalmente 3-variedades com grupos fundamentais finitos ).
• O tipo de homotopia de grupos de difeomorfismo de n- variedades para n  > 3 são mal compreendidos. Por exemplo, é um problema aberto se Diff ( S ⁴ ) tem ou não mais de dois componentes. Via Milnor, Kahn e Antonelli, entretanto, sabe-se que, desde que n  > 6, Diff ( S ⁿ ) não tenha o tipo de homotopia de um complexo CW finito .

Homeomorfismo e difeomorfismo

Ao contrário dos homeomorfismos não difeomórficos, é relativamente difícil encontrar um par de variedades homeomórficas que não sejam difeomórficas. Nas dimensões 1, 2 e 3, qualquer par de variedades lisas homeomórficas são difeomórficas. Na dimensão 4 ou superior, foram encontrados exemplos de pares homeomórficos, mas não difeomórficos. O primeiro exemplo foi construído por John Milnor na dimensão 7. Ele construiu uma variedade 7-dimensional lisa (chamada agora de esfera de Milnor ) que é homeomórfica à 7-esfera padrão, mas não difeomórfica a ela. Existem, de fato, 28 classes de difeomorfismo orientado de variedades homeomórficas à 7-esfera (cada uma delas é o espaço total de um feixe de fibra sobre a 4-esfera com a 3-esfera como a fibra).

Fenômenos mais incomuns ocorrem para 4-manifolds . No início dos anos 1980, uma combinação de resultados devido a Simon Donaldson e Michael Freedman levou à descoberta de R ⁴ s exóticos : há incontáveis ​​muitos subconjuntos abertos não difeomórficos em pares de R ^4, cada um dos quais é homeomórfico a R ⁴ , e também existem incontáveis ​​muitas variedades diferenciáveis ​​não difeomórficas aos pares homeomórficas a R ⁴ que não se incorporam suavemente em R ⁴ .

Veja também

• Difeomorfismo de Anosov , como o mapa do gato de Arnold
• Anomalia Diffeo, também conhecida como anomalia gravitacional , uma anomalia de tipo na mecânica quântica
• Difeologia , parametrizações suaves em um conjunto, o que faz um espaço difeológico
• Difeomorfometria , estudo métrico de forma e forma em anatomia computacional
• É morfismo de conto
• Grande difeomorfismo
• Difeomorfismo local
• Superdiffeomorfismo

Notas

Referências

• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (2013). Teorema da função implícita: história, teoria e aplicações . Clássicos modernos da Birkhäuser. Boston. ISBN 978-1-4614-5980-4.
• Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (15/08/1987). "Formulação integral de caminho de strings fechadas" (PDF) . Physical Review D . 36 (4): 1148–1168. Bibcode : 1987PhRvD..36.1148C . doi : 10.1103 / physrevd.36.1148 . ISSN  0556-2821 . PMID  9958280 .
• Banyaga, Augustin (1997), The structure of classic diffeomorphism groups , Mathematics and its Applications, 400 , Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
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• Hirsch, Morris (1997), Topologia Diferencial , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90148-0
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