Função diferenciável - Differentiable function

Uma função diferenciável

Em matemática , uma função diferenciável de uma variável real é uma função cuja derivada existe em cada ponto de seu domínio . Em outras palavras, o gráfico de uma função diferenciável tem uma reta tangente não vertical em cada ponto interno de seu domínio. Uma função diferenciável é suave (a função é localmente bem aproximada como uma função linear em cada ponto interno) e não contém nenhuma quebra, ângulo ou cúspide .

Se x 0 é um ponto interno no domínio de uma função f , então f é dito diferenciável em x 0 se a derivada existe. Em outras palavras, o gráfico de f possui uma reta tangente não vertical no ponto ( x 0 , f ( x 0 )) .

Diferenciabilidade de funções reais de uma variável

Uma função , definida em um conjunto aberto , é diferenciável em se a derivada

existe. Isso implica que a função é contínua em a .

Esta função f é diferenciável em U se é diferenciável em cada ponto de U . Neste caso, a derivada de f é, portanto, uma função de U em

Uma função diferenciável é necessariamente contínua (em todos os pontos onde é diferenciável). É continuamente diferenciável se sua derivada também for uma função contínua.

Diferenciabilidade e continuidade

A função de valor absoluto é contínua (ou seja, não tem lacunas). É diferenciável em qualquer lugar, exceto no ponto x = 0, onde faz uma curva fechada ao cruzar o eixo y .
Uma cúspide no gráfico de uma função contínua. Em zero, a função é contínua, mas não diferenciável.

Se f é diferenciável em um ponto x 0 , então f também deve ser contínuo em x 0 . Em particular, qualquer função diferenciável deve ser contínua em todos os pontos de seu domínio. O inverso não é válido : uma função contínua não precisa ser diferenciável. Por exemplo, uma função com uma dobra, cúspide ou tangente vertical pode ser contínua, mas falha em ser diferenciável no local da anomalia.

A maioria das funções que ocorrem na prática têm derivadas em todos os pontos ou em quase todos os pontos. No entanto, um resultado de Stefan Banach afirma que o conjunto de funções que possuem uma derivada em algum ponto é um conjunto insuficiente no espaço de todas as funções contínuas. Informalmente, isso significa que funções diferenciáveis ​​são muito atípicas entre funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar, é a função de Weierstrass .

Classes de diferenciabilidade

Funções diferenciáveis ​​podem ser aproximadas localmente por funções lineares.
A função com para e é diferenciável. No entanto, essa função não é continuamente diferenciável.

Diz-se que uma função é continuamente diferenciável se a derivadaexiste e é ela própria uma função contínua. Embora a derivada de uma função diferenciável nunca tenha umadescontinuidade de salto, é possível que a derivada tenha uma descontinuidade essencial. Por exemplo, a função

é diferenciável em 0, uma vez que
existe. No entanto, para regras de diferenciação implicam
que não tem limite como No entanto,
o teorema de Darboux implica que a derivada de qualquer função satisfaz a conclusão do teorema do valor intermediário .

Da mesma forma como as funções contínuas são ditas como sendo da classe, as funções continuamente diferenciáveis ​​às vezes são ditas como sendo da classe A, a função é da classe se a primeira e a segunda derivadas da função existem e são contínuas. De maneira mais geral, uma função é considerada de classe se todas as primeiras derivadas existem e são contínuas. Se existem derivados para todos os inteiros positivos, a função é

suave ou equivalente, de classe

Diferenciabilidade em dimensões superiores

Uma função de várias variáveis ​​reais f : R mR n é dita ser diferenciável em um ponto x 0 se existe um mapa linear J : R mR n tal que

Se uma função é diferenciável em x 0 , então todas as derivadas parciais existem em x 0 , e o mapa linear J é dado pela matriz Jacobiana . Uma formulação semelhante da derivada de dimensão superior é fornecida pelo lema do incremento fundamental encontrado no cálculo de variável única.

Se todas as derivadas parciais de uma função existem na vizinhança de um ponto x 0 e são contínuas no ponto x 0 , então a função é diferenciável nesse ponto x 0 .

No entanto, a existência das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direcionais ) não garante em geral que uma função seja diferenciável em um ponto. Por exemplo, a função f : R 2R definido por

não é diferenciável em (0, 0) , mas todas as derivadas parciais e direcionais existem neste ponto. Para um exemplo contínuo, a função

não é diferenciável em (0, 0) , mas novamente todas as derivadas parciais e direcionais existem.

Diferenciabilidade em análises complexas

Na análise complexa , a diferenciabilidade complexa é definida usando a mesma definição das funções reais de variável única. Isso é permitido pela possibilidade de dividir números complexos. Então, diz-se que uma função é diferenciável quando

Although this definition looks similar to the differentiability of single-variable real functions, it is however a more restrictive condition. A function , that is complex-differentiable at a point is automatically differentiable at that point, when viewed as a function . This is because the complex-differentiability implies that

No entanto, uma função pode ser diferenciável como uma função multivariável, embora não seja complexa diferenciável. Por exemplo, é diferenciável em todos os pontos, visto como a função real de 2 variáveis , mas não é complexo diferenciável em nenhum ponto.

Qualquer função que seja complexamente diferenciada em uma vizinhança de um ponto é chamada de holomórfica naquele ponto. Essa função é necessariamente infinitamente diferenciável e, de fato, analítica .

Funções diferenciáveis ​​em variedades

Se M é uma variedade diferenciável , uma função real ou de valor complexo f em M é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a alguma (ou qualquer) carta de coordenadas definida em torno de p . De forma mais geral, se M e N são variedades diferenciáveis, uma função fM  →  N é dita como diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) gráfico de coordenadas definido em torno de p e f ( p ).

Veja também

Referências