Geometria diferencial - Differential geometry

Um triângulo imerso em um plano em forma de sela (um parabolóide hiperbólico ), bem como duas linhas ultraparalelas divergentes .

A geometria diferencial é uma disciplina matemática que estuda a geometria de formas suaves e espaços suaves, também conhecidos como variedades suaves , usando as técnicas de cálculo diferencial , cálculo integral , álgebra linear e álgebra multilinear . O campo tem suas origens no estudo da geometria esférica desde a Antiguidade , no que se refere à astronomia e a geodésia da Terra , e mais tarde no estudo da geometria hiperbólica por Lobachevsky . Os exemplos mais simples de espaços lisos são as curvas e superfícies planas e espaciais no espaço euclidiano tridimensional , e o estudo dessas formas formou a base para o desenvolvimento da geometria diferencial moderna durante os séculos XVIII e XIX.

Desde o final do século 19, a geometria diferencial cresceu em um campo mais geralmente preocupado com estruturas geométricas em variedades diferenciáveis . Uma estrutura geométrica é aquela que define alguma noção de tamanho, distância, forma, volume ou outra estrutura rígida. Por exemplo, na geometria Riemanniana, distâncias e ângulos são especificados, na geometria simplética os volumes podem ser calculados, na geometria conforme apenas os ângulos são especificados e na teoria de calibre certos campos são dados no espaço. A geometria diferencial está intimamente relacionada a, e às vezes é considerada como incluindo, a topologia diferencial , que se preocupa com propriedades de variedades diferenciáveis que não dependem de qualquer estrutura geométrica adicional (consulte esse artigo para mais discussão sobre a distinção entre os dois assuntos). A geometria diferencial também está relacionada aos aspectos geométricos da teoria das equações diferenciais , também conhecida como análise geométrica .

A geometria diferencial encontra aplicações em matemática e ciências naturais . Mais proeminentemente, a linguagem da geometria diferencial foi usada por Albert Einstein em sua teoria da relatividade geral e, posteriormente, por físicos no desenvolvimento da teoria quântica de campos e no modelo padrão da física de partículas . Fora da física, a geometria diferencial encontra aplicações em química , economia , engenharia , teoria de controle , computação gráfica e visão computacional e, recentemente, em aprendizado de máquina .

História e desenvolvimento

A história e o desenvolvimento da geometria diferencial como um assunto começam pelo menos já na Antiguidade clássica e estão intimamente ligados ao desenvolvimento da geometria de forma mais geral, da noção de espaço e forma e da topologia . Para obter mais detalhes sobre a história do conceito de manifold, consulte esse artigo e a história de manifolds e variedades . Nesta seção, enfocamos principalmente a história da aplicação de métodos infinitesimais à geometria e, mais tarde, às idéias de espaços tangentes e, eventualmente, ao desenvolvimento do formalismo moderno do sujeito em termos de tensores e campos tensores .

Antiguidade clássica até o Renascimento (300 AC - 1600 DC)

O estudo da geometria diferencial, ou pelo menos o estudo da geometria das formas suaves, pode remontar pelo menos à antiguidade clássica . Em particular, muito se sabia sobre a geometria da Terra , uma geometria esférica , na época dos antigos matemáticos gregos . Famosamente, Eratóstenes calculou a circunferência da Terra por volta de 200 aC, e por volta de 150 dC Ptolomeu em sua Geografia introduziu a projeção estereográfica com o propósito de mapear a forma da Terra. Implicitamente ao longo deste tempo, os princípios que formam a base da geometria diferencial e do cálculo foram usados na geodésia , embora de uma forma muito simplificada. Ou seja, já em Euclides 's Elements era entendido que uma linha reta poderia ser definida por sua propriedade de fornecer a distância mais curta entre dois pontos, e aplicando este mesmo princípio à superfície da Terra leva à conclusão de que grandes círculos , que são apenas localmente semelhantes a linhas retas em um plano plano, fornecem o caminho mais curto entre dois pontos na superfície da Terra. Na verdade, as medidas de distância ao longo de tais caminhos geodésicos por Eratóstenes e outros podem ser consideradas uma medida rudimentar do comprimento de arco das curvas, um conceito que não viu uma definição rigorosa em termos de cálculo até 1600.

Por volta dessa época, havia apenas aplicações abertas mínimas da teoria dos infinitesimais ao estudo da geometria, um precursor do estudo do assunto baseado em cálculo moderno. Em Euclides 's Elements, a noção de tangência de uma linha a um círculo é discutida, e Arquimedes aplicou o método de exaustão para calcular as áreas de formas suaves, como o círculo , e os volumes de sólidos tridimensionais suaves, como a esfera , cones e cilindros.

Houve pouco desenvolvimento na teoria da geometria diferencial entre a Antiguidade e o início do Renascimento . Antes do desenvolvimento do cálculo por Newton e Leibniz , o desenvolvimento mais significativo na compreensão da geometria diferencial veio do desenvolvimento de Gerardus Mercator da projeção de Mercator como uma forma de mapear a Terra. Mercator tinha uma compreensão das vantagens e armadilhas de seu projeto de mapa e, em particular, estava ciente da natureza conformada de sua projeção, bem como da diferença entre praga , as linhas de distância mais curta na Terra, e a directio , a reta caminhos de linha em seu mapa. Mercator notou que as pragas eram curvatur oblíquas nesta projeção. Este fato reflete a falta de um mapa da superfície da Terra com preservação métrica em um plano plano, uma consequência do posterior Teorema Egregium de Gauss .

Após o cálculo (1600 - 1800)

Um círculo osculante

O primeiro tratamento sistemático ou rigoroso da geometria usando a teoria dos infinitesimais e noções de cálculo começou por volta de 1600, quando o cálculo foi desenvolvido por Gottfried Leibniz e Isaac Newton . Nesta época, o trabalho recente de René Descartes introduzindo coordenadas analíticas à geometria permitia que formas geométricas de complexidade crescente fossem descritas com rigor. Em particular nessa época Pierre de Fermat , Newton e Leibniz iniciaram o estudo de curvas planas e a investigação de conceitos como pontos de inflexão e círculos de osculação , que auxiliam na medição da curvatura . Na verdade, já em seu primeiro artigo sobre os fundamentos do cálculo, Leibniz observa que a condição infinitesimal indica a existência de um ponto de inflexão. Pouco depois dessa época, os irmãos Bernoulli , Jacob e Johann fizeram importantes contribuições iniciais para o uso de infinitesimais para estudar geometria. Em palestras de Johann Bernoulli na época, posteriormente agrupadas por L'Hopital no primeiro livro-texto sobre cálculo diferencial , as tangentes às curvas planas de vários tipos são calculadas usando a condição , e pontos de inflexão semelhantes são calculados. Ao mesmo tempo, a ortogonalidade entre os círculos osculantes de uma curva plana e as direções tangentes é realizada, e a primeira fórmula analítica para o raio de um círculo osculante, essencialmente a primeira fórmula analítica para a noção de curvatura , é escrita. ${\ displaystyle d ^ {2} y = 0}$ ${\ displaystyle dy = 0}$

Na esteira do desenvolvimento da geometria analítica e das curvas planas, Alexis Clairaut começou o estudo das curvas espaciais apenas aos 16 anos. Em seu livro, Clairaut introduziu a noção de direções tangentes e subtangentes às curvas espaciais em relação às direções que se encontram ao longo de uma superfície na qual se encontra a curva do espaço. Assim, Clairaut demonstrou uma compreensão implícita do espaço tangente de uma superfície e estudou essa ideia usando cálculo pela primeira vez. É importante ressaltar que Clairaut introduziu a terminologia de curvatura e curvatura dupla , essencialmente a noção de curvaturas principais posteriormente estudada por Gauss e outros.

Por volta dessa mesma época, Leonhard Euler , originalmente um aluno de Johann Bernoulli, forneceu muitas contribuições significativas não apenas para o desenvolvimento da geometria, mas para a matemática de forma mais ampla. Em relação à geometria diferencial, Euler estudou a noção de uma geodésica em uma superfície derivando a primeira equação geodésica analítica e, posteriormente, introduziu o primeiro conjunto de sistemas de coordenadas intrínsecas em uma superfície, dando início à teoria da geometria intrínseca na qual as idéias geométricas modernas se baseiam . Por volta dessa época, o estudo de mecânica de Euler na Mecânica levou à compreensão de que uma massa viajando ao longo de uma superfície não sob o efeito de qualquer força atravessaria um caminho geodésico, um precursor das importantes ideias fundamentais da relatividade geral de Einstein , e também para as equações de Euler-Lagrange e a primeira teoria do cálculo de variações , que sustenta na geometria diferencial moderna muitas técnicas em geometria simplética e análise geométrica . Essa teoria foi usada por Lagrange , um co-desenvolvedor do cálculo de variações, para derivar a primeira equação diferencial que descreve uma superfície mínima em termos da equação de Euler-Lagrange. Em 1760, Euler provou um teorema que expressa a curvatura de uma curva do espaço em uma superfície em termos das curvaturas principais, conhecido como teorema de Euler .

Mais tarde, em 1700, a nova escola francesa dirigida por Gaspard Monge começou a fazer contribuições para a geometria diferencial. Monge fez contribuições importantes para a teoria das curvas planas, superfícies e superfícies estudadas de revolução e envelopes de curvas planas e curvas de espaço. Vários estudantes de Monge fizeram contribuições para essa mesma teoria e, por exemplo, Charles Dupin forneceu uma nova interpretação do teorema de Euler em termos das curvaturas principais, que é a forma moderna da equação.

Geometria intrínseca e geometria não euclidiana (1800 - 1900)

O campo da geometria diferencial tornou-se uma área de estudo considerada em seu próprio direito, distinta da ideia mais ampla de geometria analítica, em 1800, principalmente através do trabalho fundamental de Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann , e também nas contribuições importantes de Nikolai Lobachevsky sobre geometria hiperbólica e geometria não euclidiana e ao longo do mesmo período o desenvolvimento da geometria projetiva .

Apelidado de o trabalho mais importante na história da geometria diferencial, em 1827 Gauss produziu Disquisitiones generales circa superficies curvas detalhando a teoria geral das superfícies curvas. Neste trabalho e em seus artigos subsequentes e notas não publicadas sobre a teoria das superfícies, Gauss foi apelidado de inventor da geometria não euclidiana e inventor da geometria diferencial intrínseca. Em seu artigo fundamental Gauss apresentou o mapa de Gauss , curvatura de Gauss , primeira e segunda formas fundamentais , provou o Teorema Egregium mostrando a natureza intrínseca da curvatura de Gauss e estudou geodésica, computando a área de um triângulo geodésico em várias geometrias não euclidianas em superfícies.

Nessa época, Gauss já era de opinião que o paradigma padrão da geometria euclidiana deveria ser descartado, e estava de posse de manuscritos privados sobre geometria não euclidiana que informaram seu estudo dos triângulos geodésicos. Por volta dessa mesma época János Bolyai e Lobachevsky descobriram independentemente a geometria hiperbólica e, assim, demonstraram a existência de geometrias consistentes fora do paradigma de Euclides. Modelos concretos de geometria hiperbólica foram produzidos por Eugenio Beltrami mais tarde na década de 1860, e Felix Klein cunhou o termo geometria não euclidiana em 1871 e, por meio do programa Erlangen, colocou as geometrias euclidiana e não euclidiana no mesmo pé. Implicitamente, a geometria esférica da Terra estudada desde a antiguidade era uma geometria não euclidiana, uma geometria elíptica .

O desenvolvimento da geometria diferencial intrínseca na linguagem de Gauss foi estimulado por seu aluno, Bernhard Riemann em seu Habilitationsschrift , Sobre as hipóteses que estão na base da geometria . Neste trabalho Riemann introduziu a noção de uma métrica Riemanniana e do tensor de curvatura Riemanniana pela primeira vez, e iniciou o estudo sistemático da geometria diferencial em dimensões superiores. Esse ponto de vista intrínseco em termos da métrica Riemanniana, denotada por Riemann, foi o desenvolvimento de uma ideia de Gauss sobre o elemento linear de uma superfície. Foi nessa época que Riemann começou a introduzir o uso sistemático da álgebra linear e da álgebra multilinear no assunto, fazendo grande uso da teoria das formas quadráticas em sua investigação de métricas e curvatura. Nesta época Riemann ainda não desenvolveu a noção moderna de um múltiplo, já que mesmo a noção de um espaço topológico não tinha sido encontrada, mas ele propôs que poderia ser possível investigar ou medir as propriedades da métrica do espaço - tempo através do análise de massas no espaço-tempo, vinculando-se à observação anterior de Euler de que as massas sob o efeito de nenhuma força viajariam ao longo da geodésica em superfícies e prevendo a observação fundamental de Einstein do princípio de equivalência 60 anos antes de aparecer na literatura científica. ${\ displaystyle ds ^ {2}}$ ${\ displaystyle ds}$

Na esteira da nova descrição de Riemann, o foco das técnicas usadas para estudar geometria diferencial mudou dos métodos ad hoc e extrínsecos de estudo de curvas e superfícies para uma abordagem mais sistemática em termos de cálculo tensorial e do programa Erlangen de Klein, e o progresso aumentou no campo. A noção de grupos de transformações foi desenvolvida por Sophus Lie e Jean Gaston Darboux , levando a resultados importantes na teoria dos grupos de Lie e na geometria simplética . A noção de cálculo diferencial em espaços curvos foi estudada por Elwin Christoffel , que introduziu os símbolos de Christoffel que descrevem a derivada covariante em 1868, e por outros incluindo Eugenio Beltrami que estudou muitas questões analíticas sobre variedades. Em 1899, Luigi Bianchi produziu suas palestras sobre geometria diferencial que estudou geometria diferencial da perspectiva de Riemann, e um ano depois Tullio Levi-Civita e Gregorio Ricci-Curbastro produziram seu livro, desenvolvendo sistematicamente a teoria do cálculo diferencial absoluto e cálculo tensorial . Foi nessa linguagem que a geometria diferencial foi usada por Einstein no desenvolvimento da relatividade geral e da geometria pseudo-Riemanniana .

Geometria diferencial moderna (1900 - 2000)

O assunto da geometria diferencial moderna surgiu no início de 1900 em resposta às contribuições fundamentais de muitos matemáticos, incluindo o trabalho de Henri Poincaré sobre os fundamentos da topologia . No início dos anos 1900, houve um grande movimento dentro da matemática para formalizar os aspectos fundamentais do assunto para evitar crises de rigor e precisão, conhecido como programa de Hilbert . Como parte desse movimento mais amplo, a noção de um espaço topológico foi destilada por Felix Hausdorff em 1914, e em 1942 havia muitas noções diferentes de variedade de natureza combinatória e geométrica diferencial.

O interesse pelo assunto também foi enfocado pelo surgimento da teoria da relatividade geral de Einstein e pela importância das equações de campo de Einstein. A teoria de Einstein popularizou o cálculo tensorial de Ricci e Levi-Civita e introduziu a notação para uma métrica Riemanniana e para os símbolos de Christoffel, ambos provenientes de G em Gravitação . Élie Cartan ajudou a reformular os fundamentos da geometria diferencial de variedades lisas em termos de cálculo exterior e a teoria dos quadros móveis , levando no mundo da física à teoria de Einstein-Cartan . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Seguindo este desenvolvimento inicial, muitos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento da teoria moderna, incluindo Jean-Louis Koszul que introduziu conexões em feixes de vetores , Shiing-Shen Chern que introduziu classes características para o assunto e começou o estudo de variedades complexas , William Hodge e Georges de Rham que expandiu a compreensão das formas diferenciais , Charles Ehresmann que introduziu a teoria dos feixes de fibras e conexões de Ehresmann , e outros. De particular importância foi Hermann Weyl, que fez contribuições importantes para os fundamentos da relatividade geral, introduziu o tensor de Weyl fornecendo uma visão sobre a geometria conformada e primeiro definiu a noção de um calibre que leva ao desenvolvimento da teoria de calibre em física e matemática .

Em meados e no final do século 20, a geometria diferencial como um assunto expandiu em escopo e desenvolveu ligações com outras áreas da matemática e da física. O desenvolvimento da teoria de calibre e da teoria de Yang-Mills na física trouxe feixes e conexões em foco, levando a desenvolvimentos na teoria de calibre . Muitos resultados analíticos foram investigados, incluindo a prova do teorema do índice Atiyah – Singer . O desenvolvimento da geometria complexa foi estimulado por resultados paralelos em geometria algébrica , e os resultados na geometria e análise global de variedades complexas foram comprovados por Shing-Tung Yau e outros. Na segunda metade do século 20, novas técnicas analíticas foram desenvolvidas em relação aos fluxos de curvatura, como o fluxo de Ricci , que culminou na prova de Grigori Perelman da conjectura de Poincaré . Durante esse mesmo período, principalmente devido à influência de Michael Atiyah , novos vínculos entre a física teórica e a geometria diferencial foram formados. Técnicas do estudo das equações de Yang-Mills e teoria de calibre foram usadas por matemáticos para desenvolver novos invariantes de variedades suaves. Físicos como Edward Witten , o único físico a receber a medalha Fields , causaram novos impactos na matemática usando a teoria quântica de campos topológica e a teoria das cordas para fazer previsões e fornecer estruturas para uma nova matemática rigorosa, que resultou, por exemplo, no espelho conjectural simetria e os invariantes Seiberg-Witten .

Galhos

Geometria riemanniana

A geometria Riemanniana estuda variedades Riemannianas , variedades suaves com uma métrica Riemanniana . Este é um conceito de distância expressa por meio de uma suave definida positiva forma bilinear simétrica definida no espaço tangente em cada ponto. A geometria riemanniana generaliza a geometria euclidiana para espaços que não são necessariamente planos, embora eles ainda se assemelhem ao espaço euclidiano em cada ponto infinitesimalmente, ou seja, na primeira ordem de aproximação . Vários conceitos baseados no comprimento, como o comprimento do arco das curvas, a área das regiões planas e o volume dos sólidos, todos possuem análogos naturais na geometria Riemanniana. A noção de uma derivada direcional de uma função do cálculo multivariável é estendida à noção de uma derivada covariante de um tensor . Muitos conceitos de análise e equações diferenciais foram generalizados para a configuração de variedades Riemannianas.

Um difeomorfismo de preservação de distância entre variedades Riemannianas é chamado de isometria . Essa noção também pode ser definida localmente , ou seja, para pequenos bairros de pontos. Quaisquer duas curvas regulares são localmente isométricas. No entanto, o Teorema Egregium de Carl Friedrich Gauss mostrou que, para superfícies, a existência de uma isometria local impõe que as curvaturas gaussianas nos pontos correspondentes sejam as mesmas. Em dimensões superiores, o tensor de curvatura de Riemann é um invariante pontual importante associado a uma variedade Riemanniana que mede o quão perto está de ser plano. Uma classe importante de variedades Riemannianas são os espaços simétricos Riemannianos , cuja curvatura não é necessariamente constante. Esses são os análogos mais próximos do plano e do espaço "ordinários" considerados na geometria euclidiana e não euclidiana .

Geometria pseudo-riemanniana

A geometria pseudo-Riemanniana generaliza a geometria Riemanniana para o caso em que o tensor métrico não precisa ser definido positivamente . Um caso especial disso é uma variedade Lorentziana , que é a base matemática da teoria da relatividade geral da gravidade de Einstein .

Geometria Finsler

A geometria de Finsler tem variedades de Finsler como o principal objeto de estudo. Esta é uma variedade diferencial com uma métrica de Finsler , ou seja, uma norma de Banach definida em cada espaço tangente. Variedades Riemannianas são casos especiais das variedades Finsler mais gerais. Uma estrutura Finsler em uma variedade $M$ é uma função $F : T M \to [0, \infty)$ tal que:

$F (x, my) = m F (x, y)$ para todos $(x, y)$ em $T M$ e todos $m \geq0$ ,
$F$ é infinitamente diferenciável em $T M ∖ {0}$ ,
A Hessiana vertical de $F 2$ é definida positiva.

Geometria simplética

A geometria simplética é o estudo das variedades simpléticas . Uma variedade quase simplética é uma variedade diferenciável equipada com uma forma bilinear não degenerada , simétrica e não degenerada, em cada espaço tangente, isto é, uma forma 2 não degenerada ω , chamada de forma simplética . Uma variedade simplética é uma variedade quase simplética para a qual a forma simplética ω é fechada: d ω = 0 .

Um difeomorfismo entre duas variedades simpléticas que preserva a forma simplética é denominado simplectomorfismo . Formas bilineares simétricas não degeneradas podem existir apenas em espaços vetoriais de dimensão par, então variedades simpléticas necessariamente têm dimensão par. Na dimensão 2, uma variedade simplética é apenas uma superfície dotada de uma forma de área e um simplectomorfismo é um difeomorfismo de preservação de área. O espaço de fase de um sistema mecânico é uma variedade simplética e eles fizeram uma aparição implícita já na obra de Joseph Louis Lagrange em mecânica analítica e mais tarde em Carl Gustav Jacobi 's e William Rowan Hamilton ' s formulações da mecânica clássica .

Em contraste com a geometria Riemanniana, onde a curvatura fornece um invariante local das variedades Riemannianas, o teorema de Darboux afirma que todas as variedades simpléticas são localmente isomórficas. Os únicos invariantes de uma variedade simplética são globais por natureza e os aspectos topológicos desempenham um papel proeminente na geometria simplética. O primeiro resultado na topologia simplética é provavelmente o teorema de Poincaré-Birkhoff , conjecturado por Henri Poincaré e depois provado por GD Birkhoff em 1912. Ele afirma que se uma área preservando o mapa de um anel torce cada componente da fronteira em direções opostas, então o mapa tem pelo menos dois pontos fixos.

Geometria de contato

A geometria de contato lida com certas variedades de dimensões ímpares. Está próxima da geometria simplética e, como esta, originou-se em questões de mecânica clássica. Uma estrutura de contato em uma variedade (2 n + 1) -dimensional M é dada por um campo hiperplano liso H no feixe tangente que está o mais longe possível de ser associado com os conjuntos de níveis de uma função diferenciável em M (o termo técnico é "distribuição de hiperplano tangente completamente não integrável"). Perto de cada ponto p , uma distribuição de hiperplano é determinada por uma forma 1 de desaparecimento em lugar nenhum , que é única até a multiplicação por uma função de desaparecimento em lugar nenhum: ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle H_ {p} = \ ker \ alpha _ {p} \ subconjunto T_ {p} M.}

Uma forma 1 local em M é uma forma de contato se a restrição de seu derivado exterior a H for uma forma dupla não degenerada e, assim, induzir uma estrutura simplética em H _p em cada ponto. Se a distribuição H pode ser definida por um formulário único global, então este formulário é o contato se e somente se o formulário dimensional superior ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle \ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}}

é uma forma de volume em M , ou seja, não desaparece em lugar nenhum. Um análogo de contato do teorema de Darboux é válido: todas as estruturas de contato em uma variedade de dimensão ímpar são localmente isomórficas e podem ser levadas a uma certa forma normal local por uma escolha adequada do sistema de coordenadas.

Geometria complexa e Kähler

A geometria diferencial complexa é o estudo de variedades complexas . Uma variedade quase complexa é uma variedade real , dotada de um tensor do tipo (1, 1), ou seja, um endomorfismo de pacote vetorial (chamado de estrutura quase complexa ) ${\ displaystyle M}$

{\ displaystyle J: TM \ rightarrow TM}

, de tal modo que

{\ displaystyle J ^ {2} = - 1. \,}

Segue-se dessa definição que uma variedade quase complexa tem dimensão par.

Uma variedade quase complexa é chamada de complexa se , onde está um tensor do tipo (2, 1) relacionado a , chamado tensor de Nijenhuis (ou às vezes a torção ). Uma variedade quase complexa é complexa se e somente se admitir um atlas de coordenadas holomórficas . Uma estrutura quase Hermitiana é dada por uma estrutura J quase complexa , juntamente com uma métrica Riemanniana g , satisfazendo a condição de compatibilidade. ${\ displaystyle N_ {J} = 0}$ ${\ displaystyle N_ {J}}$ ${\ displaystyle J}$

{\ displaystyle g (JX, JY) = g (X, Y) \,}

.

Uma estrutura quase hermitiana define naturalmente uma forma diferencial de duas formas

{\ displaystyle \ omega _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y) \,}

.

As duas condições a seguir são equivalentes:

${\ displaystyle N_ {J} = 0 {\ mbox {e}} d \ omega = 0 \,}$
${\ displaystyle \ nabla J = 0 \,}$

onde está a conexão Levi-Civita de . Nesse caso, é chamada de estrutura Kähler , e uma variedade Kähler é uma variedade dotada de uma estrutura Kähler. Em particular, uma variedade Kähler é tanto complexa quanto simplética . Uma grande classe de variedades Kähler (a classe das variedades Hodge ) é dada por todas as variedades projetivas complexas suaves . ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle (J, g)}$

Geometria CR

A geometria CR é o estudo da geometria intrínseca dos limites dos domínios em variedades complexas .

Geometria conforme

A geometria conformada é o estudo do conjunto de transformações que preservam o ângulo (conforme) em um espaço.

Topologia diferencial

A topologia diferencial é o estudo de invariantes geométricos globais sem uma forma métrica ou simplética.

A topologia diferencial começa com as operações naturais, como derivada de Lie de feixes de vetores naturais e diferencial de Rham de formas . Ao lado dos algebróides de Lie , também os algebróides de Courant começam a desempenhar um papel mais importante.

Grupos de mentiras

Um grupo de Lie é um grupo na categoria de variedades suaves. Além das propriedades algébricas, ele também possui propriedades geométricas diferenciais. A construção mais óbvia é a de uma álgebra de Lie, que é o espaço tangente na unidade dotada do colchete de Lie entre os campos vetoriais invariantes à esquerda . Ao lado da teoria da estrutura, existe também o amplo campo da teoria da representação .

Análise geométrica

A análise geométrica é uma disciplina matemática onde ferramentas de equações diferenciais, especialmente equações diferenciais parciais elípticas, são usadas para estabelecer novos resultados em geometria diferencial e topologia diferencial.

Teoria de calibre

A teoria de calibre é o estudo de conexões em feixes de vetores e feixes principais, e surge de problemas em física matemática e teorias de calibre físico que sustentam o modelo padrão da física de partículas . A teoria de calibre está preocupada com o estudo de equações diferenciais para conexões em pacotes e os espaços de módulos geométricos resultantes de soluções para essas equações, bem como os invariantes que podem ser derivados delas. Essas equações freqüentemente surgem como as equações de Euler-Lagrange que descrevem as equações de movimento de certos sistemas físicos na teoria quântica de campos e, portanto, seu estudo é de considerável interesse na física.

Pacotes e conexões

O aparato de feixes de vetores , feixes principais e conexões em feixes desempenha um papel extraordinariamente importante na geometria diferencial moderna. Uma variedade lisa sempre carrega um feixe vetorial natural, o feixe tangente . Em termos gerais, essa estrutura por si só é suficiente apenas para desenvolver análises na variedade, enquanto fazer geometria requer, além disso, alguma forma de relacionar os espaços tangentes em pontos diferentes, ou seja, uma noção de transporte paralelo . Um exemplo importante é fornecido por conexões afins . Para uma superfície em R ³ , planos tangentes em diferentes pontos podem ser identificados usando um paralelismo natural induzido pelo espaço euclidiano ambiente, que tem uma definição padrão bem conhecida de métrica e paralelismo. Na geometria Riemanniana , a conexão Levi-Civita serve a um propósito semelhante. Mais geralmente, geômetras diferenciais consideram espaços com um feixe vetorial e uma conexão afim arbitrária que não é definida em termos de uma métrica. Na física, a variedade pode ser o espaço - tempo e os feixes e conexões estão relacionados a vários campos físicos.

Intrínseco versus extrínseco

Desde o início e até meados do século XIX, a geometria diferencial foi estudada do ponto de vista extrínseco : curvas e superfícies eram consideradas como estando em um espaço euclidiano de dimensão superior (por exemplo, uma superfície em um espaço ambiente de três dimensões) . Os resultados mais simples são aqueles na geometria diferencial das curvas e na geometria diferencial das superfícies. A partir da obra de Riemann , desenvolveu-se o ponto de vista intrínseco , em que não se pode falar em mover-se "para fora" do objeto geométrico porque se considera que é dado de forma autônoma. O resultado fundamental aqui é o teorema egregium de Gauss , no sentido de que a curvatura gaussiana é um invariante intrínseco.

O ponto de vista intrínseco é mais flexível. Por exemplo, é útil na relatividade, onde o espaço-tempo não pode ser naturalmente considerado extrínseco. No entanto, há um preço a pagar na complexidade técnica: as definições intrínsecas de curvatura e conexões tornam-se muito menos intuitivas visualmente.

Esses dois pontos de vista podem ser conciliados, ou seja, a geometria extrínseca pode ser considerada como uma estrutura adicional à intrínseca. (Veja o teorema de incorporação de Nash .) No formalismo do cálculo geométrico, tanto a geometria extrínseca quanto a intrínseca de uma variedade podem ser caracterizadas por uma única forma de valor bivetor chamado de operador de forma .

Formulários

Abaixo estão alguns exemplos de como a geometria diferencial é aplicada a outros campos da ciência e da matemática.

Na física , a geometria diferencial tem muitas aplicações, incluindo:
- Geometria diferencial é a língua em que Albert Einstein 's teoria da relatividade geral é expressa. De acordo com a teoria, o universo é uma variedade lisa equipada com uma métrica pseudo-Riemanniana, que descreve a curvatura do espaço-tempo . Compreender essa curvatura é essencial para o posicionamento dos satélites em órbita ao redor da Terra. A geometria diferencial também é indispensável no estudo de lentes gravitacionais e buracos negros .
- As formas diferenciais são usadas no estudo do eletromagnetismo .
- A geometria diferencial tem aplicações tanto na mecânica Lagrangiana quanto na Hamiltoniana . Variedades simpléticas em particular podem ser usadas para estudar sistemas hamiltonianos .
- A geometria riemanniana e a geometria de contato foram usadas para construir o formalismo da geometrotermodinâmica, que encontrou aplicações na termodinâmica de equilíbrio clássica .
Em química e biofísica, ao modelar a estrutura da membrana celular sob pressão variável.
Em economia , a geometria diferencial tem aplicações no campo da econometria .
A modelagem geométrica (incluindo computação gráfica ) e o desenho geométrico auxiliado por computador baseiam-se em ideias da geometria diferencial.
Em engenharia , a geometria diferencial pode ser aplicada para resolver problemas no processamento digital de sinais .
Na teoria de controle , a geometria diferencial pode ser usada para analisar controladores não lineares, particularmente o controle geométrico
Em probabilidade , estatística e teoria da informação , pode-se interpretar várias estruturas como variedades Riemannianas, que geram o campo da geometria da informação , particularmente por meio da métrica de informação de Fisher .
Em geologia estrutural , a geometria diferencial é usada para analisar e descrever estruturas geológicas.
Na visão computacional , a geometria diferencial é usada para analisar formas.
No processamento de imagens , a geometria diferencial é usada para processar e analisar dados em superfícies não planas.
A prova de Grigori Perelman da conjectura de Poincaré usando as técnicas de fluxos de Ricci demonstrou o poder da abordagem diferencial-geométrica para questões em topologia e destacou o importante papel desempenhado por seus métodos analíticos.
Em comunicações sem fio , os manifolds Grassmannianos são usados para técnicas de formação de feixes em sistemas de múltiplas antenas .

Veja também

Referências

Leitura adicional

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