Estrutura diferencial - Differential structure

Em matemática , uma estrutura diferencial n - dimensional (ou estrutura diferenciável ) em um conjunto M torna M uma variedade diferencial n- dimensional , que é uma variedade topológica com alguma estrutura adicional que permite o cálculo diferencial na variedade. Se M já for uma variedade topológica, é necessário que a nova topologia seja idêntica à existente.

Definição

Para um número natural ne algum k que pode ser um inteiro não negativo ou infinito, uma estrutura diferencial C ^k n- dimensional é definida usando um C ^k - atlas , que é um conjunto de bijeções chamadas de gráficos entre uma coleção de subconjuntos de M (cuja união é a totalidade de M ), e um conjunto de subconjuntos abertos de : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {i}: M \ supset W_ {i} \ rightarrow U_ {i} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

que são compatíveis com C ^k (no sentido definido abaixo):

Cada um desses mapas fornece uma maneira pela qual certos subconjuntos da variedade podem ser vistos como subconjuntos abertos de, mas a utilidade dessa noção depende de até que ponto essas noções concordam quando os domínios de dois desses mapas se sobrepõem. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Considere dois gráficos:

${\ displaystyle \ varphi _ {i}: W_ {i} \ rightarrow U_ {i},}$

${\ displaystyle \ varphi _ {j}: W_ {j} \ rightarrow U_ {j}.}$

A interseção dos domínios dessas duas funções é

${\ displaystyle W_ {ij} = W_ {i} \ cap W_ {j}}$

e seu mapa pelos dois mapas de gráfico para as duas imagens:

${\ displaystyle U_ {ij} = \ varphi _ {i} \ left (W_ {ij} \ right),}$

${\ displaystyle U_ {ji} = \ varphi _ {j} \ left (W_ {ij} \ right).}$

O mapa de transição entre os dois gráficos é o mapa entre as duas imagens dessa interseção sob os dois mapas de gráficos.

${\ displaystyle \ varphi _ {ij}: U_ {ij} \ rightarrow U_ {ji}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {ij} (x) = \ varphi _ {j} \ left (\ varphi _ {i} ^ {- 1} \ left (x \ right) \ right).}$

Dois gráficos são compatíveis com C ^k se ${\ displaystyle \ varphi _ {i}, \, \ varphi _ {j}}$

${\ displaystyle U_ {ij}, \, U_ {ji}}$

estão abertos, e os mapas de transição

${\ displaystyle \ varphi _ {ij}, \, \ varphi _ {ji}}$

têm derivadas parciais contínuas de ordem k . Se k  = 0, exigimos apenas que os mapas de transição sejam contínuos, conseqüentemente um C ⁰ -atlas é simplesmente outra maneira de definir uma variedade topológica. Se k  = ∞, as derivadas de todas as ordens devem ser contínuas. Uma família de gráficos compatíveis com C ^k cobrindo toda a variedade é um C ^k -atlas que define uma variedade diferencial C ^k . Dois atlas são equivalentes a C ^k se a união de seus conjuntos de gráficos formar um C ^k -atlas. Em particular, diz-se que um C ^k -atlas que é C ⁰ compatível com um C ⁰ -atlas que define uma variedade topológica determina uma estrutura diferencial C ^k na variedade topológica. Os C ^k classes de equivalência de tais atlas são os distintos C ^k estrutura diferencial do colector . Cada estrutura diferencial distinta é determinada por um atlas máximo único, que é simplesmente a união de todos os atlas na classe de equivalência.

Para simplificar a linguagem, sem qualquer perda de precisão, pode-se simplesmente chamar um C ^k −atlas máximo em um determinado conjunto de uma variedade C ^k . Esse atlas máximo determina, então, com exclusividade a topologia e o conjunto subjacente, sendo o último a união dos domínios de todos os gráficos, e o primeiro tendo o conjunto de todos esses domínios como base.

Teoremas de existência e unicidade

Para qualquer inteiro k > 0 e qualquer n -dimensional C ^k -variedade, o atlas máximas contém um C ^∞ -atlas no mesmo conjunto subjacente por um teorema devido a Hassler Whitney . Também foi demonstrado que qualquer C ^k −atlas máximo contém algum número de C ^∞ −atlases máximos distintos sempre que n > 0, embora para qualquer par desses C ^∞ −atlases distintos exista um C ^∞ −diffeomorfismo identificando os dois. Segue-se que existe apenas uma classe de estruturas suaves (difeomorfismo par a par do módulo liso) sobre qualquer variedade topológica que admite uma estrutura diferenciável, isto é, C ^∞ -, estruturas em uma variedade C ^k . Um pouco vagamente, pode-se expressar isso dizendo que a estrutura suave é (essencialmente) única. O caso para k = 0 é diferente. Nomeadamente, existem variedades topológicas que não admitem uma estrutura C ¹ , um resultado provado por Kervaire (1960) , e posteriormente explicado no contexto do teorema de Donaldson (compare com o quinto problema de Hilbert ).

Estruturas lisas em uma variedade orientável são geralmente contadas como homeomorfismos suaves que preservam a orientação do módulo . Surge então a questão de saber se existem difeomorfismos de reversão de orientação. Existe uma estrutura lisa "essencialmente única" para qualquer variedade topológica de dimensão menor que 4. Para variedades compactas de dimensão maior que 4, há um número finito de "tipos suaves", ou seja, classes de equivalência de estruturas suaves difeomórficas em pares. No caso de R ⁿ com n ≠ 4, o número desses tipos é um, enquanto para n = 4, há incontáveis ​​muitos desses tipos. Alguém se refere a estes por R ⁴ exótico .

Estruturas diferenciais em esferas de dimensão 1 a 20

A seguinte tabela lista o número de tipos lisas da topológica m -sphere S ^m para os valores da dimensão m de 1 até 20. Esferas com uma superfície lisa, isto é, C ^∞ estrutura -differential não suavemente difeomórfico com a habitual são conhecidos como esferas exóticas .

Dimensão	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Tipos suaves	1	1	1	≥1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24

Não se sabe atualmente quantos tipos suaves a 4-esfera topológica S ⁴ tem, exceto que há pelo menos um. Pode haver um, um número finito ou um número infinito. A afirmação de que existe apenas um é conhecida como conjectura suave de Poincaré (ver conjectura generalizada de Poincaré ). A maioria dos matemáticos acredita que essa conjectura é falsa, ou seja, que S ⁴ tem mais de um tipo suave. O problema está relacionado com a existência de mais de um tipo liso do 4-disco topológico (ou 4-ball).

Estruturas diferenciais em variedades topológicas

Conforme mencionado acima, em dimensões menores que 4, existe apenas uma estrutura diferencial para cada variedade topológica. Isso foi provado por Tibor Radó para as dimensões 1 e 2, e por Edwin E. Moise na dimensão 3. Usando a teoria da obstrução , Robion Kirby e Laurent C. Siebenmann foram capazes de mostrar que o número de estruturas PL para variedades topológicas compactas de dimensão maior que 4 é finito. John Milnor , Michel Kervaire e Morris Hirsch provaram que o número de estruturas lisas em uma variedade PL compacta é finito e concorda com o número de estruturas diferenciais na esfera para a mesma dimensão (ver o livro Asselmeyer-Maluga, Brans capítulo 7) Combinando esses resultados, o número de estruturas lisas em uma variedade topológica compacta de dimensão não igual a 4 é finito.

A dimensão 4 é mais complicada. Para variedades compactas, os resultados dependem da complexidade da variedade medida pelo segundo número de Betti  b ₂ . Para números de Betti grandes b ₂  > 18 em um manifold de 4 simplesmente conectado , pode-se usar uma cirurgia ao longo de um nó ou elo para produzir uma nova estrutura diferencial. Com a ajuda deste procedimento, pode-se produzir um número infinito de estruturas diferenciais contáveis. Mas mesmo para espaços simples como não se conhece a construção de outras estruturas diferenciais. Para coletores de 4 não compactos, há muitos exemplos, como incontáveis ​​muitas estruturas diferenciais. ${\ displaystyle S ^ {4}, {\ mathbb {C}} P ^ {2}, ...}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {4}, S ^ {3} \ times {\ mathbb {R}}, M ^ {4} \ smallsetminus \ {* \}, ...}$

Veja também

• Estrutura matemática
• Exótico R ⁴
• Esfera exótica

Referências