Análise dimensional - Dimensional analysis


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Em engenharia e ciência , análise dimensional é a análise das relações entre diferentes grandezas físicas , identificando suas grandezas de base (tais como comprimento , massa , tempo e carga elétrica ) e unidades de medida (tais como milhas quilômetros vs. ou libras vs . kg) e rastrear estas dimensões como cálculos ou comparações são realizadas. A conversão de unidades a partir de uma unidade para outra dimensional é muitas vezes um pouco complexa. Análise dimensional, ou mais especificamente o método de rótulo fator, Também conhecido como o método do factor unidade , é uma técnica amplamente utilizada para tais conversões utilizando as regras de álgebra .

O conceito de dimensão física foi introduzido por Joseph Fourier em 1822. quantidades físicas que são do mesmo tipo (também chamado comensuráveis ) tem a mesma dimensão (comprimento, tempo, massa) e podem ser comparados directamente uns com os outros, mesmo que sejam originalmente expressa em unidades de medida (tais como pátios e metros) diferentes. Se as quantidades físicas têm dimensões diferentes (tais como o comprimento versus massa), que não pode ser expressa em termos de unidades semelhantes e não pode ser comparado, em quantidade (também chamado incomensurável ). Por exemplo, perguntando se um quilograma é maior do que uma hora é sem sentido.

Qualquer fisicamente significativa equação (e qualquer desigualdade ) terão as mesmas dimensões em seus lados esquerdo e direito, uma propriedade conhecida como a homogeneidade dimensional . Verificação de homogeneidade dimensional é uma aplicação comum de análise dimensional, servindo como uma verificação de plausibilidade em derivados equações e cálculos. É também serve como uma guia e restrição na derivação de equações que podem descrevem um sistema físico na ausência de uma derivação mais rigorosa.

Betão números e unidades de base

Um grande número de parâmetros e as medições (M) nas ciências físicas e engenharia são expressos como um número concreto - uma quantidade numérica (q) e uma unidade dimensional correspondente. Muitas vezes, uma quantidade é expressa em termos de várias outras quantidades; por exemplo, a velocidade é uma combinação de comprimento e altura, por exemplo de 60 milhas por hora ou 1,4 quilómetros por segundo. Composto com relações "por" estão expressos com divisão , por exemplo, 60 mi / 1 h. Outras relações pode envolver multiplicação (frequentemente mostrado com um ponto centrado ou justaposição ), poderes (como m 2 para metros quadrados), ou suas combinações.

Um conjunto de unidades de base para um sistema de medição é um conjunto de unidades convencionalmente escolhido, nenhum dos quais pode ser expresso como uma combinação dos outros, e em termos de que todas as restantes unidades do sistema podem ser expressas. Por exemplo, as unidades de comprimento e tempo são normalmente escolhidos como unidades de base. Unidades de volume de , no entanto, pode ser tido em conta as unidades de base de comprimento (m 3 ), portanto, eles são considerados como unidades ou compostos derivados.

Às vezes, os nomes das unidades obscurecer o fato de que eles são unidades derivadas. Por exemplo, um Newton (N) é uma unidade de força , o que terá unidades de massa (kg) tempos de aceleração (m⋅s -2 ). O newton é definido como 1 N = 1 kg⋅m⋅s -2 .

Percentagens e derivados

As percentagens s adimensionais quantidades, uma vez que eles são proporções de duas quantidades, com as mesmas dimensões. Em outras palavras, o sinal% pode ser lido como "centésimos", uma vez que 1% = 1/100 .

Tomando um derivado com respeito a uma quantidade adiciona a dimensão da uma variável é a diferenciação com respeito ao, no denominador. Portanto:

  • posição ( x ) tem a dimensão L (comprimento);
  • derivado de posição em relação ao tempo ( dx / dt , velocidade ) tem dimensão LT -1 - comprimento de posição, o tempo, devido ao derivado;
  • a segunda derivada ( d 2 x / dt 2 = ( dx / dt ) / dt , aceleração ) tem dimensão LT -2 .

Em economia, distingue-se entre stocks e fluxos : um estoque tem unidades de "unidades" (digamos, widgets ou dólares), enquanto um fluxo é um derivado de uma ação, e tem unidades de "unidades / hora" (digamos, dólares / ano).

Em alguns contextos, as quantidades dimensionais são expressos em quantidades sem dimensão ou percentagens por omitindo algumas dimensões. Por exemplo, rácios da dívida em relação ao PIB são geralmente expressos como percentagens: dívida total (dimensão da moeda) dividido pelo PIB anual (dimensão da moeda) - mas pode-se argumentar que na comparação de um estoque para um fluxo, o PIB anual deve ter dimensões da moeda / hora (dólares / ano, por exemplo), e, portanto, da dívida em relação ao PIB deve ter unidades de anos, o que indica que a dívida em relação ao PIB é o número de anos necessários para um PIB constante para pagar a dívida, se tudo o PIB é gasto com a dívida ea dívida é outra forma inalterada.

Fator de conversão

Na análise dimensional, uma proporção que se converte uma unidade de medida para a outra, sem alterar a quantidade é chamada um factor de conversão . Por exemplo, kPa e barra são ambos unidades de press, e 100 kPa = 1 bar . As regras de álgebra de permitir que ambos os lados de uma equação para ser dividido pela mesma expressão, de modo que este é equivalente a 100 kPa / 1 bar = 1 . Uma vez que qualquer quantidade pode ser multiplicado por 1 sem o alterar, a expressão " de 100 kPa a 1 bar / " pode ser utilizado para converter de barras para kPa multiplicando-a com a quantidade a ser convertido, incluindo unidades. Por exemplo, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa porque 5 × 100/1 = 500 , e barra / barra de cancela, de modo 5 bar = 500 kPa .

homogeneidade dimensional

A regra mais básica de análise dimensional é que de homogeneidade dimensional. Apenas quantidades comensuráveis (quantidades físicas que têm a mesma dimensão) podem ser comparados, equiparada, adicionado, ou subtraído. No entanto, as dimensões formar um grupo abeliano sob multiplicação, então:

Pode-se ter rácios de incomensuráveis quantidades (quantidades com diferentes dimensões), e multiplicar ou dividir -los.

Por exemplo, não faz sentido perguntar se uma hora é mais o mesmo, ou menos de 1 km, uma vez que estes têm diferentes dimensões, nem para adicionar 1 hora a 1 quilômetro. No entanto, faz todo o sentido perguntar se uma milha é mais o mesmo, ou menos de 1 km sendo a mesma dimensão de grandeza física, mesmo que as unidades são diferentes. Por outro lado, se um objecto se desloca a 100 km em 2 horas, um pode dividir estas e concluímos que a velocidade média do objecto foi de 50 km / h.

A regra implica que num fisicamente significativa expressão podem ser adicionadas apenas quantidades da mesma dimensão, subtraído, ou comparação. Por exemplo, se m homem , m rato e G homem denotam, respectivamente, a massa de um homem, a massa de um rato e o comprimento do que o homem, a expressão dimensionalmente homogénea m homem + m rato é significativo, mas a expressão heterogénea m homem + G homem é insignificante. No entanto, m homem / L 2 homem é fino. Assim, a análise dimensional pode ser utilizada como uma verificação de sanidade de equações físicas: os dois lados de qualquer equação deve ser comensuráveis ou ter as mesmas dimensões.

Mesmo quando duas quantidades físicas têm dimensões idênticas, pode, contudo, ser sem sentido para comparar ou adicioná-los. Por exemplo, apesar de binário e energia partes da dimensão G 2 M T -2 , eles são fundamentalmente diferentes grandezas físicas.

Para comparar, adicionar ou subtrair quantidades com as mesmas dimensões, mas expressos em unidades diferentes, o procedimento padrão é o primeiro a convertê-los todos para as mesmas unidades. Por exemplo, para comparar os 32 metros com 35 jardas , usar 1 jarda = 0,9144 metros para converter 35 jardas de 32,004 m.

Um princípio relacionado é que qualquer lei da física que descreve com precisão o mundo real devem ser independentes das unidades usadas para medir as variáveis físicas. Por exemplo, as leis do movimento de Newton devem ser verdadeiras se a distância é medida em milhas ou quilômetros. Este princípio dá origem à forma que os fatores de conversão devem tomar entre as unidades que medem a mesma dimensão: a multiplicação por uma constante simples. Ele também garante equivalência; por exemplo, se dois edifícios são a mesma altura em pé, então eles devem ter a mesma altura em metros.

O método de rótulo factor de conversão de unidades

O método de rótulo fator é a aplicação sequencial de factores de conversão expressas como fracções e dispostos de modo que qualquer unidade dimensional aparecendo tanto o numerador e denominador de qualquer das fracções pode ser anulado, até se obter apenas o conjunto desejado de unidades dimensionais. Por exemplo, a 10 milhas por hora pode ser convertido em metros por segundo , utilizando uma sequência de factores de conversão, como mostrado abaixo:

Pode ser visto que cada um factor de conversão é equivalente ao valor de um. Por exemplo, começando com uma milha = 1609,344 metros e dividir ambos os lados da equação por 1 produz uma milha milha / 1 milha = 1609,344 metros / 1 milha, que, quando simplificada rendimentos 1 = 1609,344 metros / 1 milha.

Assim, quando as unidades de milha e hora são anulados e a aritmética é feito, a 10 milhas por hora converte em 4.4704 metros por segundo.

Como um exemplo mais complexo, a concentração de óxidos de azoto (isto é, ) no gás de combustão a partir de uma industrial forno pode ser convertido para uma taxa de fluxo de massa , expressa em gramas por hora (isto é, g / h) de pelo usando a seguinte informação quanto mostrado abaixo:

NO x concentração 
= 10 partes por milhão por volume = 10 ppmv = 10 volumes / 10 6 volumes
NO x massa molar 
= 46 kg / kmol = 46 g / mol
A taxa de fluxo de gases de combustão 
= 20 metros cúbicos por minuto = 20 m 3 / min
O gás de combustão sai do forno a temperatura 0 ° C e 101,325 kPa de pressão absoluta.
O volume molar de um gás à temperatura de 0 ° C e 101,325 kPa é 22,414 m 3 / kmol .

Após cancelando quaisquer unidades dimensionais que aparecem tanto no numerador e denominador das fracções na equação acima, o NO x concentração de 10 ppm v converte a taxa de fluxo de massa de 24,63 gramas por hora.

Verificando equações que envolvem dimensões

O método de rótulo fator também pode ser usado em qualquer equação matemática para verificar se há ou não as unidades dimensionais do lado esquerdo da equação são as mesmas que as unidades dimensionais no lado direito da equação. Tendo as mesmas unidades de ambos os lados de uma equação não garante que a equação é correcta, mas tendo diferentes unidades dos dois lados (quando expressos em termos de unidades de base) de uma equação implica que a equação é errado.

Por exemplo, verifique a Lei do Gás Universal equação PV = nRT , quando:

  • a pressão P é em pascais (Pa)
  • o volume V é em metros cúbicos (m 3 )
  • a quantidade de substância n é em moles (mol)
  • a lei do gás universal constante R é 8,3145 Pa⋅m 3 / (mol⋅K)
  • a temperatura T é em graus Kelvin (K)

Como pode ser visto, quando as unidades dimensionais aparecem no numerador eo denominador de lado direito da equação são anulados, ambos os lados da equação tem as mesmas unidades dimensionais.

limitações

O método de rótulo fator pode converter apenas quantidades unitárias para que as unidades estão em uma relação linear intersecta a 0. A maioria das unidades encaixar este paradigma. Um exemplo para o qual não pode ser usado é a conversão entre graus Celsius e graus Kelvin (ou graus Fahrenheit ). Entre graus Celsius e graus Kelvin, há uma diferença constante, em vez de uma proporção constante, enquanto entre os graus Celsius e graus Fahrenheit não há nem uma diferença constante, nem uma relação constante. Não é, no entanto, uma transformação afim ( , ao invés de uma linear transformar ) entre eles.

Por exemplo, o ponto de congelação da água é de 0 ° C e 32 ° F, e uma mudança de 5 ° C é a mesma que uma mudança 9 ° F. Assim, para converter as unidades de Fahrenheit para unidades de Celsius, um subtrai 32 ° F (o deslocamento em relação ao ponto de referência), divide por 9 ° F e multiplica-se por de 5 ° C (escalas pela razão de unidades), e adiciona 0 ° C (o deslocamento em relação ao ponto de referência). A inversão desta produz a fórmula para a obtenção de uma quantidade de unidades de Celsius a partir de unidades de Fahrenheit; uma poderia ter começado com a equivalência entre 100 ° C e 212 ° F, embora isso iria produzir a mesma fórmula, no final.

Por isso, para converter o valor de quantidade numérica de uma temperatura T [F] em graus centígrados a um valor de grandeza numérica T [C] em graus Celsius, pode ser utilizada a seguinte fórmula:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

Para converter T [C] em graus Celsius a T [F] em graus Fahrenheit, pode ser utilizada a seguinte fórmula:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

aplicações

análise dimensional é mais frequentemente usado em física e química - e na matemática dos mesmos - mas encontra algumas aplicações fora desses campos também.

Matemática

A simples aplicação de análise dimensional à matemática é no cálculo da forma do volume de um n -ball (a bola sólido em n dimensões), ou a área da sua superfície, o n -sphere : ser um n figura -dimensional, o escalas de volume como enquanto a área de superfície, sendo -dimensional, escalas como Deste modo, o volume do n -ball em termos do raio é de alguma constante determinação da constante leva matemática mais envolvidos, mas a forma pode ser deduzida e verificados por análise dimensional sozinho.

Finanças, economia e contabilidade

Em finanças, economia e contabilidade, análise dimensional é mais comumente referido em termos da distinção entre stocks e fluxos . De modo mais geral, a análise dimensional é usada para interpretar vários índices financeiros , índices de economia, e rácios de contabilidade.

  • Por exemplo, o índice P / L tem dimensões de tempo (unidades de anos), e pode ser interpretado como "anos de ganhos para ganhar o preço pago".
  • Na economia, rácio da dívida em relação ao PIB também tem unidades de anos (dívida tem unidades de moeda, o PIB tem unidades de moeda / ano).
  • Mais surpreendentemente, a duração de títulos também tem unidades de anos, o que pode ser demonstrado por análise dimensional, mas leva algum intuição financeira de entender.
  • Velocidade do dinheiro tem unidades de 1 / anos (abastecimento de PIB / dinheiro tem unidades de moeda / ano mais de moeda): quantas vezes uma unidade de moeda circula por ano.
  • As taxas de interesse são muitas vezes expressa como uma percentagem, mas mais propriamente por cento por ano, o qual tem dimensões de 1 / ano.

mecânica dos fluidos

Em mecânica dos fluidos, análise dimensional é realizada de modo a obter adimensionais termos Pi ou grupos. De acordo com os princípios da análise dimensional, qualquer protótipo pode ser descrito por uma série destes termos ou grupos que descrevem o comportamento do sistema. Usando termos ou grupos Pi adequados, é possível desenvolver um conjunto semelhante de termos Pi para um modelo que tem as mesmas relações dimensionais. Em outras palavras, termos Pi fornecer um atalho para o desenvolvimento de um modelo que representa um certo protótipo. Grupos adimensionais comuns em mecânica dos fluidos incluem:

  • Número de Reynolds (Re), geralmente importante em todos os tipos de problemas de fluidos:
    .
  • Número de Froude (Pe), o fluxo de modelagem com uma superfície livre:
  • Euler número (UE), usada em problemas em que a pressão é de interesse:
  • Número de Mach (M), importante alta velocidade onde corre as abordagens de velocidade ou excede a velocidade local do som:
    onde: c é a velocidade local do som.

História

As origens da análise dimensional foram contestados pelos historiadores. O matemático francês do século 19- Joseph Fourier é geralmente creditado por ter feito importantes contribuições com base na ideia de que as leis físicas como F = ma deve ser independente das unidades empregadas para medir as variáveis físicas. Isto levou à conclusão de que as leis significativas devem ser equações homogêneas em suas diversas unidades de medida, resultado que acabou por ser formalizado no Buckingham π teorema . No entanto, a primeira aplicação de análise dimensional foi creditado com o estudioso italiano François Daviet de Foncenex (1734-1799). Foi publicado em 1761, 61 anos antes da publicação do trabalho de Fourier.

James Clerk Maxwell desempenhou um papel importante no estabelecimento uso moderno de análise dimensional, distinguindo massa, comprimento e tempo como unidades fundamentais, ao se referir a outras unidades como derivado. Embora Maxwell definido comprimento, tempo e massa para ser "as três unidades fundamentais", ele também observou que a massa gravitacional pode ser derivado de comprimento e tempo, assumindo a forma de lei da gravitação universal em que a constante gravitacional G é tomado como unidade , desse modo definindo M = L 3 t -2 . Ao assumir uma forma de lei de Coulomb em que de Coulomb constante k e é tomado como unidade, Maxwell, em seguida, determinado que as dimensões de uma unidade de carga electrostática foram Q = L 3/2 M 1/2 T -1 , que, após a sua substituição M = L 3 t -2 equação de massa, os resultados em carga com as mesmas dimensões como a massa, viz. Q = L 3 t -2 .

Análise dimensional também é usado para obter relações entre as grandezas físicas que estão envolvidas em um fenômeno particular que se deseja entender e caracterizar. Foi usado pela primeira vez ( Pesic 2005 ), desta forma em 1872 por Lord Rayleigh , que estava tentando entender por que o céu é azul. Rayleigh publicado pela primeira vez a técnica em seu 1877 livro The Theory of Sound .

O significado original da palavra dimensão , em de Fourier Theorie de la Chaleur , foi o valor numérico das expoentes das unidades de base. Por exemplo, a aceleração foi considerada como tendo a dimensão 1 com respeito à unidade de comprimento, e a dimensão -2 com respeito à unidade de tempo. Isto foi ligeiramente alterado por Maxwell, que afirmou que as dimensões de aceleração são LT -2 , em vez de apenas os expoentes.

exemplos matemáticos

O Buckingham π teorema descreve como cada equação fisicamente significativa envolvendo n variáveis pode ser equivalentemente reescrito como uma equação de N - m parâmetros adimensionais, onde m é o posto da matriz dimensional. Além disso, e mais importante, proporciona um método para calcular estes parâmetros adimensionais a partir das variáveis indicadas.

Uma equação dimensional pode ter as dimensões reduzidas ou eliminadas através nondimensionalization , que começa com a análise dimensional, e envolve quantidades de escala por unidades características de um sistema ou unidades naturais de natureza. Isto dá uma visão sobre as propriedades fundamentais do sistema, tal como ilustrado nos exemplos abaixo.

Definição

A dimensão de uma quantidade física pode ser expressa como um produto das dimensões físicas básicas, tais como comprimento , massa e tempo , cada levantada para uma racional de energia . A dimensão de uma quantidade física é mais fundamental que alguns escala unidade utilizada para expressar o valor da referida quantidade física. Por exemplo, a massa é uma dimensão, enquanto o quilograma é uma unidade particular escala escolhidas para expressar uma quantidade de massa. Exceto para unidades naturais , a escolha da escala é cultural e arbitrária.

Existem muitas opções possíveis de dimensões físicas básicas. O padrão IS recomenda o uso dos seguintes dimensões e símbolos correspondentes: comprimento (L), a massa (M), o tempo (T), a corrente eléctrica (I), a temperatura absoluta (Θ), quantidade de substância (N) e intensidade luminosa (J). Os símbolos são, por convenção geralmente escrita em romanos sans serif tipo. Matematicamente, a dimensão da quantidade de Q é dado pela

onde um , b , c , d , e , f , g são os expoentes dimensionais. Outras quantidades físicas pode ser definida como as quantidades de base, desde que eles formam um linearmente independente base . Por exemplo, pode-se substituir a dimensão da corrente elétrica (I) da base SI com uma dimensão de carga elétrica (Q), uma vez que Q = TI.

Como exemplos, a dimensão da quantidade física velocidade v é

e a dimensão da quantidade física força F é

A unidade escolhida para expressar uma quantidade física e sua dimensão estão relacionados, mas não conceitos idênticos. As unidades de uma quantidade física são definidos por convenção e relacionada com um padrão; por exemplo, o comprimento pode ter unidades de metros, pés, polegadas, milhas ou micrômetros; mas qualquer comprimento sempre tem uma dimensão de L, não importa o que as unidades de comprimento são escolhidos para expressá-la. Duas unidades diferentes de uma mesma quantidade física têm factores de conversão que lhes dizem respeito. Por exemplo, um  em = 2,54  cm ; neste caso (2,54 cm / pol) é o factor de conversão, que em si é adimensional. Por isso, multiplicando pelo factor de conversão que não altere as dimensões de uma quantidade física.

Há também os físicos que têm dúvidas sobre a existência de dimensões fundamentais incompatíveis de quantidade física, embora isso não invalida a utilidade da análise dimensional.

propriedades matemáticas

As dimensões que podem ser formados a partir de uma dada colecção de dimensões físicas básicas, tais como F, G, e T, formam um grupo abeliano : A identidade é escrito como uma; L 0 = 1 , e o inverso para L é de 1 / L ou L -1 . G elevada para qualquer potência racional p é um membro do grupo, possuindo um inverso de L - p ou 1 / L p . A operação do grupo é a multiplicação, tendo as regras normais para o manuseamento de expoentes ( L n × G m = L n + m ).

Este grupo pode ser descrito como um espaço vectorial sobre os números racionais, com por exemplo dimensional símbolo M i L j T k correspondentes ao vector ( i , j , k ) . Quando quantidades medidas físicas (sejam eles gostar-dimensionada ou diferentemente dimensionadas) são multiplicados ou dividido por um outro, as suas unidades dimensionais da mesma forma são multiplicados ou dividida; isto corresponde a adição ou subtracção no espaço vectorial. Quando quantidades mensuráveis sejam elevados a uma potência racional, o mesmo é feito para os símbolos dimensionais inerentes a essas quantidades; isto corresponde a multiplicação escalar no espaço vectorial.

A base para uma tal espaço vectorial de símbolos dimensionais é chamado de conjunto de grandezas de base , e todos os outros vectores são chamados unidades derivadas. Como em qualquer espaço vectorial, pode-se escolher diferentes bases , o que origina diferentes sistemas de unidades (por exemplo, escolher se a unidade de carga é obtido a partir da unidade de corrente, ou vice-versa).

A identidade do grupo 1, a dimensão de quantidades sem dimensão, corresponde à origem neste espaço vectorial.

O conjunto de unidades de quantidades físicas envolvidas em um problema correspondem a um conjunto de vectores (ou uma matriz). A nulidade descreve um certo número (por exemplo, m ) de formas em que estes vectores podem ser combinados para produzir um vector zero. Estes correspondem a produzir (a partir das medições) um número de quantidades sem dimensão, {π 1 , ..., π m }. (De facto, estas formas abrangem completamente o subespaço nulo de outro espaço diferente, de poderes das medições.) Todas as formas possíveis de se multiplicar (e exponencializando ) em conjunto as quantidades medidas para produzir algo com as mesmas unidades como alguns derivados quantidade X pode ser expressa sob a forma geral

Consequentemente, todos os possíveis proporcional equação para a física do sistema pode ser reescrita na forma

Sabendo que esta restrição pode ser uma ferramenta poderosa para obter uma nova visão sobre o sistema.

Mecânica

A dimensão de quantidades físicas de interesse em mecânica pode ser expressa em termos de dimensões de base M, L, T e - estes formam um espaço vectorial 3-dimensional. Esta não é a única opção válida de dimensões de base, mas é o mais comumente usado. Por exemplo, pode-se escolher força, comprimento e massa como as dimensões da base (como alguns fizeram), com dimensões associadas F, G, H; isto corresponde a uma base diferente, e pode-se converter-se entre estas representações por uma mudança de base . A escolha da base do conjunto de dimensões é, portanto, uma convenção, com o benefício de uma maior utilidade e familiaridade. A escolha de dimensões de base não é arbitrária, porque as dimensões devem formar uma base: eles devem abranger o espaço, e ser linearmente independentes .

Por exemplo, F, G, H formar um conjunto de dimensões fundamentais, porque eles formam uma base que é equivalente a H, L, T: o primeiro pode ser expresso como [F = ML / T 2 ], L, M, enquanto o este último pode ser expresso como H, G, [t = (ML / F) 1/2 ].

Por outro lado, o comprimento, velocidade e tempo (L, V, T) não formam um conjunto de dimensões, como base, por duas razões:

  • Não há maneira de obter uma massa - ou qualquer derivado dele, tal como força - sem a introdução de uma outra dimensão de base (portanto, eles não cobrem o espaço ).
  • Velocidade, sendo expresso em termos de comprimento e hora (V = G / T), é redundante (o conjunto não está linearmente independentes ).

Outros campos da física e da química

Dependendo do campo da física, pode ser vantajoso escolher um ou outro conjunto alargado de símbolos dimensionais. Em electromagnetismo, por exemplo, pode ser útil usar dimensões de H, L, T e Q, em que Q representa a dimensão de carga eléctrica . Em termodinâmica , o conjunto de base de dimensões é geralmente estendida para incluir uma dimensão para a temperatura, Θ. Em química, a quantidade de substância (o número de moléculas dividido pela constante de Avogadro , ≈ 6,02 × 10 23  mol -1 ) é definida como uma dimensão de base, N, também. No interacção de plasma relativista com fortes impulsos de laser, um adimensional parâmetro de similaridade relativista , conectado com as propriedades de simetria do colisionais equação Vlasov , é construído a partir do plasma, electrões e críticos-densidades além do potencial vector electromagnética. A escolha das dimensões ou mesmo o número de dimensões para ser usado em diferentes campos da física é de certa forma arbitrária, mas a consistência na utilização e facilidade de comunicação são características comuns e necessárias.

Polinômios e funções transcendentais

Escalares argumentos para funções transcendentes tal como exponenciais , trigonométricas e logarítmicas funções, ou para polinómios não homogéneas , devem ser quantidades sem dimensão . (Nota: este requisito é um pouco relaxado na análise de orientação da Siano descrito abaixo, em que a praça de determinadas quantidades cotados são adimensionais.)

Enquanto a maioria das identidades matemáticas sobre números adimensionais traduzir de uma forma simples de quantidades dimensionais, o cuidado deve ser tomado com logaritmos dos índices: o registo de identidade (A / B) = log a - b log, onde o logaritmo é tomado em qualquer base, detém para números adimensionais a e b, mas ele não segurar, se a e b são dimensional, porque neste caso o lado esquerdo está bem definida, mas o lado direito não é.

Da mesma forma, embora se possa avaliar monomios ( x n ) de quantidades dimensionais, não se pode avaliar polinómios de grau misturado com coeficientes adimensionais em quantidades dimensionais: para x 2 , a expressão de (3 m) 2  = 9 m 2 faz sentido (como uma área ), enquanto que para x 2  +  X , a expressão de (3 m) 2  + 3 m = 9 m 2  + 3 m não faz sentido.

No entanto, polinômios de grau mista pode fazer sentido se os coeficientes são escolhidos adequadamente quantidades físicas que não são sem dimensão. Por exemplo,

Esta é a altura a que um objecto sobe no tempo  t se a aceleração da gravidade é de 32 pés por segundo por segundo e a velocidade ascendente inicial é de 500 pés por segundo. Não é nem mesmo necessário que t de estar em segundos . Por exemplo, suponha que t  = 0,01 minutos. Em seguida, o primeiro termo seria

unidades incorporando

O valor de uma quantidade física dimensional Z é escrita como o produto de uma unidade [ Z ] na dimensão e um factor numérico adimensional, n .

Quando quantidades como dimensionado são adicionados ou subtraídos ou comparação, é conveniente a expressá-los em unidades consistentes de modo que os valores numéricos destas quantidades pode ser directamente adicionado ou subtraído. Mas, em termos de conceito, não há nenhum problema adicionando quantidades da mesma dimensão expressa em unidades diferentes. Por exemplo, um metro adicionado a um pé é um comprimento, mas não se pode derivar de que comprimento por simples adição de um e 1. Um factor de conversão , que é uma proporção de quantidades como dimensionado e é igual à unidade adimensional, é necessário:

é idêntico ao

O factor é idêntico ao adimensional 1, de modo que multiplicando por este factor de conversão nada muda. Em seguida, quando a adição de duas quantidades de dimensão semelhante, mas expresso em unidades diferentes, o factor de conversão apropriado, que é essencialmente o adimensional 1, é utilizada para converter as quantidades de unidades idênticas de modo a que os seus valores numéricos podem ser adicionados ou subtraídos.

Só desta forma é significativo falar de adição de quantidades como dimensionados de unidades diferentes.

Posição vs deslocamento

Algumas discussões de análise dimensional descrever implicitamente todas as quantidades como vetores matemáticos. (Em escalares matemática é considerado um caso especial de vectores;. Os vectores pode ser adicionado ou subtraído a partir de outros vectores, e, nomeadamente, multiplicadas ou divididas por escalares Se um vector é utilizado para definir uma posição, esta assume um ponto implícito de de referência: uma origem .. Enquanto isto é útil e muitas vezes perfeitamente adequado, permitindo que muitos erros importantes para ser capturado, ele pode deixar de modelar certos aspectos da física uma abordagem mais rigorosa requer a distinção entre posição e deslocamento (ou momento no tempo versus duração, ou a temperatura absoluta contra a mudança de temperatura).

Considere pontos em uma linha, cada um com uma posição em relação a uma dada origem, e as distâncias entre eles. Posições e deslocamentos todos têm unidades de comprimento, mas seu significado não é intercambiável:

  • a adição de dois deslocamentos deve render um novo deslocamento (caminhar dez passos depois de vinte passos recebe você trinta passos para a frente),
  • adicionando um deslocamento para uma posição deve render uma nova posição (andar um quarteirão da rua de um cruzamento deixa no cruzamento seguinte),
  • subtraindo duas posições deve produzir um deslocamento,
  • mas pode não adicionar duas posições.

Isto ilustra a distinção subtil entre afins quantidades (uns modelados por um espaço afim , tais como posição) e vector quantidades (uns modelados por um espaço vectorial , tais como o deslocamento).

  • Quantidades vector podem ser adicionados um ao outro, dando origem a uma nova quantidade do vetor, e uma quantidade de vector pode ser adicionada a uma quantidade apropriada afim (um espaço vetorial actua sobre um espaço afim), obtendo-se uma nova quantidade afim.
  • Quantidades afins não podem ser adicionados, mas podem ser subtraídos, originando relativos quantidades que são vectores, e essas diferenças relativas pode então ser adicionado a um ao outro ou para uma quantidade afim.

Adequadamente, em seguida, as posições de ter dimensões de afim comprimento, enquanto têm deslocamentos dimensão do vector de comprimento. Para atribuir um número de um afim unidade, é necessário não apenas escolher uma unidade de medição, mas também um ponto de referência , enquanto que para atribuir um número de um vector de unidade apenas requer uma unidade de medida.

Assim, algumas quantidades físicas são melhor modelada por quantidades vectorial enquanto outros tendem a exigir representação afim, e a distinção é reflectida na sua análise dimensional.

Esta distinção é particularmente importante no caso de temperatura, para o qual o valor numérico do zero absoluto não é a origem 0 em algumas escalas. Para zero absoluto,

0 K = -273,15 ° C = -459,67 ° F = 0 ° R,

mas para as diferenças de temperatura,

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F = 1 ° R.

(Aqui ° R refere-se ao Rankine , não o réaumur ). Unidade de conversão para as diferenças de temperatura é uma simples questão de se multiplicar por, por exemplo, 1 ° F / K 1 (embora a proporção não é um valor constante). Mas porque algumas dessas escalas têm origens que não correspondem ao zero absoluto, conversão de uma escala de temperatura para outro requer respondendo por isso. Como resultado, a análise dimensional simples pode levar a erros, se é ambíguo se um K significa a temperatura absoluta igual a -272,15 ° C, ou a diferença de temperatura igual a 1 ° C.

Orientação e estrutura de referência

Similar ao problema de um ponto de referência é a questão de orientação: um deslocamento em 2 ou 3 dimensões não é apenas um comprimento, mas é um comprimento juntamente com uma direcção . (. Este problema não se coloca em uma dimensão, ou melhor, é equivalente à distinção entre positivo e negativo) Assim, para comparar ou combinar duas quantidades dimensionais num espaço multidimensional, é preciso também uma orientação: eles devem ser comparados para um quadro de referência .

Isto leva às extensões discutidos abaixo, ou seja, dimensões dirigidas de Huntley e análise de orientação da Siano.

Exemplos

Um exemplo simples: período de um oscilador harmónica

O que é o período de oscilação T de uma massa m anexada a uma mola linear ideal com mola constante k suspenso em gravidade de força g ? Esse período é a solução para o T de alguns equação adimensional nas variáveis T , m , k , e g . Os quatro quantidades têm as seguintes dimensões: T [T]; m [H]; k [M / T 2 ]; e g [G / T 2 ]. Destes podemos formar apenas um produto sem dimensão de poderes de nossas variáveis escolhidas, = [T 2 · M / T 2 / M = 1] , e colocando para alguma constante adimensional C dá a equação adimensional procurado. O produto sem dimensão de poderes de variáveis é por vezes referido como um grupo sem dimensão de variáveis; aqui o termo "grupo" significa "recolha", em vez de matemática grupo . Eles são freqüentemente chamados números adimensionais também.

Note-se que a variável g não ocorre no grupo. É fácil ver que é impossível formar um produto sem dimensão de poderes que combina g com k , m , e T , porque g é a única quantidade que envolve a dimensão L. Isto implica que neste problema o g é irrelevante. Análise dimensional, por vezes, pode produzir fortes declarações sobre a irrelevância de algumas quantidades em um problema ou a necessidade de parâmetros adicionais. Se nós escolhemos variáveis suficientes para descrever adequadamente o problema, em seguida, a partir deste argumento, podemos concluir que o período da massa sobre a mola é independente do g : é a mesma sobre a terra ou a lua. A equação demonstrando a existência de um produto de poderes para o nosso problema pode ser escrito de uma forma totalmente equivalentes: por alguma κ constante adimensional (igual a partir da equação sem dimensão original).

Quando confrontados com um caso em análise dimensional rejeita uma variável ( g , aqui) que um intuitivamente espera pertencem a uma descrição física da situação, outra possibilidade é que a variável rejeitado é de fato relevante, mas que alguma outra variável relevante tem sido omitido, que pode combinar com a variável rejeitado para formar uma quantidade adimensional. Isto é, no entanto, não é o caso aqui.

Quando os rendimentos de análise dimensional apenas um grupo sem dimensão, como aqui, não há funções desconhecidas, e a solução é dito ser "completo" - embora ainda pode envolver constantes adimensionais desconhecidos, como κ .

Um exemplo mais complexo: energia de um fio de vibração

Consideremos o caso de um fio de vibração de comprimento (G) a vibrar com uma amplitude A (G). O fio tem uma densidade linear ρ (M / L) e está sob tensão s (ML / T 2 ), e que quer conhecer a energia E (ML 2 / T 2 ) no fio. Vamos π 1 e π 2 ser dois produtos sem dimensão de poderes das variáveis escolhidas, dado por

A densidade linear do fio não é envolvido. Os dois grupos foram encontrados podem ser combinadas em uma forma equivalente como uma equação

onde F é alguma função desconhecida, ou, equivalentemente como

onde f é alguma outra função desconhecida. Aqui a função desconhecida implica que a nossa solução está agora incompleta, mas a análise dimensional nos deu algo que pode não ter sido óbvio: a energia é proporcional à primeira potência da tensão. Restrição de uma análise mais aprofundada de análise, podemos avançar para experimentos para descobrir a forma para a função desconhecida f . Mas nossos experimentos são mais simples do que na ausência de análise dimensional. Nós realizar nenhum para verificar que a energia é proporcional à tensão. Ou talvez nós pode imaginar que a energia é proporcional à , e assim inferir que E = ℓs . O poder da análise dimensional como uma ajuda para experimentar e formando hipóteses torna-se evidente.

O poder de análise dimensional realmente se torna aparente quando é aplicada a situações, ao contrário daqueles dado acima, que são mais complicados, o conjunto de variáveis envolvidas não são aparentes, e as equações subjacentes irremediavelmente complexa. Considere, por exemplo, uma pedrinha sentado no leito de um rio. Se o rio corre rápido o suficiente, ele vai realmente levantar a pedra e fazer com que a fluir junto com a água. A que velocidade crítica isso irá ocorrer? Classificando para fora as variáveis adivinhadas não é tão fácil como antes. Mas a análise dimensional pode ser um poderoso auxiliar no entendimento dos problemas como este, e geralmente é a primeira ferramenta a ser aplicada a problemas complexos, onde as equações subjacentes e as restrições são mal compreendidos. Em tais casos, a resposta pode depender de um número adimensional , tais como o número de Reynolds , o que pode ser interpretado por análise dimensional.

Um terceiro exemplo: demanda versus capacidade de um disco giratório

Consideremos o caso de um sólido disco fino, de lados paralelos de rotação de espessura axial t (G) e o raio R (G). O disco tem uma densidade ρ (M / L 3 ), gira a uma velocidade angular ω (t -1 ) e este leva a um estresse S (ML -1 T -2 ) no material. Há uma solução teórica linear elástica, uma vez por coxo, a este problema, quando o disco é fina em relação à do seu raio, as faces do disco é livre para mover-se axialmente, e as relações constitutivas plano de tensão pode ser assumido como sendo válida. À medida que o disco se torna mais espessa em relação ao raio, em seguida, a solução de tensão plana decompõe. Se o disco é retida axialmente nas suas faces livres, em seguida, um estado de deformação plana irá ocorrer. No entanto, se este não for o caso, o estado de tensão só pode ser determinada, embora consideração de elasticidade tridimensional e não existe uma solução teórica conhecido para este caso. Um engenheiro pode, portanto, estar interessado em estabelecer uma relação entre as cinco variáveis. Análise dimensional para este caso conduz à seguinte (5 - 3 = 2) grupos não-dimensionais:

a procura / = capacidade ρR 2 ω 2 / S
espessura / raio ou relação de aspecto = t / R
análise dimensional e de simulações numéricas para um disco giratório

Através da utilização de simulações numéricas, utilizando, por exemplo, o método dos elementos finitos, a natureza da relação entre os dois grupos não-dimensionais podem ser obtidos como se mostra na figura. Como este problema envolve apenas dois grupos não-dimensional, o quadro completo é proporcionada em um único lote e isso pode ser usado como um gráfico de criação / avaliação para discos rotativos

extensões

extensão de Huntley: dirigido dimensões

Huntley ( Huntley 1967 ) apontou que às vezes é produtivo para refinar nosso conceito de dimensão. Dois refinamentos possíveis são:

  • A magnitude dos componentes de um vector são para ser considerados dimensionalmente distinta. Por exemplo, em vez do que uma dimensão de comprimento L indiferenciado, que pode ter L x representar dimensão na direcção x, e assim por diante. Esta exigência decorre em última análise, a partir da exigência de que cada componente de uma equação fisicamente significativa (escalar, vetor, ou tensores) deve ser dimensionalmente consistente.
  • Massa como uma medida da quantidade deve ser considerado distinto dimensionalmente a partir de massa como uma medida de inércia.

Como exemplo da utilidade do primeiro refinamento, suponha que desejamos calcular a distância uma bala de canhão viaja quando acionado com um componente de velocidade vertical e uma componente de velocidade horizontal , supondo que ele é disparado sobre uma superfície plana. Supondo que nenhum uso de comprimentos dirigidos, as quantidades de interesse são, em seguida, , , ambos dimensionados como LT -1 , R , a distância percorrida, tendo a dimensão L, e g a aceleração da gravidade para baixo, com dimensão LT -2 .

Com estas quatro quantidades, podemos concluir que a equação para a faixa de R pode ser escrito:

ou dimensionalmente

a partir do qual podemos deduzir que e , o que deixa um expoente indeterminado. Isso é para ser esperado uma vez que temos duas dimensões fundamentais L e T, e quatro parâmetros, com uma equação.

Se, no entanto, dimensões de comprimento, usamos dirigidos, em seguida, irá ser dimensionados como L x T -1 , como L Y T -1 , R como L x e g como L Y T -2 . A equação dimensional torna-se:

e podemos resolver completamente como , e . O aumento da potência deductive obtida pela utilização de dimensões de comprimento dirigidos é aparente.

De um modo semelhante, que por vezes é considerada útil (por exemplo, na mecânica de fluidos e termodinâmica) para distinguir entre a massa como uma medida de inércia (massa inercial), e de massa como uma medida da quantidade (massa substancial). Por exemplo, considere a derivação da Lei de Poiseuille . Queremos encontrar a taxa de fluxo de massa de um fluido viscoso por meio de um tubo circular. Sem estabelecer distinções entre massa inercial e substancial podemos escolher como as variáveis relevantes

  • a taxa de fluxo de massa com dimensão MT -1
  • o gradiente de pressão ao longo do tubo com a dimensão ML -2 T -2
  • ρ a densidade com dimensão ML -3
  • η a viscosidade do fluído dinâmico com a dimensão ML -1 T -1
  • r o raio do tubo com a dimensão L

Há três variáveis fundamentais para que os acima de cinco equações irá produzir duas variáveis adimensionais que podemos tomar para ser e e podemos expressar a equação dimensional como

onde C e um são constantes indeterminadas. Se uma distinção entre a massa inercial com dimensão e massa substancial com dimensão , em seguida, a taxa de fluxo de massa e densidade usará massa substancial como o parâmetro de massa, enquanto o gradiente de pressão e de coeficiente de viscosidade irá usar massa inercial. Agora temos quatro parâmetros fundamentais, bem como uma constante sem dimensão, de modo que a equação dimensional pode ser escrito:

onde agora só C é uma constante indeterminado (que se verificou ser igual a por métodos fora da análise dimensional). Esta equação pode ser resolvida para a taxa de fluxo de massa para produzir a lei de Poiseuille .

extensão da Siano: análise de orientação

extensão de Huntley tem alguns inconvenientes graves:

  • Ele não lida bem com equações vetoriais envolvendo o produto cruzado ,
  • nem segurar bem o uso de ângulos como variáveis físicas.

É também muitas vezes bastante difícil atribuir o L, L x , L y , L z , símbolos para as variáveis físicas envolvidas no problema de interesse. Ele invoca um procedimento que envolve a "simetria" do problema físico. Este é frequentemente muito difícil de aplicar de forma confiável: Não está claro como a que partes do problema que a noção de "simetria" está sendo invocado. É a simetria do corpo físico que as forças estão agindo sobre, ou para os pontos, linhas ou áreas em que forças estão a ser aplicadas? E se mais do que um corpo está envolvido com diferentes simetrias?

Considere a bolha esférica ligada a um tubo cilíndrico, em que se quer a taxa de fluxo de ar como uma função da diferença de pressão nas duas peças. Quais são os Huntley dimensões alargadas da viscosidade do ar contido nas peças ligadas? Quais são as dimensões estendidas da pressão das duas partes? Eles são iguais ou diferentes? Estas dificuldades são responsáveis ​​pela aplicação limitada da adição de Huntley para problemas reais.

Os ângulos são, por convenção, consideradas como variáveis adimensionais, e por isso o uso de ângulos como variáveis físicas na análise dimensional pode dar resultados menos significativos. Como exemplo, considere o problema projétil mencionado acima. Suponha que, em vez do xey componentes da velocidade inicial, tivéssemos escolhido a magnitude da velocidade v eo ângulo θ em que o projétil foi disparado. O ângulo é, por convenção, considerado adimensional, e a magnitude de um vector não tem qualidade direccional, de modo que nenhuma variável adimensional pode ser composta de quatro variáveis g , V , R , e q . Análise convencional dará corretamente os poderes de g e v , mas não dará nenhuma informação relativa ao ângulo sem dimensões θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) tem sugerido que as dimensões dirigidas de Huntley ser substituídos usando símbolos de orientação 1 x  1 y  1 z para indicar instruções vector, e um símbolo orientationless 1 0 . Assim, de Huntley L x torna-se L 1 X com L especificando a dimensão de comprimento, e 1 x especificando a orientação. Siano mostra ainda que os símbolos de orientação tem uma álgebra própria. Juntamente com a exigência de que um i -1 = 1 i , a tabela de multiplicação seguir para os resultados símbolos de orientação:

Note-se que os símbolos de orientação formar um grupo (a Klein quatro grupo ou "Viergruppe"). Neste sistema, escalares sempre têm a mesma orientação que o elemento de identidade, independente da "simetria do problema". Quantidades físicas que são vectores têm a orientação esperada: uma força ou uma velocidade na direcção-z tem a orientação de um Z . Para ângulos, considere um ângulo θ que se encontra no plano z. Formar um triângulo no plano z com θ sendo um dos ângulos agudos. O lado do triângulo direita adjacente ao ângulo, em seguida, tem uma orientação 1 x e o lado oposto tem uma orientação 1 y . Então, uma vez que tan ( θ ) = 1 y / 1 x = θ  + ... conclui-se que um ângulo no plano xy deve ter uma orientação 1 y / 1 x = 1 z , o qual não é razoável. Raciocínio análogo obriga a conclusão de que sen ( θ ) tem orientação 1 z enquanto cos ( θ ) tem uma orientação 0 . Estes são diferentes, então conclui-se (corretamente), por exemplo, que não há soluções de equações físicas que são da forma de cos ( θ ) + b sin ( θ ) , onde a e b são escalares reais. Note-se que uma expressão como não é dimensionalmente inconsistente uma vez que é um caso especial da soma de fórmula ângulos e deve adequadamente ser escrito:

que para e rendimentos . Grandezas físicas podem ser expressos como números complexos (por exemplo ) o que implica que a quantidade de complexo i tem uma orientação igual ao do ângulo que está associada com ( 1 z no exemplo acima).

A atribuição dos símbolos de orientação para quantidades físicas e a exigência de que as equações físicas ser orientationally homogênea pode realmente ser usado de uma forma que é semelhante à análise dimensional para obter um pouco mais de informação sobre as soluções aceitáveis ​​de problemas físicos. Nesta abordagem um configura a equação dimensional e resolve-lo, tanto quanto uma lata. Se o nível mínimo de potência de uma variável física é fraccionada, ambos os lados da solução é elevado a uma potência tal que todas as potências são integrais. Isso coloca-lo em "forma normal". A equação de orientação é então resolvido para dar uma condição mais restritiva sobre os poderes desconhecidos dos símbolos de orientação, chegar a uma solução que é mais completo do que aquele que a análise dimensional por si só dá. Muitas vezes, a informação adicional é que um dos poderes de uma determinada variável é par ou ímpar.

Como um exemplo, para o problema projéctil, por meio de símbolos de orientação, θ, sendo no plano xy terá, assim, dimensão 1 z e a gama do projéctil R será da forma:

Homogeneidade dimensional será agora produzir correctamente uma = -1 e b = 2 , e orientacional homogeneidade requer que c ser um inteiro ímpar. Na verdade, a função desejada da teta será sin ( θ ) cos ( q ) , que é uma série de poderes ímpares de θ .

Vê-se que a série de Taylor de sin ( θ ) e cos ( θ ) são orientationally homogênea usando a tabela de multiplicação acima, enquanto expressões como cos ( q ) + sin ( θ ) e exp ( θ ) não são, e estão (corretamente ) considerado não físico.

Deve ficar claro que a regra de multiplicação utilizados para os símbolos de orientação não é o mesmo que para o produto cruzado de dois vetores. O produto cruzado de dois vectores idênticos é zero, enquanto o produto de dois símbolos de orientação idênticas é o elemento de identidade.

conceitos adimensionais

constantes

As constantes adimensionais que surgem nos resultados obtidos, como o C no problema a Lei de Poiseuille e nos problemas primavera discutidos acima, vêm de uma análise mais detalhada da física subjacente e muitas vezes surgem de integrar alguma equação diferencial. Análise dimensional em si tem pouco a dizer sobre essas constantes, mas é útil saber que eles muitas vezes têm uma magnitude de ordem unitária. Esta observação pode permitem às vezes fazem " parte de trás do envelope " cálculos sobre o fenômeno de interesse, e, portanto, ser capaz de projetar de forma mais eficiente experimentos para medi-lo, ou para julgar se é importante, etc.

formalismos

Paradoxalmente, a análise dimensional pode ser uma ferramenta útil, mesmo se todos os parâmetros na teoria subjacente são sem dimensão, por exemplo, modelos de rede, tais como o modelo de Ising pode ser usado para estudar as transições de fase e fenómenos críticos. Tais modelos podem ser formuladas de uma maneira puramente dimensão. À medida que se aproximam do ponto crítico mais perto, a distância sobre a qual as variáveis no modelo de rede estão correlacionados (o assim chamado comprimento de correlação, ) torna-se maior e maior. Agora, o comprimento de correlação é a escala de comprimento relevante relacionada com fenômenos críticos, para que se possa, por exemplo, supor em "motivos tridimensionais" que a parte não-analítica da energia livre por site estrutura deve estar onde é a dimensão da rede.

Tem sido argumentado por alguns físicos, por exemplo, MJ Duff , que as leis da física são inerentemente sem dimensão. O fato de que temos atribuído dimensões incompatíveis com o comprimento, tempo e massa é, de acordo com este ponto de vista, apenas uma questão de convenção, a cargo do fato de que antes do advento da física moderna, não havia nenhuma maneira de se relacionar em massa, comprimento, e o tempo para o outro. As três constantes dimensionful independentes: C , ħ , e L , nas equações fundamentais da física deve, então, ser visto como factores de conversão para converter meros massa, tempo e Comprimento em um ao outro.

Assim como no caso de propriedades críticas de modelos de treliça, pode-se recuperar os resultados da análise dimensional no limite de escala adequada; por exemplo, em análise dimensional mecânica pode ser derivada por reinserir as constantes ħ , C , e G (mas agora podemos considerar que eles sejam adimensional) e exigindo que uma relação entre as quantidades não singular existe no limite , e . Em problemas que envolvem um campo gravitacional o último limite deve ser tomado tal que o campo permanece finito.

equivalências dimensionais

A seguir estão as tabelas de expressões que ocorrem comumente em física, relacionados com as dimensões de energia, impulso e vigor.

unidades SI

Energia, E

ML 2 T -2

Expressão Nomenclatura
Mecânico F = força , d = distância
S = acção , t = tempo , P = potência
m = massa , v = velocidade , p = impulso
L = momento angular , I = momento de inércia , ω = velocidade angular
Térmico P = a pressão, T = temperatura , S = entropia , k B = constante de Boltzmann , R = constante dos gases
ondas I = onda intensidade , S = vector de Poynting
eletromagnético q = carga eléctrica , φ = potencial eléctrico (para modificações este é de tensão )
E = Campo eléctrico , B = campo magnético ,
ε = permissividade , μ = permeabilidade ,
V = 3d volume de
p = momento de dipolo eléctrico , m = momento magnético,
A = área (limitado por um circuito de corrente), I = corrente eléctrica no circuito
Impulso, p

MLT -1

Expressão Nomenclatura
Mecânico m = massa, v = velocidade, F = força, t = tempo
S = acção, L = momento angular, r = deslocamento
Térmico = Raiz quadrada média velocidade, m = massa (de uma molécula)
ondas ρ = densidade , V = volume de , v = velocidade de fase
eletromagnético Um = potencial vector magnético
Força, F

MLT -2

Expressão Nomenclatura
Mecânico m = massa, um = aceleração
Térmico S = entropia, T = temperatura, r = deslocamento (ver força entrópica )
eletromagnético E = Campo eléctrico, B = magnético campo, v = velocidade, q = taxa

unidades naturais

Se c = ħ = 1 , em que c é a velocidade da luz e ħ é a reduzida constante de Planck , e uma unidade fixa apropriada de energia é escolhida, em seguida, todas as quantidades de comprimento L , a massa M e tempo t pode ser expresso (dimensionalmente) como uma fonte de energia e , porque o comprimento, a massa e o tempo pode ser expresso utilizando a velocidade v , a acção S , e energia e :

embora velocidade e acção são adimensionais ( v = c = 1 e S = ħ = 1 ) - para que a quantidade que resta com dimensão é energia. Em termos de poderes de dimensões:

Isto é particularmente útil na física das partículas e física de alta energia, caso em que a unidade de energia é a de electrões volt (eV). controle dimensional e estimativas tornam-se muito simples neste sistema.

No entanto, se cargas e correntes elétricas estão envolvidos, uma outra unidade a ser fixado é para carga elétrica, normalmente o elétron carga e embora outras opções são possíveis.

Quantidade p , q , r poderes de energia n poder de energia
p q r n
Ação, S 1 2 -1 0
Velocidade, v 0 1 -1 0
Massa, M 1 0 0 1
Comprimento, L 0 1 0 -1
Time, t 0 0 1 -1
Impulso, p 1 1 -1 1
Energia, E 1 2 -2 1

Veja também

áreas relacionadas da matemática

Notas

Referências

links externos

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