Bipiramide - Bipyramid

Conjunto de bipiramidas n- gonais duplas uniformes
Hexagonale bipiramide.png
Exemplo de bipirâmide hexagonal dual uniforme
Modelo dual- uniforme no sentido de poliedro semiregular dual
Diagrama de Coxeter CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel n.pngCDel node.png
Símbolo Schläfli {} + { n }
Rostos 2 n triângulos isósceles congruentes
Arestas 3 n
Vértices 2 + n
Configuração de rosto V4.4. n
Grupo de simetria D n h , [ n , 2], (* n 22), ordem 4 n
Grupo de rotação D n , [ n , 2] + , ( n 22), ordem 2 n
Poliedro duplo (convexo) prisma n- diagonal uniforme
Propriedades vértices regulares convexos , transitivos de face
Internet Bipiramida generalizada net.svg
Rede de bipiramide pentagonal de exemplo ( n = 5)
Uma bipirâmide feita com canudos e elásticos . (Um canudo axial extra é adicionado, o qual não existe no poliedro simples.)

Uma bipirâmide ou dipirâmide n- diagonal (simétrica) é um poliedro formado pela união de uma pirâmide n- diagonal e sua imagem espelhada de base a base. Uma bipirâmide n -gonal tem 2 n faces triangulares , 3 n arestas e 2 + n vértices.

O n -gão referenciado em nome de uma bipirâmide não é uma face, mas a base do polígono interno, situada no plano do espelho que conecta as duas metades da pirâmide. (Se fosse uma face, cada uma de suas arestas conectaria três faces em vez de duas.)

"Regular", bipiramides direitas

Uma bipirâmide "regular" tem uma base poligonal regular . Geralmente está implícito que também é uma bipiramide direita .

Uma bipirâmide direita tem seus dois ápices logo acima e logo abaixo do centro ou do centroide de sua base poligonal.

Uma bipirâmide "regular" direita (simétrica) n- diagonal tem o símbolo Schläfli {} + { n }.

Uma bipiramide direita (simétrica) tem o símbolo Schläfli {} + P , para a base poligonal P.

O direito "regular" (assim, face-transitivo ) n bipirâmide -gonal com vértices regulares é a dupla do n (assim direita) -gonal uniforme prisma , e tem congruentes triângulo isósceles rostos.

Uma bipirâmide n- diagonal "regular" direita (simétrica) pode ser projetada em uma esfera ou globo como uma bipirâmide esférica n- diagonal "regular" direita (simétrica) : n linhas igualmente espaçadas de longitude indo de pólo a pólo e um equador linha cortando- os ao meio.

Bipiramidas "regulares" direitas (simétricas) n- gonais:
Nome da bipirâmide Bipiramide digonal Bipirâmide triangular
(Ver: J 12 )
Bipirâmide quadrada
(Ver: O )
Bipirâmide pentagonal
(Ver: J 13 )
Bipirâmide hexagonal Bipirâmide heptagonal Bipirâmide octogonal Bipiramide eneagonal Bipirâmide decagonal ... Bipiramide apeirogonal
Imagem poliedro Triangular bipyramid.png Square bipyramid.png Pentagonale bipiramide.png Hexagonale bipiramide.png Heptagonal bipyramid.png Octagonal bipyramid.png Enneagonal bipyramid.png Decagonal bipyramid.png ...
Imagem de ladrilho esférico Bipiramida digonal esférica.svg Spherical trigonal bipyramid.png Quadrado esférico bipiramida.svg Spherical pentagonal bipyramid.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid.png Bipirâmide eneagonal esférica.png Spherical decagonal bipyramid.png Imagem de ladrilho plano Infinite bipyramid.svg
Face config. V2.4.4 V3.4.4 V4.4.4 V5.4.4 V6.4.4 V7.4.4 V8.4.4 V9.4.4 V10.4.4 ... V∞.4.4
Diagrama de Coxeter CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 10.pngCDel node.png ... CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node.png

Bipiramidas triangulares equilaterais

Apenas três tipos de bipiramides podem ter todas as arestas do mesmo comprimento (o que implica que todas as faces são triângulos equiláteros e, portanto, a bipiramida é um deltaedro ): as bipiramides "regulares" direitas (simétricas) triangulares , tetragonais e pentagonais . A bipirâmide tetragonal ou quadrada com bordas de mesmo comprimento, ou octaedro regular , conta entre os sólidos platônicos ; as bipiramides triangulares e pentagonais com arestas de mesmo comprimento contam entre os sólidos de Johnson (J 12 e J 13 ).

Bipiramidas de triângulo equilateral:

Nome de bipirâmide "normal" à direita (simétrico)
Bipiramide triangular
(J 12 )
Bipirâmide tetragonal
(octaedro regular)
Bipirâmide pentagonal
(J 13 )
Imagem bipiramida Triangular dipyramid.png Octahedron.svg Pentagonal dipyramid.png

Simetria caleidoscópica

Uma bipirâmide "regular" direita (simétrica) n- diagonal tem grupo de simetria diédrica D n h , de ordem 4 n , exceto no caso de um octaedro regular , que tem o maior grupo de simetria octaédrica O h , de ordem 48, que tem três versões do D 4h como subgrupos. O grupo de rotação é D n , de ordem 2 n , exceto no caso de um octaedro regular, que possui o maior grupo de rotação O, de ordem 24, que possui três versões de D 4 como subgrupos.

As 4 n faces do triângulo de uma bipirâmide 2 n- diagonal "regular" direita (simétrica) , projetada como as 4 n faces do triângulo esférico de uma bipirâmide esférica "regular" direita (simétrica) 2 n- diagonal , representam os domínios fundamentais do diédrico simetria em três dimensões : D n h , [ n , 2], (* n 22), ordem 4 n . Esses domínios podem ser mostrados como triângulos esféricos de cores alternadas:

  • em um plano de reflexão através de bordas cíclicas , os domínios da imagem no espelho estão em cores diferentes (isometria indireta);
  • sobre um eixo de rotação de n vezes através de vértices opostos , um domínio e sua imagem estão na mesma cor (isometria direta).

Um n -gonal bipirâmide (simétrica) pode ser visto como o Kleetope do "correspondente" n -gonal diedro .

Domínios fundamentais de simetria diedral em três dimensões:
D n h D 1h D 2h D 3h D 4h D 5h D 6h ...
Imagem de domínios fundamentais Bipiramid2.svg digonal esférico Quadrado esférico bipiramid2.svg Esférico hexagonal bipiramid2.png Bipirâmide octogonal esférica2.png Bipiramide decagonal esférica2.png Bipirâmide dodecagonal esférica2.png ...

Volume

Volume de uma bipirâmide (simétrica):

onde B é a área da base eh a altura do plano da base até um ápice.

Isso funciona para qualquer forma da base e para qualquer localização do vértice, desde que h seja medido como a distância perpendicular ao plano que contém a base do polígono interno. Portanto:

Volume de uma bipirâmide (simétrica) cuja base é um polígono regular de n lados com comprimento lateral s e cuja altura é h :

Bipiramidas oblíquas

As bipiramidas não direitas são chamadas de bipiramidas oblíquas .

Bipiramidas côncavas

Uma bipiramide côncava tem uma base poligonal côncava .

Exemplo de bipirâmide tetragonal côncava (simétrica) (*)

(*) Sua base não possui centróide óbvio ; se seus ápices não estão logo acima / abaixo do centro de gravidade de sua base, não é uma bipirâmide direita . De qualquer forma, é um octaedro côncavo.

Bipiramidas assimétricas / invertidas à direita

Uma bipiramide direita assimétrica une duas pirâmides direitas com bases congruentes, mas alturas desiguais, base a base.

Uma bipirâmide direita invertida une duas pirâmides direitas com bases congruentes, mas alturas desiguais, base a base, mas no mesmo lado de sua base comum.

O dual de uma bipirâmide direita assimétrica ou invertida é um tronco .

Uma bipiramide "regular" assimétrica / invertida à direita n- diagonal tem grupo de simetria C n v , de ordem 2 n .

Exemplo de bipiramidas "regulares" assimétricas / invertidas hexagonais à direita:
Assimétrico Invertido
Bipyramid hexagonal assimétrico.png Bipyramid hexagonal assimétrico invertido.png

Bipiramidas triângulo escaleno

Exemplo de bipiramide ditetragonal

Um " isotoxal " direita (simétrica) de di- n bipirâmide -gonal é um direito (simétrica) 2 n bipirâmide -gonal com um isotoxal base de polígono simples: os seus 2 n vértices em torno lados são coplanares, mas em alternativa dois raios.

Um "isotoxal" direita (simétrica) de di- n bipirâmide -gonal tem n eixos de duas pregas de rotação por meio de vértices, em torno de lados n planos de reflexão através de vértices e vértices, um n eixo de rotação através de vezes de vértices, um plano de reflexão através da base, e um eixo de rotação-reflexão de n vezes através dos ápices, representando o grupo de simetria D n h , [ n , 2], (* 22 n ), de ordem 4 n . (A reflexão no plano de base corresponde à reflexão de rotação de 0 °. Se n for par, há uma simetria em torno do centro, correspondendo à reflexão de rotação de 180 °.)

Todas as suas faces são triângulos escalenos congruentes e é isohedral . Ele pode ser visto como um outro tipo de di- "simétrica" direito n -gonal scalenohedron .

Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isósceles.

Exemplo:

  • A bipirâmide "isotoxal" direita (simétrica) "didigonal" (*) com vértices de base:
U = (1,0,0), U ′ = (−1,0,0), V = (0,2,0), V ′ = (0, −2,0),
e com ápices:
A = (0,0,1), A ′ = (0,0, −1),
tem dois comprimentos de borda diferentes:
UV = UV ′ = U′V = U′V ′ = 5 ,
AU = AU ′ = A′U = A′U ′ = 2 ,
AV = AV ′ = A′V = A′V ′ = 5 ;
portanto, todas as faces do triângulo são isósceles.
  • A bipirâmide "isotoxal" direita (simétrica) "didigonal" (*) com os mesmos vértices da base, mas com altura do ápice: 2, também tem dois comprimentos de aresta diferentes: 5 e 2 2 .

Na cristalografia , existem bipiramides "isotóxicas" à direita (simétrica) "didigonal" (*) (8 faces), ditrigonal (12 faces), ditetragonal (16 faces) e dihexagonal (24 faces).

Exemplo de bipiramidas rômbicas

(*) As menores di- geométricas n bipyramids -gonal tem oito faces, e são topologicamente idêntico ao octaedro regular . Neste caso (2 n  = 2 × 2):
uma bipiramide direita "isotoxal" (simétrica) "didigonal" é chamada de bipiramide rômbica , embora todas as suas faces sejam triângulos escalenos, porque sua base poligonal plana é um losango.

Scalenohedra

Um escalenoedro "regular" direito "simétrico" di- n -gonal pode ser feito com uma base em ziguezague regular de 2 n -gon, dois vértices simétricos logo acima e logo abaixo do centro da base e faces de triângulo conectando cada aresta da base a cada vértice .

Possui dois ápices e 2 n vértices ao redor dos lados, 4 n faces e 6 n arestas; é topologicamente idêntico a uma bipirâmide 2 n- diagonal, mas seus 2 n vértices em torno dos lados se alternam em dois anéis acima e abaixo do centro.

Exemplo de escalenoedro ditrigonal

Um certo "simétrica" di "normal" n scalenohedron -gonal tem n eixos de duas pregas de rotação até meados de arestas em torno lados, n planos de reflexão através de vértices e vértices, um n eixo de rotação através de vezes de vértices, e um n fold eixo rotação-reflexão através dos ápices, representando o grupo de simetria D n v = D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ), de ordem 4 n . (Se n for ímpar, há uma simetria em torno do centro, correspondendo à reflexão de rotação de 180 °.)

Todas as suas faces são triângulos escalenos congruentes e é isohedral . Ele pode ser visto como um outro tipo de 2 "simétrica" direito n bipirâmide -gonal, com um regulares inclinação ziguezague base de polígono.

Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isoceles .


Na cristalografia , existem escalenoedros "regulares" à direita "simétricos" "didigonal" (8 faces) e ditrigonal (12 faces).

Os menores escalenoedros geométricos têm oito faces e são topologicamente idênticos ao octaedro regular . Neste caso (2 n  = 2 × 2):
um escalenoedro "regular" direito "simétrico" "didigonal" é denominado escalenoedro tetragonal ; seus seis vértices podem ser representados como (0,0, ± 1), (± 1,0, z ), (0, ± 1, - z ), onde z é um parâmetro entre 0 e 1; em z  = 0, é um octaedro regular; em z  = 1, é um disfenóide com todas as faces coplanares mescladas (quatro triângulos isósceles congruentes); para z  > 1, torna-se côncavo.

Variações geométricas do escalenoedro de 8 faces "regulares" à direita "simétrica":
z  = 0,1 z  = 0,25 z  = 0,5 z  = 0,95 z  = 1,5
4-scalenohedron-01.png 4-scalenohedron-025.png 4-scalenohedron-05.png 4-scalenohedron-095.png 4-escalenoedro-15.png
Exemplo de disfenóides e escalenoedro de 8 faces

Nota: Se a base de 2 n- gon for isotoxal in-out e ziguezague skew, então nem todas as faces triangulares do sólido "isotóxico" direito "simétrico" são congruentes.

Exemplo:

  • O sólido com isotoxal in-out ziguezague skew vértices de base 2 × 2 gon:
U = (1,0,1), U ′ = (−1,0,1), V = (0,2, −1), V ′ = (0, −2, −1),
e com vértices simétricos "certos":
A = (0,0,3), A ′ = (0,0,3),
tem cinco comprimentos de borda diferentes:
UV = UV ′ = U′V = U′V ′ = 3,
AU = AU ′ = 5 ,
AV = AV ′ = 2 5 ,
A′U = A′U ′ = 17 ,
A′V = A′V ′ = 2 2 ;
portanto, nem todas as faces do triângulo são congruentes.

Bipiramidas estrela "normais"

Uma bipirâmide de auto-intersecção ou estrela tem uma base de polígono em estrela .

A "regular" simétrica direito bipirâmide estrela pode ser feita com um normal base de estrela polígono, dois simétricos ápices direita acima e à direita abaixo do centro da base, e, assim, um-para-um simétrica faces triangulares conectando cada aresta base para cada vértice.

Uma bipirâmide estrela simétrica "regular" à direita tem faces triangulares isósceles congruentes e é isohedral .

Nota: Para no máximo uma altura de vértice particular, as faces do triângulo podem ser equiláteras.

Uma { p / q } -bipiramida tem diagrama de Coxeter CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node.png.

Exemplo de bipiramidas estrela simétricas "regulares" à direita:
Base do polígono em estrela 5/2 -gon 7/2-gon 7/3 gon 8/3 gon 9/2-gon 9/4 gon
Imagem de estrela bipirâmide Pentagram Dipyramid.png 7-2 dipyramid.png 7-3 dipyramid.png 8-3 dipyramid.png 9-2 dipyramid.png 9-4 dipyramid.png
Diagrama de Coxeter CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png
Exemplo de bipiramidas estrela simétricas "regulares" à direita:
Base do polígono em estrela 10/3 gon 11/2-gon 11/3 gon 11/4 gon 11/5 gon 12/5 gon
Imagem de estrela bipirâmide 10-3 dipyramid.png 11-2 dipyramid.png 11-3 dipyramid.png 11-4 dipyramid.png 11-5 dipyramid.png 12-5 dipyramid.png
Diagrama de Coxeter CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 12.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png

Bipiramidas estrela em triângulo escaleno

Uma bipirâmide estrela simétrica 2 p / q -gonal "isotoxal" direita pode ser feita com uma base de estrela 2 p / q -gon isotoxal , dois vértices simétricos logo acima e logo abaixo do centro da base, e, portanto, um-para- um triângulo simétrico enfrenta conectando cada aresta de base a cada vértice.

Uma estrela bipirâmide 2 p / q -gonal "isotóxica" simétrica à direita tem faces de triângulo escaleno congruente e é isohédrica . Pode ser visto como outro tipo de escalenoedro em estrela 2 p / q -gonal direito "simétrico" .

Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isoceles.

Exemplo de bipiramide estrela simétrica à direita "isotóxica":
Base do polígono em estrela Isotoxal in-out 8/3-gon
Imagem de bipirâmide estrela em triângulo escaleno 8-3-bipyramid-inout.png

Escalenoedro estrela

A "regular" direito "simétrica" 2 p / q scalenohedron -gonal estrela pode ser feita com um regulares ziguezague inclinação estrela 2 p / q Gon base, dois simétricos ápices direita acima e à direita abaixo do centro da base, e faces triangulares ligando cada borda da base para cada vértice.

Um escalenoedro de estrela "regular" "simétrico" 2 p / q -gonal tem faces de triângulos escalenos congruentes e é isohédrico . Pode ser visto como outro tipo de estrela bipirâmide 2 p / q -gonal "simétrica" certa, com uma base poligonal de estrela inclinada em zigue-zague regular.

Nota: Para no máximo duas alturas de vértice particulares, as faces do triângulo podem ser isósceles .

Exemplo de escalenoedro estrela "regular" à direita "simétrica":
Base do polígono em estrela Inclinação regular em ziguezague 8/3 gon
Imagem de escalenoedro em estrela 8-3-bipyramid zigzag.png

Nota: Se a base da estrela 2 p / q -gon for isotoxal de dentro para fora e inclinação em zigue-zague, então nem todas as faces do triângulo do poliedro estrela "isotóxico" direito "simétrico" são congruentes.

Exemplo de poliedro estrela "isotóxico" "simétrico" à direita:
Base do polígono em estrela Isotoxal in-out ziguezag skew 8/3-gon
Imagem de estrela poliedro 8-3-dipyramid zigzag inout.png

Com vértices de base:

U 0 = (1,0,1), U 1 = (0,1,1), U 2 = (−1,0,1), U 3 = (0, −1,1),
V 0 = (2,2, −1), V 1 = (−2,2, −1), V 2 = (−2, −2, −1), V 3 = (2, −2, −1 ),

e com ápices:

A = (0,0,3), A ′ = (0,0, −3),

tem quatro comprimentos de aresta diferentes:

U 0 V 1 = V 1 U 3 = U 3 V 0 = V 0 U 2 = U 2 V 3 = V 3 U 1 = U 1 V 2 = V 2 U 0 = 17 ,
AU 0 = AU 1 = AU 2 = AU 3 = 5 ,
AV 0 = AV 1 = AV 2 = AV 3 = 2 6 ,
A′U 0 = A′U 1 = A′U 2 = A′U 3 = 17 ,
A′V 0 = A′V 1 = A′V 2 = A′V 3 = 2 3 ;

portanto, nem todas as faces do triângulo são congruentes.

4-politopos com células bipiramidais

O dual da retificação de cada 4-politopos regulares convexos é um 4-politopo transitivo de células com células bipiramidais. A seguir, o vértice do vértice da bipirâmide é A e um vértice do equador é E. A distância entre vértices adjacentes no equador EE = 1, o vértice para a borda do equador é AE e a distância entre os vértices é AA. O 4-politopo bipiramídico terá vértices V A onde os ápices das bipiramides N A se encontram. Ele terá vértices V E onde os vértices tipo E de N E bipiramides se encontram. As bipiramides N AE encontram-se ao longo de cada borda do tipo AE. As bipiramides N EE encontram-se ao longo de cada borda do tipo EE. C AE é o cosseno do ângulo diedro ao longo de uma aresta AE. C EE é o cosseno do ângulo diedro ao longo de uma aresta EE. Como as células devem caber em torno de uma aresta, N AA cos −1 (C AA ) ≤ 2 π , N AE cos −1 (C AE ) ≤ 2 π .

Propriedades de 4 politopos Propriedades bipiramídicas
Dual de
Diagrama de Coxeter
Células V A V E N A N E N AE N EE Célula
Diagrama de Coxeter
AA AE ** C AE C EE
5 células retificadas CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 5 5 4 6 3 3 Bipirâmide triangular CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,667
Tesserato retificado CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 32 16 8 4 12 3 4 Bipirâmide triangular CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,624
24 células retificadas CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 96 24 24 8 12 4 3 Bipirâmide triangular CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,745
120 células retificadas CDel node.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 1200 600 120 4 30 3 5 Bipirâmide triangular CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png 0,613
16 células retificadas CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 24 * 8 16 6 6 3 3 Bipirâmide quadrada CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png 1
Favo de mel cúbico retificado CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 6 12 3 4 Bipirâmide quadrada CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png 0,866
600 células retificadas CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 720 120 600 12 6 3 3 Bipirâmide pentagonal CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node.png 1.447
* As 16 células retificadas são as 24 células regulares e os vértices são todos equivalentes - os octaedros são bipiramídeos regulares.
** Dado numericamente devido à forma mais complexa.

Dimensões superiores

Em geral, uma bipiramide pode ser vista como um n - politopo construído com um ( n  - 1) -polítopo em um hiperplano com dois pontos em direções opostas, a mesma distância perpendicular ao hiperplano. Se o ( n  - 1) -polítopo for um politopo regular, ele terá facetas piramidais idênticas . Um exemplo é a de 16 células , que é uma bipiramide octaédrica e, mais geralmente, um n - ortoplexo é uma  bipirâmide ( n - 1) - ortoplexo.

Uma bipirâmide bidimensional é um losango .

Veja também

Referências

Citações

Referências gerais

  • Anthony Pugh (1976). Poliedros: uma abordagem visual . Califórnia: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duplos dos poliedros arquimedianos, prisma e antiprismas

links externos