Integral direto - Direct integral

Em matemática e análise funcional, uma integral direta é uma generalização do conceito de soma direta . A teoria é mais desenvolvida para integrais diretos de espaços de Hilbert e integrais diretos de álgebras de von Neumann . O conceito foi apresentado em 1949 por John von Neumann em um dos artigos da série On Rings of Operators . Um dos objetivos de von Neumann neste artigo era reduzir a classificação das (agora chamadas) álgebras de von Neumann em espaços de Hilbert separáveis ​​à classificação dos chamados fatores. Fatores são análogos a álgebras de matriz completa sobre um campo, e von Neumann queria provar um análogo contínuo do teorema de Artin-Wedderburn classificando anéis semi-simples.

Os resultados em integrais diretos podem ser vistos como generalizações de resultados sobre C * -álgebras de dimensão finita de matrizes; neste caso, os resultados são fáceis de provar diretamente. O caso de dimensão infinita é complicado por tecnicidade da teoria da medida.

A teoria integral direta também foi usada por George Mackey em sua análise de sistemas de imprimitividade e sua teoria geral de representações induzidas de grupos separáveis ​​localmente compactos.

Integrais diretos de espaços de Hilbert

O exemplo mais simples de um integrante directa são os L ² espaços associados a um (σ-finita) μ medida contavelmente aditivo em um espaço mensurável X . De maneira um pouco mais geral, pode-se considerar um espaço Hilbert separável H e o espaço de funções H quadradas integráveis avaliadas

${\ displaystyle L _ {\ mu} ^ {2} (X, H).}$

Nota terminológica : Segue-se aqui a terminologia adotada pela literatura sobre o assunto, segundo a qual um espaço mensurável X é referido como um espaço de Borel e os elementos da distinta σ-álgebra de X como conjuntos de Borel, independentemente de serem ou não a σ-álgebra subjacente vem de um espaço topológico (na maioria dos exemplos vem). Um espaço de Borel é padrão se e somente se for isomórfico ao espaço de Borel subjacente de um espaço polonês ; todos os espaços poloneses de uma determinada cardinalidade são isomórficos entre si (como espaços de Borel). Dada uma medida aditiva contável μ em X , um conjunto mensurável é aquele que difere de um conjunto de Borel por um conjunto nulo . A medida μ em X é uma medida padrão se e somente se houver um conjunto nulo E tal que seu complemento X - E seja um espaço de Borel padrão . Todas as medidas consideradas aqui são σ-finitas.

Definição . Seja X um espaço de Borel equipado com uma medida aditiva contável μ. Uma família mensurável de espaços de Hilbert em ( X , μ) é uma família { H _x } _{x ∈ X} , que é localmente equivalente a uma família trivial no seguinte sentido: Há uma partição contável

${\ displaystyle \ {X_ {n} \} _ {1 \ leq n \ leq \ omega}}$

por subconjuntos mensuráveis ​​de X, de modo que

${\ displaystyle H_ {x} = \ mathbf {H} _ {n} \ quad x \ in X_ {n}}$

onde H _n é o espaço de Hilbert n- dimensional canônico , isto é

${\ displaystyle \ mathbf {H} _ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathbb {C} ^ {n} & {\ mbox {if}} n <\ omega \\\ ell ^ { 2} & {\ mbox {if}} n = \ omega \ end {matrix}} \ right.}$

Uma secção transversal de { H _x } _{x ∈ X} é uma família { s _X } _{x ∈ X} de tal forma que s _x ∈ H _x para todos os x ∈ X . Uma seção transversal é mensurável se e somente se sua restrição a cada elemento de partição X _n for mensurável. Identificaremos seções transversais mensuráveis s , t que são iguais em quase todos os lugares . Dada uma família mensurável de espaços de Hilbert, a integral direta

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

consiste em classes equivalentes (em relação a quase todos igualdade) de mensuráveis quadrados integráveis secções transversais de { H _x } _{x ∈ X} . Este é um espaço Hilbert sob o produto interno

${\ displaystyle \ langle s | t \ rangle = \ int _ {X} \ langle s (x) | t (x) \ rangle \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

Dada a natureza local de nossa definição, muitas definições aplicáveis ​​a espaços de Hilbert únicos se aplicam a famílias mensuráveis ​​de espaços de Hilbert também.

Observação . Esta definição é aparentemente mais restritiva do que a dada por von Neumann e discutida no tratado clássico de Dixmier sobre as álgebras de von Neumann. Na definição mais geral, as fibras espaciais de Hilbert H _x podem variar de ponto a ponto sem ter um requisito de trivialidade local (local em um sentido teórico de medida). Um dos principais teoremas da teoria de von Neumann é mostrar que de fato a definição mais geral pode ser reduzida à mais simples dada aqui.

Observe que a integral direta de uma família mensurável de espaços de Hilbert depende apenas da classe de medida da medida μ; mais precisamente:

Teorema . Suponha que μ, ν são medidas σ-finitas contáveis ​​aditivas em X que têm os mesmos conjuntos de medida 0. Então, o mapeamento

${\ displaystyle s \ mapsto \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} \ right) ^ {1/2} s}$

é um operador unitário

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Exemplo

Tecnicamente, os exemplos mais simples são quando X é um conjunto contável e μ é uma medida discreta. Ao longo do artigo, vamos considerar o exemplo de execução seguinte, no qual X = N e μ é contando medida em N . Neste caso, qualquer sequência { H _k } de espaços de Hilbert separáveis ​​pode ser considerada como uma família mensurável. Além disso,

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ cong \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

Operadores decomponíveis

Em nosso exemplo de execução, qualquer operador linear limitado T em

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {N}} H_ {k}}$

é dado por uma matriz infinita

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ cdots & T_ {1n} & \ cdots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ cdots & T_ {2n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ T_ {n1} & T_ {n2} & \ cdots & T_ {nn} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ fim de {bmatrix}}.}$

Considere os operadores que têm diagonal de bloco , ou seja, todas as entradas fora da diagonal são zero. Chamamos esses operadores de decomponíveis . Esses operadores podem ser caracterizados como aqueles que comutam com matrizes diagonais:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & 0 & \ cdots & 0 & \ cdots \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ cdots & 0 & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ cdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ lambda _ {n} & \ cdots \\\ vdots & \ vdots & \ cdots & \ vdots & \ ddots \ end {bmatrix}}.}$

Agora procedemos à definição geral: Uma família de operadores limitados { T _x } _{x ∈ X} com T _x ∈ L ( H _x ) é dita ser fortemente mensurável se e somente se sua restrição a cada X _n for fortemente mensurável. Isso faz sentido porque H _x é constante em X _n .

Famílias mensuráveis ​​de operadores com uma norma essencialmente limitada, que é

${\ displaystyle \ operatorname {ess-sup} _ {x \ in X} \ | T_ {x} \ | <\ infty}$

definir operadores lineares limitados

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) \ in \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ { x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

agindo de maneira pontual, isto é

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus } \ s_ {x} d \ mu (x) {\ bigg)} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ T_ {x} (s_ {x}) d \ mu (x).}$

Esses operadores são considerados decomponíveis .

Exemplos de operadores capazes de se decomporem são os definidos pelo valor escalar (ou seja, C -valued) funções mensuráveis X em X . Na verdade,

Teorema . O mapeamento

${\ displaystyle \ phi: L _ {\ mu} ^ {\ infty} (X) \ rightarrow \ operatorname {L} {\ bigg (} \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x) {\ bigg)}}$

dado por

${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ \ lambda _ {x} d \ mu (x)}$

é um isomorfismo algébrico involutivo em sua imagem.

Por esta razão, iremos identificar L ^∞ _μ ( X ) com a imagem de φ.

Teorema Operadores decomponíveis são precisamente aqueles que estão no operador comutante da álgebra abeliana L ^∞ _μ ( X ).

Decomposição de álgebras de Abelian von Neumann

O teorema espectral tem muitas variantes. Uma versão particularmente poderosa é a seguinte:

Teorema . Para qualquer álgebra Abeliana de von Neumann A em um espaço de Hilbert separável H , há um espaço de Borel padrão X e uma medida μ em X tal que é unitariamente equivalente como uma álgebra de operador a L ^∞ _μ ( X ) agindo em uma integral direta de Espaços de Hilbert

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x). \ quad}$

Para afirmar A é unitariamente equivalente a L ^∞ _μ ( X ) como uma álgebra de operador significa que há uma unidade

${\ displaystyle U: H \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

tal que U A U * é a álgebra dos operadores diagonais L ^∞ _μ ( X ). Observe que isso afirma mais do que apenas a equivalência algébrica de A com a álgebra de operadores diagonais.

Esta versão, no entanto, não afirma explicitamente como o espaço X padrão do Borel é obtido. Há um resultado de exclusividade para a decomposição acima.

Teorema . Se a álgebra Abeliana de von Neumann A é unitariamente equivalente a L ^∞ _μ ( X ) e L ^∞ _ν ( Y ) agindo nos espaços integrais diretos

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x), \ quad \ int _ {Y} ^ {\ oplus} K_ {y} d \ nu (y)}$

e μ, ν são medidas padrão, então há um isomorfismo de Borel

${\ displaystyle \ varphi: XE \ rightarrow YF}$

onde E , F são conjuntos nulos de modo que

${\ displaystyle K _ {\ phi (x)} = H_ {x} \ quad {\ mbox {quase todos os lugares}}}$

φ é um isomorfismo da classe de medida, ou seja, φ e seu inverso preserva conjuntos de medida 0.

Os dois teoremas anteriores fornecem a classificação completa das álgebras de Abelian von Neumann em espaços de Hilbert separáveis. Observe que esta classificação realmente leva em consideração a realização da álgebra de von Neumann como uma álgebra de operadores. Se considerarmos apenas a álgebra de von Neumann subjacente independentemente de sua realização como uma álgebra de von Neumann, então sua estrutura é determinada por invariantes teóricos de medida muito simples.

Integrais diretos de álgebras de von Neumann

Seja { H _x } _{x ∈ X} uma família mensurável de espaços de Hilbert. Uma família de álgebras de von Neumann { A _x } _{x ∈ X} com

${\ displaystyle A_ {x} \ subseteq \ operatorname {L} (H_ {x})}$

é mensurável se e somente se houver um conjunto contável D de famílias de operadores mensuráveis ​​que geram pontualmente { A _x } _{x ∈ X} como uma álgebra de von Neumann no seguinte sentido: Para quase todos os x ∈ X ,

${\ displaystyle \ operatorname {W ^ {*}} (\ {S_ {x}: S \ in D \}) = A_ {x}}$

onde * W ( S ) indica a álgebra de Von Neumann gerado pelo conjunto de S . Se { A _x } _{x ∈ X} é uma família mensurável de álgebras de von Neumann, a integral direta das álgebras de von Neumann

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

consiste em todos os operadores do formulário

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} T_ {x} d \ mu (x)}$

para T _x ∈ A _x .

Um dos principais teoremas de von Neumann e Murray em sua série original de artigos é uma prova do teorema da decomposição: qualquer álgebra de von Neumann é uma integral direta de fatores. Declaramos isso precisamente abaixo.

Teorema . Se { A _x } _{x ∈ X} é uma família mensurável de álgebras de von Neumann e μ é padrão, então a família de comutantes de operador também é mensurável e

${\ displaystyle {\ bigg [} \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x) {\ bigg]} '= \ int _ {X} ^ {\ oplus} A'_ {x} d \ mu (x).}$

Decomposição central

Suponha que A seja uma álgebra de von Neumann. seja Z ( A ) o centro de A , que é o conjunto de operadores em A que comutam com todos os operadores A , ou seja

${\ displaystyle \ mathbf {Z} (A) = A \ cap A '}$

Z ( A ) é uma álgebra Abeliana de von Neumann.

Exemplo . O centro de L ( H ) é unidimensional. Em geral, se A é uma álgebra de von Neumann, se o centro é unidimensional, dizemos que A é um fator .

Agora, suponha que A seja uma álgebra de von Neumann cujo centro contém uma sequência de projeções ortogonais pareadas mínimas não nulas { E _i } _{i ∈ N} tais que

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} E_ {i}}$

Então A E _i é uma álgebra de von Neumann no intervalo H _i de E _i . É fácil ver que A E _i é um fator. Portanto, neste caso especial

${\ displaystyle A = \ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} AE_ {i}}$

representa A como uma soma direta de fatores. Este é um caso especial do teorema da decomposição central de von Neumann.

Em geral, podemos aplicar o teorema de estrutura das álgebras de Abelian von Neumann que representa Z ( A ) como uma álgebra de operadores escalares diagonais. Em qualquer representação, todos os operadores em A são operadores decomponíveis. Na verdade, podemos usar isso para provar o resultado básico de von Neumann de que qualquer álgebra de von Neumann admite uma decomposição em fatores.

Teorema . Suponha

${\ displaystyle H = \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} d \ mu (x)}$

é uma decomposição integral direta de H e A é uma álgebra de Von Neumann em H de forma que Z ( A ) é representado pela álgebra de operadores escalares diagonais L ^∞ _μ ( X ) onde X é um espaço de Borel padrão. Então

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ int _ {X} ^ {\ oplus} A_ {x} d \ mu (x)}$

onde para quase todo x ∈ X , A _x é uma álgebra de Von Neumann que é um fator .

Famílias mensuráveis ​​de representações

Se A é uma C * -álgebra separável, podemos considerar famílias mensuráveis ​​de representações * não degeneradas de A ; lembre-se de que, no caso de A ter uma unidade, a não degenerescência é equivalente à preservação da unidade. Pela correspondência geral que existe entre representações unitárias fortemente contínuas de um grupo G localmente compacto e representações não degeneradas * dos grupos C * -álgebra C * ( G ), a teoria para C * -álgebras fornece imediatamente uma teoria de decomposição para representações de grupos compactos localmente separáveis.

Teorema . Deixe Um ser uma separáveis C * -álgebra e π uma representação involutiva não degenerado de um em um espaço separável de Hilbert H . Seja W * (π) ser o álgebra de von Neumann gerado pelo operadores π ( um ) para um ∈ Uma . Então, correspondendo a qualquer decomposição central de W * (π) sobre um espaço de medida padrão ( X , μ) (que, como afirmado, é único em um sentido teórico de medida), há uma família mensurável de representações de fator

${\ displaystyle \ {\ pi _ {x} \} _ {x \ in X}}$

de um tal que

${\ displaystyle \ pi (a) = \ int _ {X} ^ {\ oplus} \ pi _ {x} (a) d \ mu (x), \ quad \ forall a \ in A.}$

Além disso, existe um subconjunto N de X com μ medida zero, de modo que π _x , π _y são disjuntos sempre que x , y ∈ X - N , onde as representações são ditas disjuntas se e somente se não houver operadores entrelaçados entre eles .

Pode-se mostrar que a integral direta pode ser indexado no chamado quase-spectrum Q de A , composto por aulas quasi-equivalência de representações fator de Uma . Assim, há uma medida padrão μ em Q e uma família mensurável de representações de fatores indexadas em Q tal que π _x pertence à classe de x . Essa decomposição é essencialmente única. Esse resultado é fundamental na teoria das representações de grupo.

Referências

• J. Dixmier , álgebras de Von Neumann , ISBN   0-444-86308-7
• J. Dixmier, C * álgebras ISBN   0-7204-0762-1
• GW Mackey , The Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976.
• J. von Neumann , On Rings of Operators. Reduction Theory The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 50, No. 2 (abril de 1949), pp. 401–485.
• Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", enciclopédia de ciências matemáticas, Springer-Verlag, 2001–2003 (o primeiro volume foi publicado em 1979 em 1. Edição) ISBN   3-540-42248-X