Prova direta - Direct proof

Em matemática e lógica , uma prova direta é uma maneira de mostrar a verdade ou falsidade de uma dada afirmação por uma combinação direta de fatos estabelecidos, geralmente axiomas , lemas e teoremas existentes , sem fazer quaisquer outras suposições. Para provar diretamente um enunciado condicional da forma "Se p , então q ", é suficiente considerar as situações em que o enunciado p é verdadeiro. A dedução lógica é empregada para raciocinar das suposições à conclusão. O tipo de lógica empregada é quase invariavelmente lógica de primeira ordem , empregando os quantificadores para todos e existe . As regras de prova comuns usadas são modus ponens e instanciação universal .

Em contraste, uma prova indireta pode começar com certos cenários hipotéticos e então prosseguir para eliminar as incertezas em cada um desses cenários até que uma conclusão inevitável seja forçada. Por exemplo, em vez de mostrar diretamente p ⇒ q , prova-se sua contraposição ~ q ⇒ ~ p (assume-se ~ q e mostra que leva a ~ p ). Como p ⇒ q e ~ q ⇒ ~ p são equivalentes pelo princípio da transposição (ver lei do meio excluído ), p ⇒ q é indiretamente provado. Métodos de prova que não são diretos incluem prova por contradição , incluindo prova por descendência infinita . Os métodos de prova direta incluem prova por exaustão e prova por indução .

História e etimologia

Uma prova direta é a forma mais simples de prova que existe. A palavra 'prova' vem da palavra latina probare, que significa “testar”. O primeiro uso de provas foi proeminente em procedimentos legais. Dizia-se que uma pessoa com autoridade, como um nobre, tinha probidade, o que significa que a evidência era de sua autoridade relativa, que superava o testemunho empírico. Antigamente, a matemática e a prova eram frequentemente interligadas com questões práticas - com populações como os egípcios e os gregos mostrando interesse em pesquisar terras. Isso levou a uma curiosidade natural com relação à geometria e trigonometria - particularmente triângulos e retângulos . Essas foram as formas que forneceram mais questões em termos de coisas práticas, então os primeiros conceitos geométricos foram focados nessas formas, por exemplo, os gostos de edifícios e pirâmides usaram essas formas em abundância. Outra forma que é crucial na história da prova direta é o círculo , que foi fundamental para o projeto de arenas e caixas d'água. Isso significava que a geometria antiga (e a geometria euclidiana ) discutiam os círculos.

A forma mais antiga de matemática era fenomenológica . Por exemplo, se alguém pudesse fazer um desenho razoável ou dar uma descrição convincente, isso atendia a todos os critérios para que algo fosse descrito como um “fato” matemático. Na ocasião, ocorreram argumentos analógicos , ou mesmo “invocando os deuses”. A ideia de que as afirmações matemáticas poderiam ser provadas ainda não havia sido desenvolvida, então essas foram as primeiras formas do conceito de prova, apesar de não serem provas reais.

A prova como a conhecemos surgiu com uma pergunta específica: "o que é uma prova?" Tradicionalmente, uma prova é uma plataforma que convence alguém, além de qualquer dúvida razoável, de que uma afirmação é matematicamente verdadeira. Naturalmente, poderíamos supor que a melhor maneira de provar a verdade de algo como este (B) seria fazer uma comparação com algo antigo (A) que já foi provado como verdadeiro. Assim, foi criado o conceito de derivar um novo resultado de um resultado antigo.

Exemplos

A soma de dois inteiros pares é igual a um inteiro par

Considere dois inteiros pares $x$ e $y$ . Como são pares, podem ser escritos como

{\ displaystyle x = 2a}

{\ displaystyle y = 2b}

respectivamente para inteiros $a$ e $b$ . Então a soma pode ser escrita como

{\ displaystyle x + y = 2a + 2b = 2 (a + b) = 2p}

onde ,

a

e

b

são todos inteiros.

{\ displaystyle p = a + b}

Segue-se que $x + y$ tem 2 como um fator e, portanto, é par, então a soma de quaisquer dois inteiros pares é par.

Teorema de Pitágoras

Observe que temos quatro triângulos retângulos e um quadrado empacotado em um grande quadrado. Cada um dos triângulos tem lados um e b e hipotenusa c . A área de um quadrado é definida como o quadrado do comprimento de seus lados - neste caso, (a + b) ² . No entanto, a área do grande quadrado também pode ser expressa como a soma das áreas de seus componentes. Nesse caso, seria a soma das áreas dos quatro triângulos e do pequeno quadrado do meio.

Sabemos que a área do grande quadrado é igual a (a + b) ² .

A área de um triângulo é igual a ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ab.}$

Sabemos que a área do quadrado grande também é igual à soma das áreas dos triângulos, mais a área do quadrado pequeno e, portanto, a área do quadrado grande é igual ${\ displaystyle 4 ({\ frac {1} {2}} ab) + c ^ {2}.}$