Orientação (geometria) - Orientation (geometry)

Alterar a orientação de um corpo rígido é o mesmo que girar os eixos de um quadro de referência anexado a ele.

Em geometria , a orientação , posição angular , atitude ou direção de um objeto como uma linha , plano ou corpo rígido faz parte da descrição de como ele é colocado no espaço que ocupa. Mais especificamente, refere-se à rotação imaginária necessária para mover o objeto de uma posição de referência para a sua posição atual. Uma rotação pode não ser suficiente para alcançar o posicionamento atual. Pode ser necessário adicionar uma tradução imaginária , chamada de localização do objeto (ou posição, ou posição linear). A localização e a orientação juntas descrevem totalmente como o objeto é colocado no espaço. A rotação e translação imaginárias acima mencionadas podem ocorrer em qualquer ordem, pois a orientação de um objeto não muda quando ele se translada e sua localização não muda quando ele gira.

O teorema da rotação de Euler mostra que em três dimensões qualquer orientação pode ser alcançada com uma única rotação em torno de um eixo fixo . Isso fornece uma maneira comum de representar a orientação usando uma representação do ângulo do eixo . Outros métodos amplamente usados ​​incluem quatérnios de rotação , ângulos de Euler ou matrizes de rotação . Os usos mais especializados incluem índices de Miller em cristalografia, ataque e mergulho em geologia e classificação em mapas e sinais. O vetor unitário também pode ser usado para representar a orientação vetorial normal de um objeto .

Normalmente, a orientação é fornecida em relação a um quadro de referência , geralmente especificado por um sistema de coordenadas cartesiano .

Representações matemáticas

Três dimensões

Em geral, a posição e orientação no espaço de um corpo rígido são definidas como a posição e orientação, em relação ao quadro de referência principal, de outro quadro de referência, que é fixo em relação ao corpo e, portanto, translada e gira com ele (o corpo referencial local ou sistema de coordenadas local ). São necessários pelo menos três valores independentes para descrever a orientação dessa estrutura local. Três outros valores descrevem a posição de um ponto no objeto. Todos os pontos do corpo mudam de posição durante uma rotação, exceto aqueles situados no eixo de rotação. Se o corpo rígido tem simetria rotacional, nem todas as orientações são distinguíveis, exceto pela observação de como a orientação evolui no tempo a partir de uma orientação inicial conhecida. Por exemplo, a orientação no espaço de uma linha , segmento de linha ou vetor pode ser especificada com apenas dois valores, por exemplo, dois cossenos de direção . Outro exemplo é a posição de um ponto na Terra, frequentemente descrito usando a orientação de uma linha que o une ao centro da Terra, medida usando os dois ângulos de longitude e latitude . Da mesma forma, a orientação de um plano pode ser descrita com dois valores também, por exemplo, especificando a orientação de uma linha normal a esse plano, ou usando os ângulos de ataque e mergulho.

Mais detalhes sobre os métodos matemáticos para representar a orientação de corpos rígidos e planos em três dimensões são fornecidos nas seções a seguir.

Duas dimensões

Em duas dimensões, a orientação de qualquer objeto (linha, vetor ou figura plana ) é dada por um único valor: o ângulo através do qual ele girou. Existe apenas um grau de liberdade e apenas um ponto fixo sobre o qual ocorre a rotação.

Corpo rígido em três dimensões

Vários métodos para descrever as orientações de um corpo rígido em três dimensões foram desenvolvidos. Eles são resumidos nas seções a seguir.

Ângulos de Euler

Ângulos de Euler, uma das maneiras possíveis de descrever uma orientação

A primeira tentativa de representar uma orientação é atribuída a Leonhard Euler . Ele imaginou três referenciais que poderiam girar um em torno do outro e percebeu que, começando com um referencial fixo e realizando três rotações, ele poderia obter qualquer outro referencial no espaço (usando duas rotações para fixar o eixo vertical e outra para fixe os outros dois eixos). Os valores dessas três rotações são chamados de ângulos de Euler .

Ângulos Tait – Bryan

Ângulos de Tait – Bryan. Outra maneira de descrever a orientação

Estes são três ângulos, também conhecidos como yaw, pitch and roll, ângulos de navegação e ângulos Cardan. Matematicamente, eles constituem um conjunto de seis possibilidades dentro dos doze conjuntos possíveis de ângulos de Euler, sendo a ordem a melhor usada para descrever a orientação de um veículo, como um avião. Na engenharia aeroespacial, eles são geralmente chamados de ângulos de Euler.

Uma rotação representada por um eixo e ângulo de Euler.

Vetor de orientação

Euler também percebeu que a composição de duas rotações é equivalente a uma única rotação em torno de um eixo fixo diferente ( teorema da rotação de Euler ). Portanto, a composição dos primeiros três ângulos deve ser igual a apenas uma rotação, cujo eixo era complicado de calcular até que as matrizes fossem desenvolvidas.

Com base neste fato, ele introduziu uma forma vetorial para descrever qualquer rotação, com um vetor no eixo de rotação e módulo igual ao valor do ângulo. Portanto, qualquer orientação pode ser representada por um vetor de rotação (também chamado de vetor de Euler) que conduz a ela a partir do referencial. Quando usado para representar uma orientação, o vetor de rotação é comumente chamado de vetor de orientação ou vetor de atitude.

Um método semelhante, denominado representação do ângulo do eixo , descreve uma rotação ou orientação usando um vetor unitário alinhado com o eixo de rotação e um valor separado para indicar o ângulo (veja a figura).

Matriz de orientação

Com a introdução das matrizes, os teoremas de Euler foram reescritos. As rotações foram descritas por matrizes ortogonais denominadas matrizes de rotação ou matrizes de cosseno de direção. Quando usada para representar uma orientação, uma matriz de rotação é comumente chamada de matriz de orientação ou matriz de atitude.

O vetor de Euler mencionado acima é o autovetor de uma matriz de rotação (uma matriz de rotação tem um único autovalor real ). O produto de duas matrizes de rotação é a composição das rotações. Portanto, como antes, a orientação pode ser dada como a rotação do quadro inicial para atingir o quadro que queremos descrever.

O espaço de configuração de um objeto não simétrico em um espaço n- dimensional é SO ( n ) × R n . A orientação pode ser visualizada anexando uma base de vetores tangentes a um objeto. A direção para a qual cada vetor aponta determina sua orientação.

Quatérnio de orientação

Outra maneira de descrever as rotações é usar quatérnios de rotação , também chamados de versores. Eles são equivalentes a matrizes de rotação e vetores de rotação. Com relação aos vetores de rotação, eles podem ser mais facilmente convertidos de e para matrizes. Quando usados ​​para representar orientações, os quatérnios de rotação são normalmente chamados de quatérnios de orientação ou quatérnios de atitude.

Plano em três dimensões

Índices de Miller

Aviões com diferentes índices de Miller em cristais cúbicos

A atitude de um plano de rede é a orientação da linha normal ao plano e é descrita pelos índices de Miller do plano . No espaço tridimensional, uma família de planos (uma série de planos paralelos) pode ser denotada por seus índices de Miller ( hkl ), de modo que a família de planos tem uma atitude comum a todos os seus planos constituintes.

Golpeie e mergulhe

Linha de ataque e mergulho de um plano que descreve a atitude em relação a um plano horizontal e um plano vertical perpendicular à linha de ataque

Muitas características observadas na geologia são planos ou linhas, e sua orientação é comumente referida como atitude . Essas atitudes são especificadas com dois ângulos.

Para uma linha, esses ângulos são chamados de tendência e mergulho . A tendência é a direção da bússola da linha, e o mergulho é o ângulo para baixo que ela faz com um plano horizontal.

Para um plano, os dois ângulos são chamados de ataque (ângulo) e mergulho (ângulo) . Uma linha de ataque é a interseção de um plano horizontal com a feição plana observada (e, portanto, uma linha horizontal), e o ângulo de ataque é o rumo desta linha (isto é, em relação ao norte geográfico ou do norte magnético ). O mergulho é o ângulo entre um plano horizontal e a feição plana observada conforme observado em um terceiro plano vertical perpendicular à linha de ataque.

Exemplos de uso

Corpo rígido

A orientação de um corpo rígido é determinada por três ângulos

A atitude de um corpo rígido é a sua orientação conforme descrito, por exemplo, pela orientação de um quadro fixo no corpo em relação a um quadro de referência fixo. A atitude é descrita por coordenadas de atitude e consiste em pelo menos três coordenadas. Um esquema para orientar um corpo rígido é baseado na rotação dos eixos do corpo; rotações sucessivas três vezes em torno dos eixos do referencial fixo do corpo, estabelecendo assim os ângulos de Euler do corpo . Outro é baseado em roll, pitch e yaw , embora esses termos também se refiram a desvios incrementais da atitude nominal

Veja também

Referências

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