Mapa linear descontínuo - Discontinuous linear map

Em matemática , os mapas lineares formam uma classe importante de funções "simples" que preservam a estrutura algébrica dos espaços lineares e são freqüentemente usados ​​como aproximações para funções mais gerais (ver aproximação linear ). Se os espaços envolvidos também são espaços topológicos (ou seja, espaços vetoriais topológicos ), faz sentido perguntar se todos os mapas lineares são contínuos . Acontece que, para mapas definidos em espaços vetoriais topológicos de dimensão infinita (por exemplo, espaços normados de dimensão infinita ), a resposta geralmente é não: existem mapas lineares descontínuos . Se o domínio de definição estiver completo , será mais complicado; pode-se provar que tais mapas existem, mas a prova se baseia no axioma da escolha e não fornece um exemplo explícito.

Um mapa linear de um espaço de dimensão finita é sempre contínuo

Deixe que X e Y ser dois espaços normados e f um mapa linear de X para Y . Se X for finito-dimensional , escolha uma base ( e 1 , e 2 ,…, e n ) em X que pode ser considerada como vetores unitários. Então,

e assim pela desigualdade do triângulo ,

De locação

e usando o fato de que

para algum C > 0 que segue do fato de que quaisquer duas normas em um espaço de dimensão finita são equivalentes , descobre-se

Portanto, é um operador linear limitado e, portanto, contínuo. Na verdade, para ver isso, basta notar que f é linear e, portanto, para alguma constante universal K . Assim, para qualquer um , podemos escolher de forma que ( e são as bolas normatizadas ao redor e ), o que dá continuidade.

Se X tiver dimensão infinita, essa prova falhará, pois não há garantia de que o M supremo exista. Se Y for o espaço zero {0}, o único mapa entre X e Y é o mapa zero, que é trivialmente contínuo. Em todos os outros casos, quando X é infinito-dimensional e Y não é o espaço de zero, pode-se encontrar um mapa descontínua de X para Y .

Um exemplo concreto

Exemplos de mapas lineares descontínuos são fáceis de construir em espaços que não são completos; em qualquer sequência de Cauchy de vetores linearmente independentes que não tem um limite, existe um operador linear tal que as quantidades crescem sem limites. Em certo sentido, os operadores lineares não são contínuos porque o espaço tem "buracos".

Por exemplo, considere o espaço X de funções suaves de valor real no intervalo [0, 1] com a norma uniforme , ou seja,

O mapa -at-um-ponto derivado , dado por

definido em X e com valores reais, é linear, mas não contínuo. Na verdade, considere a sequência

para n ≥1. Esta sequência converge uniformemente para a função constantemente zero, mas

como n → ∞ em vez do que seria válido para um mapa contínuo. Observe que T tem valor real e, portanto, é na verdade um funcional linear em X (um elemento do espaço dual algébrico X * ). A aplicação linear XX que atribui a cada função sua derivada é similarmente descontínua. Observe que embora o operador derivativo não seja contínuo, ele é fechado .

O fato de o domínio não estar completo aqui é importante. Operadores descontínuos em espaços completos requerem um pouco mais de trabalho.

Um exemplo não construtivo

Uma base algébrica para os números reais como um espaço vetorial sobre os racionais é conhecida como base de Hamel (observe que alguns autores usam esse termo em um sentido mais amplo para significar uma base algébrica de qualquer espaço vetorial). Observe que quaisquer dois números não comensuráveis , digamos 1 e π, são linearmente independentes. Pode-se encontrar uma base de Hamel que os contenha e definir um mapa f de R para R de forma que f (π) = 0, f atue como a identidade no resto da base de Hamel e se estenda a todos R por linearidade. Seja { r n } n qualquer sequência de racionais que convergem para π. Então lim n f ( r n ) = π, mas f (π) = 0. Por construção, f é linear sobre Q (não sobre R ), mas não contínuo. Observe que f também não é mensurável ; uma função real aditiva é linear se, e somente se, for mensurável, portanto, para cada uma dessas funções, há um conjunto de Vitali . A construção de f depende do axioma da escolha.

Este exemplo pode ser estendido em um teorema geral sobre a existência de mapas lineares descontínuos em qualquer espaço normando de dimensão infinita (contanto que o codomínio não seja trivial).

Teorema da existência geral

Pode-se comprovar que os mapas lineares descontínuos existem de maneira mais geral, mesmo se o espaço estiver completo. Deixe que X e Y ser espaços normados sobre o campo K , onde K = R ou K = C . Suponha que X tenha dimensão infinita e Y não seja o espaço zero. Encontraremos um mapa linear descontínuo f de X a K , o que implicará a existência de um mapa linear descontínuo g de X a Y dado pela fórmula g ( x ) = f ( x ) y 0 onde y 0 é um não zero arbitrário vetor em Y .

Se X é infinito dimensional, mostrar a existência de um funcional linear que não é contínuo equivale a construir f que não é limitado. Para isso, considerar uma sequência ( e n ) n ( n ≥ 1) de linearmente independentes vectores em X . Definir

para cada n = 1, 2, ... Complete esta sequência de vetores linearmente independentes para uma base de espaço vetorial de X , e defina T nos outros vetores na base como zero. T assim definido se estenderá exclusivamente a um mapa linear em X e, uma vez que é claramente não limitado, não é contínuo.

Observe que, ao usar o fato de que qualquer conjunto de vetores linearmente independentes pode ser concluído em uma base, usamos implicitamente o axioma da escolha, que não era necessário para o exemplo concreto na seção anterior, mas um.

Papel do axioma da escolha

Como observado acima, o axioma da escolha (AC) é usado no teorema de existência geral de mapas lineares descontínuos. Na verdade, não há exemplos construtivos de mapas lineares descontínuos com domínio completo (por exemplo, espaços de Banach ). Na análise, como geralmente é praticada por matemáticos ativos, o axioma da escolha é sempre empregado (é um axioma da teoria dos conjuntos ZFC ); assim, para o analista, todos os espaços vetoriais topológicos de dimensão infinita admitem mapas lineares descontínuos.

Por outro lado, em 1970, Robert M. Solovay exibiu um modelo de teoria dos conjuntos em que cada conjunto de reais é mensurável. Isso implica que não há funções reais lineares descontínuas. Claramente, o AC não se aplica ao modelo.

O resultado de Solovay mostra que não é necessário assumir que todos os espaços vetoriais de dimensão infinita admitem mapas lineares descontínuos, e há escolas de análise que adotam um ponto de vista mais construtivista . Por exemplo, HG Garnir, em busca dos chamados "espaços de sonho" (espaços vetoriais topológicos nos quais todo mapa linear em um espaço normado é contínuo), foi levado a adotar ZF + DC + BP (a escolha dependente é uma forma enfraquecida e a propriedade de Baire é uma negação de AC forte) como seus axiomas para provar o teorema do grafo fechado de Garnir-Wright que afirma, entre outras coisas, que qualquer mapa linear de um espaço F para um TVS é contínuo. Indo ao extremo do construtivismo , está o teorema de Ceitin , que afirma que toda função é contínua (isso deve ser entendido na terminologia do construtivismo, segundo a qual apenas funções representáveis ​​são consideradas funções). Essas posições são defendidas apenas por uma pequena minoria de matemáticos ativos.

O resultado é que a existência de mapas lineares descontínuos depende da CA; é consistente com a teoria dos conjuntos sem AC que não há mapas lineares descontínuos em espaços completos. Em particular, nenhuma construção concreta como a derivada pode ter sucesso na definição de um mapa linear descontínuo em qualquer lugar em um espaço completo.

Operadores fechados

Muitos operadores descontínuos lineares que ocorrem naturalmente são fechados , uma classe de operadores que compartilham algumas das características dos operadores contínuos. Faz sentido perguntar quais operadores lineares em um determinado espaço são fechados. O teorema do grafo fechado afirma que um operador fechado definido em todos os lugares em um domínio completo é contínuo, portanto, para obter um operador fechado descontínuo, deve-se permitir operadores que não são definidos em todos os lugares.

Para ser mais concreto, deixe ser um mapa de para com domínio , escrito . Não perdemos muito se substituirmos X pelo fechamento de . Ou seja, ao estudar operadores que não são definidos em todos os lugares, pode-se restringir a atenção a operadores densamente definidos sem perda de generalidade.

Se o gráfico de for fechado em X × Y , chamamos de T fechado . Caso contrário, considere seu fechamento em X × Y . Se em si é o gráfico de algum operador , é chamado closable , e é chamada de fechamento de .

Portanto, a pergunta natural a ser feita sobre operadores lineares que não são definidos em todos os lugares é se eles podem ser fechados. A resposta é: "não necessariamente"; na verdade, todo espaço normando de dimensão infinita admite operadores lineares que não podem ser fechados. Como no caso dos operadores descontínuos considerados acima, a prova requer o axioma da escolha e, portanto, é geralmente não construtiva, embora, novamente, se X não for completo, haja exemplos construtíveis.

Na verdade, não é ainda um exemplo de um operador linear cujo gráfico tem fecho todos de X x Y . Esse operador não pode ser fechado. Deixe X ser o espaço de funções polinomiais de [0,1] para R e Y o espaço de funções polinomiais de [2,3] para R . Eles são subespaços de C ([0,1]) e C ([2,3]) respectivamente, e portanto espaços normados. Defina um operador T que leve a função polinomial xp ( x ) em [0,1] para a mesma função em [2,3]. Como consequência do teorema de Stone-Weierstrass , o gráfico desse operador é denso em X × Y , então isso fornece uma espécie de mapa linear maximamente descontínuo ( não confere função contínua em nenhum lugar ). Observe que X não está completo aqui, como deve ser o caso quando existe tal mapa construtível.

Impacto para espaços duplos

O espaço dual de um espaço vetorial topológico é a coleção de mapas lineares contínuos do espaço para o campo subjacente. Assim, a falha de alguns mapas lineares em serem contínuos para espaços normados de dimensão infinita implica que, para esses espaços, é necessário distinguir o espaço dual algébrico do espaço dual contínuo, que é então um subconjunto adequado. Ele ilustra o fato de que uma dose extra de cautela é necessária ao fazer análises em espaços de dimensão infinita em comparação com espaços de dimensão finita.

Além dos espaços normados

O argumento para a existência de mapas lineares descontínuos em espaços normados pode ser generalizado para todos os espaços vetoriais topológicos metrisáveis, especialmente para todos os espaços Fréchet, mas existem espaços vetoriais topológicos localmente convexos de dimensão infinita, de modo que todo funcional é contínuo. Por outro lado, o teorema de Hahn-Banach , que se aplica a todos os espaços localmente convexos, garante a existência de muitos funcionais lineares contínuos e, portanto, um grande espaço dual. Na verdade, para cada conjunto convexo, o medidor de Minkowski associa um funcional linear contínuo . O resultado é que os espaços com menos conjuntos convexos têm menos funcionais e, no pior cenário, um espaço pode não ter nenhum funcional diferente do funcional zero. Este é o caso dos espaços L p ( R , dx ) com 0 <  p  <1, de onde se segue que esses espaços são não convexos. Observe que aqui está indicada a medida de Lebesgue na linha real. Existem outros espaços L p com 0 <  p  <1 que possuem espaços duais não triviais.

Outro exemplo é o espaço de funções mensuráveis ​​de valor real no intervalo de unidade com quase-forma dada por

Este espaço não localmente convexo possui um espaço dual trivial.

Pode-se considerar espaços ainda mais gerais. Por exemplo, a existência de um homomorfismo entre grupos métricos separáveis ​​completos também pode ser mostrada de forma não construtiva.

Notas

Referências

  • Constantin Costara, Dumitru Popa, Exercises in Functional Analysis , Springer, 2003. ISBN  1-4020-1560-7 .
  • Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations , Academic Press, 1997. ISBN  0-12-622760-8 .