Escolha discreta - Discrete choice

Parte de uma série sobre
Análise de regressão
Modelos
Regressão linear Regressão simples Regressão polinomial Modelo linear geral
Modelo linear generalizado Escolha discreta Regressão binomial Regressão binária Regressão logística Logit multinomial Logit misto Probit Probit multinomial Logit ordenado Probit ordenado Poisson
Modelo multinível Efeitos fixos Efeitos aleatórios Modelo linear de efeitos mistos Modelo de efeitos mistos não linear
Regressão não linear Não paramétrico Semiparamétrico Robusto Quantil Isotônico Componentes principais Ângulo mínimo Local Segmentado
Erros em variáveis
Estimativa
Mínimos quadrados Linear Não linear
Ordinário Pesada Generalizado
Parcial Total Não negativo Regressão de cume Regularizado
Desvios mínimos absolutos Reponderado iterativamente Bayesiano Multivariado bayesiano
Fundo
Validação de regressão Resposta média e prevista Erros e residuais Qualidade de ajuste Resíduo estudentizado Teorema de Gauss-Markov
Portal de matemática
v t e

Em economia , modelos de escolha discreta ou modelos de escolha qualitativa , descrevem, explicam e prevêem escolhas entre duas ou mais alternativas discretas , como entrar ou não no mercado de trabalho , ou escolher entre modos de transporte . Essas escolhas contrastam com os modelos de consumo padrão nos quais a quantidade de cada bem consumido é considerada uma variável contínua . No caso contínuo, métodos de cálculo (por exemplo, condições de primeira ordem) podem ser usados ​​para determinar a quantidade ótima escolhida, e a demanda pode ser modelada empiricamente usando análise de regressão . Por outro lado, a análise de escolha discreta examina situações em que os resultados potenciais são discretos, de modo que o ótimo não é caracterizado por condições padrão de primeira ordem. Assim, em vez de examinar "quanto", como em problemas com variáveis ​​de escolha contínua, a análise de escolha discreta examina "qual". No entanto, a análise de escolha discreta também pode ser usada para examinar a quantidade escolhida quando apenas algumas quantidades distintas devem ser escolhidas, como o número de veículos que uma residência escolhe possuir e o número de minutos de serviço de telecomunicações que um cliente decide adquirir. Técnicas como regressão logística e regressão probit podem ser usadas para análise empírica de escolha discreta.

Os modelos de escolha discreta modelam teoricamente ou empiricamente as escolhas feitas por pessoas entre um conjunto finito de alternativas. Os modelos foram usados ​​para examinar, por exemplo, a escolha de qual carro comprar, onde ir para a faculdade, que meio de transporte (carro, ônibus, trem) levar para trabalhar, entre inúmeras outras aplicações. Os modelos de escolha discreta também são usados ​​para examinar as escolhas feitas por organizações, como empresas ou agências governamentais. Na discussão abaixo, presume-se que a unidade de tomada de decisão seja uma pessoa, embora os conceitos sejam aplicáveis ​​de forma mais geral. Daniel McFadden ganhou o prêmio Nobel em 2000 por seu trabalho pioneiro no desenvolvimento da base teórica para a escolha discreta.

Os modelos de escolha discreta relacionam estatisticamente a escolha feita por cada pessoa aos atributos da pessoa e aos atributos das alternativas disponíveis para a pessoa. Por exemplo, a escolha de qual carro uma pessoa compra está estatisticamente relacionada à renda e idade da pessoa, bem como ao preço, economia de combustível, tamanho e outros atributos de cada carro disponível. Os modelos estimam a probabilidade de uma pessoa escolher uma alternativa específica. Os modelos são freqüentemente usados ​​para prever como as escolhas das pessoas mudarão sob mudanças na demografia e / ou atributos das alternativas.

Os modelos de escolha discreta especificam a probabilidade de um indivíduo escolher uma opção entre um conjunto de alternativas. A descrição probabilística do comportamento de escolha discreta é usada para não refletir o comportamento individual que é visto como intrinsecamente probabilístico. Em vez disso, é a falta de informação que nos leva a descrever a escolha de uma forma probabilística. Na prática, não podemos saber todos os fatores que afetam as decisões de escolha individual, pois seus determinantes são parcialmente observados ou medidos de maneira imperfeita. Portanto, os modelos de escolha discreta dependem de suposições e especificações estocásticas para levar em conta fatores não observados relacionados a a) alternativas de escolha, b) variação de gosto sobre as pessoas (heterogeneidade interpessoal) e ao longo do tempo (dinâmica de escolha intra-individual), ec) conjuntos de escolha heterogênea . As diferentes formulações foram resumidas e classificadas em grupos de modelos.

Formulários

• Os pesquisadores de marketing usam modelos de escolha discreta para estudar a demanda do consumidor e prever respostas de negócios competitivas, permitindo que os modeladores de escolha resolvam uma variedade de problemas de negócios, como preços , desenvolvimento de produtos e problemas de estimativa de demanda . Em pesquisa de mercado, isso é comumente chamado de análise conjunta .
• Os planejadores de transporte usam modelos de escolha discreta para prever a demanda por sistemas de transporte planejados , como a rota que um motorista fará e se alguém usará sistemas de transporte rápido . As primeiras aplicações de modelos de escolha discreta foram no planejamento de transporte, e muitas das pesquisas mais avançadas em modelos de escolha discreta são conduzidas por pesquisadores de transporte.
• Os analistas de energia e os formuladores de políticas usam modelos de escolha discreta para a escolha de sistemas de aquecimento por residências e empresas, níveis de eficiência de eletrodomésticos e nível de eficiência de combustível de veículos.
• Os estudos ambientais utilizam modelos de escolha discreta para examinar a escolha dos recriadores de, por exemplo, local de pesca ou esqui e para inferir o valor das amenidades, como acampamentos, estoque de peixes e cabanas de aquecimento, e para estimar o valor das melhorias na qualidade da água.
• Economistas do trabalho usam modelos de escolha discreta para examinar a participação na força de trabalho, escolha de ocupação e escolha de faculdade e programas de treinamento.
• Os estudos ecológicos empregam modelos de escolha discreta para investigar os parâmetros que conduzem a seleção de habitat em animais.

Características comuns de modelos de escolha discreta

Os modelos de escolha discreta assumem muitas formas, incluindo: Logit Binário, Probit Binário, Logit Multinomial, Logit Condicional, Probit Multinomial, Logit Aninhado, Modelos de Valores Extremos Generalizados, Logit Misto e Logit Explodido. Todos esses modelos têm os recursos descritos a seguir em comum.

Conjunto de escolha

O conjunto de escolha é o conjunto de alternativas disponíveis para a pessoa. Para um modelo de escolha discreta, o conjunto de escolha deve atender a três requisitos:

1. O conjunto de alternativas deve ser exaustivo coletivamente , o que significa que o conjunto inclui todas as alternativas possíveis. Este requisito implica que a pessoa necessariamente escolha uma alternativa do conjunto.
2. As alternativas devem ser mutuamente exclusivas , o que significa que escolher uma alternativa significa não escolher nenhuma outra alternativa. Este requisito implica que a pessoa escolha apenas uma alternativa do conjunto.
3. O conjunto deve conter um número finito de alternativas. Este terceiro requisito distingue a análise de escolha discreta das formas de análise de regressão em que a variável dependente pode (teoricamente) assumir um número infinito de valores.

Por exemplo, a escolha definida para uma pessoa decidir qual meio de transporte levar para o trabalho inclui dirigir sozinha, caronas, ônibus, etc. O conjunto de escolha é complicado pelo fato de que uma pessoa pode usar vários modos para uma determinada viagem, como dirigir um carro até uma estação de trem e depois pegar o trem para o trabalho. Nesse caso, o conjunto de opções pode incluir cada combinação possível de modos. Alternativamente, a escolha pode ser definida como a escolha do modo “primário”, com o conjunto consistindo em carro, ônibus, trem e outros (por exemplo, caminhada, bicicleta, etc.). Observe que a alternativa “outro” é incluída para tornar o conjunto de escolha exaustivo.

Pessoas diferentes podem ter conjuntos de opções diferentes, dependendo de suas circunstâncias. Por exemplo, o automóvel Scion não foi vendido no Canadá em 2009, então os compradores de carros novos no Canadá enfrentaram conjuntos de opções diferentes daqueles dos consumidores americanos. Tais considerações são levadas em consideração na formulação de modelos de escolha discreta.

Definindo probabilidades de escolha

Um modelo de escolha discreta especifica a probabilidade de que uma pessoa escolha uma alternativa particular, com a probabilidade expressa como uma função de variáveis ​​observadas que se relacionam com as alternativas e a pessoa. Em sua forma geral, a probabilidade de que a pessoa n escolha a alternativa i é expressa como:

${\ displaystyle P_ {ni} \ equiv \ Pr ({\ text {Pessoa}} n {\ text {escolhe a alternativa}} i) = G (x_ {ni}, \; x_ {nj, j \ neq i}, \; s_ {n}, \; \ beta),}$

Onde

${\ displaystyle x_ {ni}}$ é um vetor de atributos da alternativa i enfrentada pela pessoa n ,

${\ displaystyle x_ {nj, j \ neq i}}$ é um vetor de atributos das outras alternativas (exceto i ) enfrentadas pela pessoa n ,

${\ displaystyle s_ {n}}$ é um vetor de características da pessoa n , e

${\ displaystyle \ beta}$ é um conjunto de parâmetros que fornecem os efeitos das variáveis ​​nas probabilidades, que são estimadas estatisticamente.

No exemplo do modo de transporte acima, os atributos dos modos ( x _ni ), como tempo e custo da viagem, e as características do consumidor ( s _n ), como renda anual, idade e gênero, podem ser usados ​​para calcular a escolha probabilidades. Os atributos das alternativas podem diferir entre as pessoas; por exemplo, o custo e o tempo de viagem para o trabalho de carro, ônibus e trem são diferentes para cada pessoa, dependendo da localização da casa e do trabalho dessa pessoa.

Propriedades:

• P _ni está entre 0 e 1
• ${\ displaystyle \ forall n: \; \ sum _ {j = 1} ^ {J} P_ {nj} = 1,}$ onde J é o número total de alternativas.
• (Fração esperada de pessoas que escolhem i ) onde N é o número de pessoas que fazem a escolha. ${\ displaystyle = {1 \ over N} {\ sum _ {n = 1} ^ {N} P_ {ni}},}$

Modelos diferentes (ou seja, modelos que usam uma função G diferente) têm propriedades diferentes. Modelos proeminentes são apresentados abaixo.

Utilidade do consumidor

Os modelos de escolha discreta podem ser derivados da teoria da utilidade . Esta derivação é útil por três razões:

1. Ele dá um significado preciso para as probabilidades P _ni
2. Motiva e distingue modelo especificações alternativas, por exemplo, a escolha de uma forma funcional para L .
3. Ele fornece a base teórica para o cálculo das mudanças no excedente do consumidor (variação compensatória) a partir das mudanças nos atributos das alternativas.

U _ni é a utilidade (ou benefício líquido ou bem-estar) que a pessoa n obtém ao escolher a alternativa i . O comportamento da pessoa maximiza a utilidade: a pessoa n escolhe a alternativa que fornece a maior utilidade. A escolha da pessoa é designada por variáveis ​​dummy, y _ni , para cada alternativa:

${\ displaystyle y_ {ni} = {\ begin {cases} 1 & U_ {ni}> U_ {nj} \ quad \ forall j \ neq i \\ 0 & {\ text {caso contrário}} \ end {cases}}}$

Considere agora o pesquisador que está examinando a escolha. A escolha da pessoa depende de muitos fatores, alguns dos quais o pesquisador observa e outros não. A utilidade que a pessoa obtém ao escolher uma alternativa é decomposta em uma parte que depende de variáveis ​​que o pesquisador observa e uma parte que depende de variáveis ​​que o pesquisador não observa. De forma linear, esta decomposição é expressa como

${\ displaystyle U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}}$

Onde

• ${\ displaystyle z_ {ni}}$ é um vetor de variáveis ​​observadas relacionadas à alternativa i para pessoa n que depende de atributos da alternativa, x _ni , interagiu talvez com atributos da pessoa, s _n , de modo que pode ser expresso como para alguma função numérica z , ${\ displaystyle z_ {ni} = z (x_ {ni}, s_ {n})}$
• ${\ displaystyle \ beta}$ é um vetor correspondente de coeficientes das variáveis ​​observadas, e
• ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ni}}$ captura o impacto de todos os fatores não observados que afetam a escolha da pessoa.

A probabilidade de escolha é então

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} P_ {ni} & = \ Pr (y_ {ni} = 1) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni}> U_ { nj}, \ direita) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varejpsilon _ {nj }, \ right) \\ & = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ varepsilon _ {nj} - \ varejpsilon _ {ni} <\ beta z_ {ni} - \ beta z_ {nj} , \ right) \ end {alinhado}}}$

Dado β , a probabilidade de escolha é a probabilidade de que os termos aleatórios, ε _nj - ε _ni (que são aleatórios do ponto de vista do pesquisador, uma vez que o pesquisador não os observa) estejam abaixo das respectivas quantidades Modelos de escolha diferente (ou seja, especificações diferentes de G ) surgem de diferentes distribuições de ε _ni para todos os i e diferentes tratamentos de β . ${\ displaystyle \ forall j \ neq i: \ beta z_ {ni} - \ beta z_ {nj}.}$

Propriedades dos modelos de escolha discreta implícitos na teoria da utilidade

Apenas diferenças importam

A probabilidade de uma pessoa escolher uma alternativa particular é determinada comparando a utilidade de escolher essa alternativa com a utilidade de escolher outras alternativas:

${\ displaystyle P_ {ni} = \ Pr (y_ {ni} = 1) = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni}> U_ {nj} \ right) = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} U_ {ni} -U_ {nj}> 0 \ direita)}$

Como o último termo indica, a probabilidade de escolha depende apenas da diferença de utilidades entre as alternativas, não do nível absoluto de utilidades. De forma equivalente, adicionar uma constante às utilidades de todas as alternativas não altera as probabilidades de escolha.

A escala deve ser normalizada

Como a concessionária não possui unidades, é necessário normalizar a escala das concessionárias. A escala de utilidade é freqüentemente definida pela variância do termo de erro em modelos de escolha discreta. Essa variação pode ser diferente dependendo das características do conjunto de dados, como quando ou onde os dados são coletados. A normalização da variância, portanto, afeta a interpretação dos parâmetros estimados em diversos conjuntos de dados.

Tipos proeminentes de modelos de escolha discreta

Os modelos de escolha discreta podem primeiro ser classificados de acordo com o número de alternativas disponíveis.

* Modelos de escolha binomial (dicotômicos): 2 alternativas disponíveis

* Modelos de escolha multinomial ( politômicos ): 3 ou mais alternativas disponíveis

Modelos de escolha multinomial podem ainda ser classificados de acordo com a especificação do modelo:

* Modelos, como logit padrão, que não assumem nenhuma correlação em fatores não observados sobre alternativas

* Modelos que permitem correlação em fatores não observados entre alternativas

Além disso, formulários específicos dos modelos estão disponíveis para examinar classificações de alternativas (ou seja, primeira escolha, segunda escolha, terceira escolha, etc.) e para dados de classificação.

Os detalhes de cada modelo são fornecidos nas seções a seguir.

Escolha binária

A. Logit com atributos da pessoa, mas sem atributos das alternativas

U _n é a utilidade (ou benefício líquido) que a pessoa n obtém ao realizar uma ação (em oposição a não realizar a ação). A utilidade que a pessoa obtém ao realizar a ação depende das características da pessoa, algumas das quais são observadas pelo pesquisador e outras não. A pessoa executa a ação, y _n = 1 , se U _n > 0. O termo não observado, ε _n , é assumido como tendo uma distribuição logística . A especificação é escrita sucintamente como:

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {n} = \ beta s_ {n} + \ varepsilon _ {n} \\ y_ {n} = {\ begin {cases} 1 & U_ {n}> 0 \\ 0 & U_ { n} \ leqslant 0 \ end {casos}} \\\ varepsilon \ sim {\ text {Logística}} \ end {casos}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = {\ frac {1} {1+ \ exp (- \ beta s_ {n})}}}$

B. Probit com atributos da pessoa, mas sem atributos das alternativas

A descrição do modelo é a mesma do modelo A , exceto que os termos não observados são distribuídos normal padrão ao invés de logístico .

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {n} = \ beta s_ {n} + \ varepsilon _ {n} \\ y_ {n} = {\ begin {cases} 1 & U_ {n}> 0 \\ 0 & U_ { n} \ leqslant 0 \ end {casos}} \\\ varepsilon \ sim {\ text {Padrão normal}} \ end {casos}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = \ Phi (\ beta s_ {n }),}$

onde é a função de distribuição cumulativa do normal padrão . ${\ displaystyle \ Phi}$

C. Logit com variáveis ​​que variam entre as alternativas

U _ni é o utilitário que n obtém ao escolher a alternativa i . A utilidade de cada alternativa depende dos atributos das alternativas interagindo talvez com os atributos da pessoa. Os termos não observados são considerados como tendo uma distribuição de valor extremo .

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {n1} = \ beta z_ {n1} + \ varepsilon _ {n1} \\ U_ {n2} = \ beta z_ {n2} + \ varejpsilon _ {n2} \\\ epsilon _ {n1}, \ varejpsilon _ {n2} \ sim {\ text {valor extremo iid}} \ end {casos}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {n1} = {\ frac {\ exp (\ beta z_ {n1})} {\ exp (\ beta z_ {n1}) + \ exp (\ beta z_ {n2})}}}$

Podemos relacionar esta especificação ao modelo A acima, que também é logit binário. Em particular, P _{n 1} também pode ser expresso como

${\ displaystyle P_ {n1} = {\ frac {1} {1+ \ exp (- \ beta (z_ {n1} -z_ {n2}))}}}$

Observe que se dois termos de erro são iid valor extremo , sua diferença é logística distribuída , que é a base para a equivalência das duas especificações.

D. Probit com variáveis ​​que variam entre as alternativas

A descrição do modelo é a mesma do modelo C , exceto que a diferença dos dois termos não observados são distribuídos normal padrão em vez de logístico .

Então, a probabilidade de realizar a ação é

${\ displaystyle P_ {n1} = \ Phi (\ beta (z_ {n1} -z_ {n2})),}$

onde Φ é a função de distribuição cumulativa do normal padrão .

Escolha multinomial sem correlação entre alternativas

E. Logit com atributos da pessoa, mas sem atributos das alternativas

A utilidade para todas as alternativas depende das mesmas variáveis, s _n , mas os coeficientes são diferentes para diferentes alternativas:

• U _ni = β _i s _n + ε _ni ,
• Visto que apenas diferenças na utilidade são importantes, é necessário normalizar para uma alternativa. Assumindo , ${\ displaystyle \ beta _ {i} = 0}$${\ displaystyle \ beta _ {1} = 0}$
• ε _ni são iid valor extremo

A probabilidade de escolha assume a forma

${\ displaystyle P_ {ni} = {\ exp (\ beta _ {i} s_ {n}) \ over \ sum _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta _ {j} s_ {n} )},}$

onde J é o número total de alternativas.

F. Logit com variáveis ​​que variam em relação às alternativas (também chamado de logit condicional)

A utilidade de cada alternativa depende de atributos dessa alternativa, interagindo talvez com atributos da pessoa:

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varepsilon _ {ni} \\\ varepsilon _ {ni} \ sim {\ text {iid valor extremo}} \ end {cases }} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {ni} = {\ exp (\ beta z_ {ni}) \ over \ sum _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}, }$

onde J é o número total de alternativas.

Observe que o modelo E pode ser expresso da mesma forma que o modelo F por meio da nova especificação apropriada das variáveis. Definir onde é o delta de Kronecker e s _n são do modelo E . Então, o modelo F é obtido usando ${\ displaystyle w_ {nj} ^ {k} = s_ {n} \ delta _ {jk}}$${\ displaystyle \ delta _ {jk}}$

${\ displaystyle z_ {nj} = \ left \ {w_ {nj} ^ {1}, \ cdots, w_ {nj} ^ {J} \ right \} \ quad {\ text {and}} \ quad \ beta = \ left \ {\ beta _ {1}, \ cdots, \ beta _ {J} \ right \},}$

onde J é o número total de alternativas.

Escolha multinomial com correlação entre alternativas

Um modelo logit padrão nem sempre é adequado, uma vez que assume que não há correlação em fatores não observados sobre alternativas. Essa falta de correlação se traduz em um padrão particular de substituição entre alternativas que podem nem sempre ser realistas em uma determinada situação. Esse padrão de substituição é freqüentemente chamado de propriedade de Independência de Alternativas Irrelevantes (IIA) dos modelos logit padrão. Veja o exemplo Red Bus / Blue Bus em que este padrão não se mantém, ou o exemplo de escolha de caminho. Uma série de modelos foram propostos para permitir a correlação sobre alternativas e padrões de substituição mais gerais:

• Modelo de Logit aninhado - captura correlações entre alternativas, particionando o conjunto de escolha em 'ninhos'
  • Modelo Logit aninhado cruzado (CNL) - As alternativas podem pertencer a mais de um ninho
  • Modelo C-logit - Captura correlações entre alternativas usando 'fator de comunalidade'
  • Modelo Logit Combinatório Pareado - Adequado para problemas de escolha de rota.
• Modelo de valor extremo generalizado - classe geral de modelo, derivado do modelo de utilidade aleatório ao qual pertencem logit multinomial e logit aninhado
• Probit condicional - permite a covariância total entre alternativas usando uma distribuição normal conjunta.
• Logit misto - permite qualquer forma de padrões de correlação e substituição. Quando um logit misto é composto de termos aleatórios normais em conjunto, os modelos são algumas vezes chamados de "modelo probit multinomial com kernel logit". Pode ser aplicado à escolha da rota.

As seções a seguir descrevem os modelos Nested Logit, GEV, Probit e Mixed Logit em detalhes.

G. Modelos de logit aninhado e valor extremo generalizado (GEV)

O modelo é o mesmo que o modelo F, exceto que o componente não observado de utilidade é correlacionado sobre as alternativas, em vez de ser independente sobre as alternativas.

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• A distribuição marginal de cada ε _ni é de valor extremo , mas sua distribuição conjunta permite correlação entre eles.
• A probabilidade assume muitas formas, dependendo do padrão de correlação especificado. Consulte Valor extremo generalizado .

H. Probit multinomial

O modelo é o mesmo que o modelo G, exceto que os termos não observados são distribuídos em conjunto normal , o que permite qualquer padrão de correlação e heterocedasticidade :

${\ displaystyle {\ begin {cases} U_ varej {ni} = \ beta z_ {ni} + \ varejpsilon _ {ni} \\\ varejpsilon _ {n} \ equiv (\ varepsilon _ {n1}, \ cdots, \psilon _ {nJ}) \ sim N (0, \ Omega) \ end {casos}} \ quad \ Rightarrow \ quad P_ {ni} = \ Pr \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni } + \ varepsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj} \ right) = \ int I \ left (\ bigcap _ {j \ neq i} \ beta z_ {ni} + \ varejpsilon _ {ni}> \ beta z_ {nj} + \ varepsilon _ {nj} \ right) \ phi (\ varepsilon _ {n} | \ Omega) \; d \ varepsilon _ {n},}$

onde é a densidade normal conjunta com média zero e covariância . ${\ displaystyle \ phi (\ varepsilon _ {n} | \ Omega)}$${\ displaystyle \ Omega}$

A integral para esta probabilidade de escolha não tem uma forma fechada e, portanto, a probabilidade é aproximada por quadratura ou simulação .

Quando é a matriz identidade (tal que não há correlação ou heterocedasticidade ), o modelo é denominado probit independente. ${\ displaystyle \ Omega}$

I. Logit misto

Modelos Logit mistos tornaram-se cada vez mais populares nos últimos anos por vários motivos. Em primeiro lugar, o modelo permite ser aleatório além de . A aleatoriedade em acomoda a variação de gosto aleatório sobre as pessoas e a correlação entre alternativas que gera padrões de substituição flexíveis. Em segundo lugar, os avanços na simulação tornaram a aproximação do modelo bastante fácil. Além disso, McFadden e Train mostraram que qualquer modelo de escolha verdadeira pode ser aproximado, em qualquer grau de precisão, por um logit misto com especificação apropriada de variáveis ​​explicativas e distribuição de coeficientes. ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ beta}$

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• ${\ displaystyle \ beta \ sim f (\ beta | \ theta)}$ para qualquer distribuição , onde é o conjunto de parâmetros de distribuição (por exemplo, média e variância) a ser estimado, ${\ displaystyle {\ it {f}}}$${\ displaystyle \ theta}$
• ε _ni ∼ iid valor extremo ,

A probabilidade de escolha é

${\ displaystyle P_ {ni} = \ int _ {\ beta} L_ {ni} (\ beta) f (\ beta | \ theta) \, d \ beta,}$

Onde

${\ displaystyle L_ {ni} (\ beta) = {\ exp (\ beta z_ {ni}) \ over {\ sum _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}} }$

é a probabilidade logit avaliada em com o número total de alternativas. ${\ displaystyle \ beta,}$${\ displaystyle J}$

A integral para esta probabilidade de escolha não tem uma forma fechada, então a probabilidade é aproximada por simulação.

Estimativa de escolhas

Modelos de escolha discreta são freqüentemente estimados usando estimativa de máxima verossimilhança . Os modelos logit podem ser estimados por regressão logística e os modelos probit podem ser estimados por regressão probit . Métodos não paramétricos , como o estimador de pontuação máxima , têm sido propostos. A estimativa de tais modelos é geralmente feita por meio de métodos de máxima verossimilhança paramétricos, semiparamétricos e não paramétricos, mas também pode ser feita com a abordagem de modelagem de caminhos de mínimos quadrados parciais .

Estimativa de classificações

Em muitas situações, a classificação de alternativas de uma pessoa é observada, ao invés de apenas a alternativa escolhida. Por exemplo, uma pessoa que comprou um carro novo pode ser questionada sobre o que ela compraria se aquele carro não tivesse sido oferecido, o que fornece informações sobre a segunda opção da pessoa, além de sua primeira escolha. Ou, em uma pesquisa, um entrevistado pode ser perguntado:

Exemplo : Classifique os seguintes planos de chamadas de celular do mais preferido para o menos preferido.

* $ 60 por mês para minutos ilimitados a qualquer hora, contrato de dois anos com $ 100 de taxa de rescisão antecipada

* $ 30 por mês por 400 minutos a qualquer hora, 3 centavos por minuto após 400 minutos, contrato de um ano com $ 125 de taxa de rescisão antecipada

* $ 35 por mês por 500 minutos a qualquer hora, 3 centavos por minuto após 500 minutos, sem contrato ou taxa de rescisão antecipada

* $ 50 por mês por 1000 minutos a qualquer hora, 5 centavos por minuto após 1000 minutos, contrato de dois anos com $ 75 de taxa de rescisão antecipada

Os modelos descritos acima podem ser adaptados para levar em conta classificações além da primeira escolha. O modelo mais proeminente para dados de classificação é o logit explodido e sua versão mista.

J. Logit explodido

Sob as mesmas suposições de um logit padrão ( modelo F ), a probabilidade de uma classificação das alternativas é um produto de logit padrão. O modelo é chamado de "logit explodido" porque a situação de escolha que geralmente é representada como uma fórmula logit para a alternativa escolhida é expandida ("explodida") para ter uma fórmula logit separada para cada alternativa classificada. O modelo logit explodido é o produto de modelos logit padrão com o conjunto de opções diminuindo à medida que cada alternativa é classificada e deixa o conjunto de opções disponíveis na escolha subsequente.

Sem perda de generalidade, as alternativas podem ser renomeadas para representar a classificação da pessoa, de modo que a alternativa 1 seja a primeira escolha, 2 a segunda escolha, etc. A probabilidade de escolha das alternativas de classificação J como 1, 2, ..., J é então

${\ displaystyle \ Pr ({\ text {ranking}} 1,2, \ ldots, J) = {\ exp (\ beta z_ {1}) \ over \ sum _ {j = 1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})} {\ exp (\ beta z_ {2}) \ over \ sum _ {j = 2} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})} \ ldots {\ exp (\ beta z_ {J-1}) \ over \ sum _ {j = J-1} ^ {J} \ exp (\ beta z_ {nj})}}$

Tal como acontece com o logit padrão, o modelo logit explodido não assume nenhuma correlação em fatores não observados em relação às alternativas. O logit explodido pode ser generalizado, da mesma forma que o logit padrão é generalizado, para acomodar correlações entre alternativas e variações aleatórias de sabor. O modelo "logit explodido misto" é obtido pela probabilidade da classificação, dada acima, para L _ni no modelo logit misto ( modelo I ).

Esse modelo também é conhecido em econometria como modelo logit ordenado por classificação e foi introduzido nesse campo por Beggs, Cardell e Hausman em 1981. Uma aplicação é o Combes et al. artigo que explica a classificação dos candidatos a professor. É também conhecido como modelo Plackett-Luce na literatura biomédica.

Modelos encomendados

Nas pesquisas, os entrevistados costumam ser solicitados a dar avaliações, como:

Exemplo : Dê sua avaliação do desempenho do presidente.

1: muito mal

2: Mal

3: Ok

4: bem

5: muito bem

Ou,

Exemplo : Em uma escala de 1 a 5, em que 1 significa discordo totalmente e 5 significa concordo totalmente, o quanto você concorda com a seguinte afirmação. "O governo federal deve fazer mais para ajudar as pessoas que enfrentam a execução de hipotecas em suas casas."

Um modelo de escolha discreta multinomial pode examinar as respostas a essas perguntas ( modelo G , modelo H , modelo I ). No entanto, esses modelos são derivados sob o conceito de que o respondente obtém alguma utilidade para cada resposta possível e dá a resposta que fornece a maior utilidade. Pode ser mais natural pensar que o respondente tem alguma medida latente ou índice associado à pergunta e às respostas em resposta à altura dessa medida. Logit ordenado e modelos probit ordenados são derivados sob este conceito.

K. Logit ordenado

Deixe U _n representar a força dos sentimentos ou opinião do entrevistado n sobre o assunto da pesquisa. Suponha que haja pontos de corte no nível da opinião na escolha de uma resposta particular. Por exemplo, no exemplo de ajudar pessoas que enfrentam execução hipotecária, a pessoa escolhe

• 1, se U _n <a
• 2, se a < U _n <b
• 3, se b < U _n <c
• 4, se c < U _n <d
• 5, se U _n > d,

para alguns números reais a , b , c , d .

Definindo Logística , então a probabilidade de cada resposta possível é: ${\ displaystyle U_ {n} = \ beta z_ {n} + \ varepsilon, \; \ varepsilon \ sim}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Pr ({\ text {choice}} 1) & = \ Pr (U_ {n} <a) = \ Pr (\ varepsilon <a- \ beta z_ {n}) = {1 \ over 1+ \ exp (- (a- \ beta z_ {n}))} \\\ Pr ({\ text {choice}} 2) & = \ Pr (a <U_ {n} <b) = \ Pr (a- \ beta z_ {n} <\ varepsilon <b- \ beta z_ {n}) = {1 \ over 1+ \ exp (- (b- \ beta z_ {n}))} - { 1 \ sobre 1+ \ exp (- (a- \ beta z_ {n}))} \\ & \ cdots \\\ Pr ({\ text {escolher}} 5) & = \ Pr (U_ {n}> d) = \ Pr (\ varepsilon> d- \ beta z_ {n}) = 1- {1 \ over 1+ \ exp (- (d- \ beta z_ {n}))} \ end {alinhado}}}$

Os parâmetros do modelo são os coeficientes β e os pontos de corte a - d , um dos quais deve ser normalizado para identificação. Quando existem apenas duas respostas possíveis, o logit ordenado é o mesmo que um logit binário ( modelo A ), com um ponto de corte normalizado para zero.

L. Probit ordenado

A descrição do modelo é a mesma do modelo K , exceto que os termos não observados têm distribuição normal ao invés de logística .

As probabilidades de escolha são ( é a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão): ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Pr ({\ text {choice}} 1) & = \ Phi (a- \ beta z_ {n}) \\\ Pr ({\ text {choice}} 2) & = \ Phi (b- \ beta z_ {n}) - \ Phi (a- \ beta z_ {n}) \\ & \ cdots \ end {alinhado}}}$

Veja também

• Regressão binária
• Escolha discreta dinâmica

Notas

Referências

Leitura adicional

• Anderson, S., A. de Palma e J.-F. Thisse (1992), Discrete Choice Theory of Product Differentiation , MIT Press,
• Ben-Akiva, M .; Lerman, S. (1985). Análise de escolha discreta: teoria e aplicação à demanda de viagens . MIT Press.
• Greene, William H. (2012). Econometric Analysis (Sétima ed.). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. pp.  770 -862. ISBN   978-0-13-600383-0 .
• Hensher, D .; Rose, J .; Greene, W. (2005). Análise de escolha aplicada: um primer . Cambridge University Press.
• Maddala, G. (1983). Variáveis ​​dependentes limitadas e qualitativas em econometria . Cambridge University Press.
• McFadden, Daniel L. (1984). Análise econométrica de modelos qualitativos de resposta . Handbook of Econometrics, Volume II. Capítulo 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Train, K. (2009) [2003]. Métodos de escolha discreta com simulação . Cambridge University Press.