Processo de transferência de funções contínuas em contrapartes discretas
Em matemática aplicada , discretização é o processo de transferência de funções, modelos, variáveis e equações contínuas em contrapartes discretas . Esse processo geralmente é realizado como uma primeira etapa para torná-los adequados para avaliação numérica e implementação em computadores digitais. A dicotomização é o caso especial de discretização em que o número de classes discretas é 2, que pode aproximar uma variável contínua como uma variável binária (criando uma dicotomia para fins de modelagem , como na classificação binária ).
A discretização também está relacionada à matemática discreta e é um componente importante da computação granular . Nesse contexto, a discretização também pode se referir à modificação da granularidade da variável ou categoria , como quando múltiplas variáveis discretas são agregadas ou múltiplas categorias discretas fundidas.
Sempre que dados contínuos são discretizados , sempre há algum erro de discretização . O objetivo é reduzir a quantidade a um nível considerado insignificante para os fins de modelagem em questão.
Os termos discretização e quantização freqüentemente têm a mesma denotação, mas nem sempre conotações idênticas . (Especificamente, os dois termos compartilham um campo semântico .) O mesmo é verdadeiro para o erro de discretização e o erro de quantização .
Os métodos matemáticos relacionados à discretização incluem o método de Euler-Maruyama e a manutenção de ordem zero .
Discretização de modelos de espaço de estado linear
A discretização também se preocupa com a transformação de equações diferenciais contínuas em equações de diferenças discretas , adequadas para computação numérica .
O seguinte modelo de espaço de estado de tempo contínuo
onde v e w são fontes contínuas de ruído branco de média zero com densidades espectrais de potência
pode ser discretizado, assumindo manutenção de ordem zero para a entrada u e integração contínua para o ruído v , para
com covariâncias
Onde
-
, se for não singular
e é o tempo de amostra, embora seja a matriz transposta de . A equação para o ruído de medição discretizado é uma consequência do ruído de medição contínua sendo definido com uma densidade espectral de potência.
Um truque inteligente para calcular A d e B d em uma etapa é utilizar a seguinte propriedade:
Onde e estão as matrizes de espaço de estados discretizadas.
Discretização do ruído do processo
A avaliação numérica de é um pouco mais complicada devido à integral exponencial da matriz. Pode, no entanto, ser calculado primeiro construindo uma matriz e computando o exponencial dela
O ruído do processo discretizado é então avaliado multiplicando a transposta da partição inferior direita de G pela partição superior direita de G :
Derivação
Começando com o modelo contínuo
sabemos que a matriz exponencial é
e ao pré-multiplicar o modelo, obtemos
que reconhecemos como
e integrando ..
que é uma solução analítica para o modelo contínuo.
Agora queremos discretizar a expressão acima. Assumimos que u é constante durante cada passo de tempo.
Reconhecemos a expressão entre colchetes como , e o segundo termo pode ser simplificado substituindo-o pela função . Observe isso . Também assumimos que é constante durante a integral , que por sua vez produz
que é uma solução exata para o problema de discretização.
Quando é singular, a última expressão ainda pode ser usada, substituindo por sua expansão de Taylor ,
Isso produz
que é a forma utilizada na prática.
Aproximações
A discretização exata pode às vezes ser intratável devido às operações exponenciais e integrais de matriz pesada envolvidas. É muito mais fácil calcular um modelo discreto aproximado, baseado em pequenos passos de tempo . A solução aproximada então se torna:
Isso também é conhecido como método de Euler , também conhecido como método de Euler direto. Outras aproximações possíveis são , também conhecido como o método de Euler reverso e , que é conhecido como a transformada bilinear ou transformada de Tustin. Cada uma dessas aproximações possui diferentes propriedades de estabilidade. A transformada bilinear preserva a instabilidade do sistema de tempo contínuo.
Discretização de características contínuas
Em estatística e aprendizado de máquina, a discretização se refere ao processo de conversão de recursos ou variáveis contínuas em recursos discretizados ou nominais. Isso pode ser útil ao criar funções de massa de probabilidade.
Discretização de funções suaves
Na teoria das funções generalizadas , a discretização
surge como um caso particular do Teorema da Convolução
em distribuições temperadas.
onde é o pente de Dirac ,
é discretização, é
periodization , é uma distribuição temperado a diminuir rapidamente (por exemplo, uma função delta de Dirac , ou qualquer outro
compactamente suportado função), é um alisar ,
crescendo lentamente função normal (por exemplo, a função que é constantemente
ou qualquer outra função limitada por banda ) e é a transformada de Fourier ( frequência unitária comum) . Funções que não são suaves podem ser suavizadas usando um molificador antes da discretização.
A título de exemplo, a discretização da função que é constantemente produz a sequência que, interpretada como os coeficientes de uma combinação linear de funções delta de Dirac , forma um pente de Dirac . Se adicionalmente o truncamento for aplicado, obtém-se sequências finitas, por exemplo . Eles são discretos em ambos, tempo e frequência.
Veja também
Referências
Leitura adicional
links externos