Discriminante - Discriminant

Em matemática , o discriminante de um polinômio é uma quantidade que depende dos coeficientes e determina várias propriedades das raízes . Geralmente é definido como uma função polinomial dos coeficientes do polinômio original. O discriminante é amplamente utilizado em fatoração polinomial , teoria dos números e geometria algébrica . Freqüentemente, é denotado pelo símbolo .

O discriminante do polinômio quadrático com um ≠ 0 é:

a quantidade que aparece sob a raiz quadrada na fórmula quadrática . Este discriminante é zero se e somente se o polinômio tiver uma raiz dupla . No caso de coeficientes reais , é positivo se o polinômio tiver duas raízes reais distintas e negativo se tiver duas raízes conjugadas complexas distintas . Da mesma forma, para um polinômio cúbico , há um discriminante que é zero se e somente se o polinômio tiver uma raiz múltipla . No caso de uma cúbica com coeficientes reais, o discriminante é positivo se o polinômio tiver três raízes reais distintas, e negativo se tiver uma raiz real e duas raízes conjugadas complexas distintas.

Mais geralmente, o discriminante de um polinômio univariado de grau positivo é zero se e somente se o polinômio tiver uma raiz múltipla. Para coeficientes reais e sem raízes múltiplas, o discriminante é positivo se o número de raízes não reais for um múltiplo de 4 (incluindo nenhuma) e negativo caso contrário.

Várias generalizações também são chamadas de discriminantes: o discriminante de um campo numérico algébrico ; o discriminante de uma forma quadrática ; e mais geralmente, o discriminante de uma forma , de um polinômio homogêneo ou de uma hipersuperfície projetiva (esses três conceitos são essencialmente equivalentes).

Origem

O termo "discriminante" foi cunhado em 1851 pelo matemático britânico James Joseph Sylvester .

Definição

Deixar

ser um polinômio de grau n (isso significa ), de modo que os coeficientes pertençam a um campo ou, mais geralmente, a um anel comutativo . A resultante de A e sua derivada é um polinômio com coeficientes inteiros , que é o determinante da matriz de Sylvester de A e A . As entradas diferentes de zero da primeira coluna da matriz são Sylvester e e o resultante é, assim, um múltiplo de Daí a discriminante-se para o seu início de sessão é definido como o quociente entre o resultante de uma e A' pela

Historicamente, este sinal foi escolhido de forma que, sobre os reais, o discriminante será positivo quando todas as raízes do polinômio forem reais. A divisão por pode não ser bem definida se o anel dos coeficientes contiver zero divisores . Esse problema pode ser evitado substituindo-se por 1 na primeira coluna da matriz de Sylvester - antes de calcular o determinante. Em qualquer caso, o discriminante é um polinômio com coeficientes inteiros.

Expressão em termos de raízes

Quando o polinômio é definido sobre um campo , ele tem n raízes, r 1 , r 2 , ..., r n , não necessariamente todos distintos, em qualquer extensão algebraicamente fechada do campo. (Se os coeficientes forem números reais, as raízes podem ser obtidas no campo dos números complexos , onde se aplica o teorema fundamental da álgebra .)

Em termos de raízes, o discriminante é igual a

É, portanto, o quadrado do polinômio de Vandermonde vezes a n 2 n - 2 .

Esta expressão para o discriminante é freqüentemente tomada como uma definição. Deixa claro que se o polinômio tem uma raiz múltipla , então seu discriminante é zero, e que se todas as raízes são reais e simples, então o discriminante é positivo. Ao contrário da definição anterior, esta expressão não é obviamente um polinômio nos coeficientes, mas isso decorre do teorema fundamental da teoria de Galois ou do teorema fundamental dos polinômios simétricos , observando que esta expressão é um polinômio simétrico nas raízes de A .

Graus baixos

O discriminante de um polinômio linear (grau 1) raramente é considerado. Se necessário, é comumente definido como igual a 1 (usando as convenções usuais para o produto vazio e considerando que um dos dois blocos da matriz de Sylvester está vazio ). Não existe uma convenção comum para o discriminante de um polinômio constante (ou seja, polinômio de grau 0).

Para graus pequenos, o discriminante é bastante simples (veja abaixo), mas para graus mais altos, pode se tornar difícil de manejar. Por exemplo, o discriminante de uma quártica geral tem 16 termos, o de uma quíntica tem 59 termos e o de uma sêxtica tem 246 termos. Esta é a sequência OEIS A007878 .

Grau 2

O polinômio quadrático tem discriminante

A raiz quadrada do discriminante aparece na fórmula quadrática para as raízes do polinômio quadrático:

onde o discriminante é zero se e somente se as duas raízes forem iguais. Se a , b , c forem números reais , o polinômio terá duas raízes reais distintas se o discriminante for positivo e duas raízes conjugadas complexas se for negativo.

O discriminante é o produto de a 2 pelo quadrado da diferença das raízes.

Se a , b , c são números racionais , então o discriminante é o quadrado de um número racional se e somente se as duas raízes são números racionais.

Grau 3

O conjunto zero do discriminante do cúbico x 3 + bx 2 + cx + d , ou seja, pontos que satisfazem b 2 c 2 - 4 c 3 - 4 b 3 d - 27 d 2 + 18 bcd = 0 .

O polinômio cúbico tem discriminante

No caso especial de um polinômio cúbico deprimido , o discriminante simplifica para

O discriminante é zero se e somente se pelo menos duas raízes forem iguais. Se os coeficientes são números reais e o discriminante não é zero, o discriminante é positivo se as raízes forem três números reais distintos e negativo se houver uma raiz real e duas raízes conjugadas complexas .

A raiz quadrada de uma quantidade fortemente relacionada ao discriminante aparece nas fórmulas para as raízes de um polinômio cúbico . Especificamente, essa quantidade pode ser −3 vezes o discriminante, ou seu produto com o quadrado de um número racional; por exemplo, o quadrado de 1/18 no caso da fórmula de Cardano .

Se o polinômio é irredutível e seus coeficientes são números racionais (ou pertencem a um campo numérico ), então o discriminante é um quadrado de um número racional (ou um número do campo numérico) se e somente se o grupo de Galois da equação cúbica é o grupo cíclico de ordem três.

Grau 4

O discriminante do polinômio quártico x 4 + cx 2 + dx + e . A superfície representa os pontos ( c , d , e ) onde o polinômio tem uma raiz repetida. A aresta cúspide corresponde aos polinômios com raiz tripla, e a autointerseção corresponde aos polinômios com duas raízes repetidas diferentes.

O polinômio quártico tem discriminante

O discriminante é zero se e somente se pelo menos duas raízes forem iguais. Se os coeficientes são números reais e o discriminante é negativo, então existem duas raízes reais e duas raízes conjugadas complexas . Por outro lado, se o discriminante for positivo, então as raízes são todas reais ou todas não reais.

Propriedades

Discriminante zero

O discriminante de um polinômio sobre um campo é zero se e somente se o polinômio tiver uma raiz múltipla em alguma extensão de campo .

O discriminante de um polinômio sobre um domínio integral é zero se e somente se o polinômio e sua derivada têm um divisor comum não constante.

Na característica 0, isso equivale a dizer que o polinômio não é livre de quadrados (ou seja, divisível pelo quadrado de um polinômio não constante).

Na característica diferente de zero p , o discriminante é zero se e somente se o polinômio não é livre de quadrados ou tem um fator irredutível que não é separável (isto é, o fator irredutível é um polinômio em ).

Invariância sob mudança da variável

O discriminante de um polinômio é, até uma escala, invariante sob qualquer transformação projetiva da variável. Como uma transformação projetiva pode ser decomposta em um produto de traduções, homotetias e inversões, isso resulta nas seguintes fórmulas para transformações mais simples, onde P ( x ) denota um polinômio de grau n , com coeficiente líder.

  • Invariância por tradução :
Isso resulta da expressão do discriminante em termos das raízes
  • Invariância por homotetia :
Isso resulta da expressão em termos das raízes, ou da quase homogeneidade do discriminante.
  • Invariância por inversão :
quando Aqui, denota o polinômio recíproco de P ; isto é, se e então

Invariância sob homomorfismos de anel

Seja um homomorfismo de anéis comutativos . Dado um polinômio

em R [ x ] , o homomorfismo atua em A para produzir o polinômio

em S [ x ] .

O discriminante é invariante no seguinte sentido. Se então

Como o discriminante é definido em termos de um determinante, essa propriedade resulta imediatamente da propriedade semelhante dos determinantes.

Se então pode ser zero ou não. Um tem, quando

Quando alguém está interessado apenas em saber se um discriminante é zero (como geralmente é o caso na geometria algébrica ), essas propriedades podem ser resumidas como:

se e somente se ou

Freqüentemente, isso é interpretado como se, e somente se, tivesse uma raiz múltipla (possivelmente no infinito ).

Produto de polinômios

Se R = PQ é um produto de polinômios em x , então

onde indica o resultante com relação à variável X , e p e q são os respectivos graus de P e Q .

Esta propriedade segue imediatamente substituindo a expressão pelo resultante, e pelo discriminante, em termos das raízes dos respectivos polinômios.

Homogeneidade

O discriminante é um polinômio homogêneo nos coeficientes; é também um polinômio homogêneo nas raízes e, portanto, quase homogêneo nos coeficientes.

O discriminante de um polinômio de grau n é homogêneo de grau 2 n - 2 nos coeficientes. Isso pode ser visto de duas maneiras. Em termos da fórmula de raízes e termo líder, multiplicar todos os coeficientes por λ não altera as raízes, mas multiplica o termo líder por λ . Em termos de sua expressão como um determinante de uma matriz (2 n - 1) × (2 n - 1) (a matriz de Sylvester ) dividida por a n , o determinante é homogêneo de grau 2 n - 1 nas entradas, e se divide por a n torna o grau 2 n - 2 .

O discriminante de um polinômio de grau n é homogêneo de grau n ( n - 1) nas raízes. Isso decorre da expressão do discriminante em termos das raízes, que é o produto de uma diferença constante e quadrada das raízes.

O discriminante de um polinômio de grau n é quase homogêneo de grau n ( n - 1) nos coeficientes, se, para cada i , o coeficiente de recebe o peso n - i . Também é quase homogêneo do mesmo grau, se, para cada i , o coeficiente de é dado o peso. Isso é uma consequência do fato geral de que todo polinômio que é homogêneo e simétrico nas raízes pode ser expresso como um quase polinômio homogêneo nas funções simétricas elementares das raízes.

Considere o polinômio

Resulta do que precede que os expoentes em todo monômio a 0 i 0 . ..., um n i n aparecendo no discriminante satisfaz as duas equações

e

e também a equação

que é obtido subtraindo a segunda equação da primeira multiplicada por n .

Isso restringe os termos possíveis no discriminante. Para o polinômio quadrático geral, existem apenas duas possibilidades e dois termos no discriminante, enquanto o polinômio homogêneo geral de grau dois em três variáveis ​​tem 6 termos. Para o polinômio cúbico geral, há cinco possibilidades e cinco termos no discriminante, enquanto o polinômio homogêneo geral de grau 4 em 5 variáveis ​​tem 70 termos

Para graus mais elevados, pode haver monômios que satisfaçam as equações acima e não aparecem no discriminante. O primeiro exemplo é para o polinômio quártico ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e , caso em que o monômio bc 4 d satisfaz as equações sem aparecer no discriminante.

Raízes reais

Nesta seção, todos os polinômios têm coeficientes reais .

Foi visto em § Graus baixos que o sinal do discriminante fornece uma informação completa sobre a natureza das raízes para polinômios de grau 2 e 3. Para graus mais altos, a informação fornecida pelo discriminante é menos completa, mas ainda útil. Mais precisamente, para um polinômio de grau n , tem-se:

  • O polinômio tem uma raiz múltipla se e somente se seu discriminante for zero.
  • Se o discriminante for positivo, o número de raízes não reais é um múltiplo de 4. Ou seja, há um inteiro não negativo kn / 4 tal que há 2 k pares de raízes conjugadas complexas e n - 4 k raízes reais .
  • Se o discriminante for negativo, o número de raízes não reais não é um múltiplo de 4. Ou seja, há um inteiro não negativo k ≤ ( n - 2) / 4 tal que há 2 k + 1 pares de raízes conjugadas complexas e n - 4 k + 2 raízes reais.

Polinômio bivariado homogêneo

Deixar

ser um polinômio homogêneo de grau n em dois indeterminados.

Supondo, por enquanto, que e ambos sejam diferentes de zero, um tem

Denotando esta quantidade por um tem

e

Devido a estas propriedades, a quantidade é chamado o discriminante ou o discriminante homogénea de Uma .

Se e forem permitidos ser zero, os polinômios A ( x , 1) e A (1, y ) podem ter um grau menor que n . Neste caso, as fórmulas e definições acima permanecem válidas, se os discriminantes forem calculados como se todos os polinômios tivessem o grau n . Isso significa que os discriminantes devem ser calculados com e indeterminados, a substituição por eles de seus valores reais sendo feita após esse cálculo. De forma equivalente, as fórmulas de § Invariância sob homomorfismos de anel devem ser usadas.

Use em geometria algébrica

O uso típico de discriminantes em geometria algébrica é para estudar curvas algébricas e, mais geralmente, hipersuperfícies algébricas . Seja V essa curva ou hipersuperfície; V é definido como o conjunto zero de um polinômio multivariado . Este polinômio pode ser considerado um polinômio univariado em um dos indeterminados, com polinômios nos outros indeterminados como coeficientes. O discriminante em relação ao indeterminado selecionado define uma hipersuperfície W no espaço dos outros indeterminados. Os pontos de W são exatamente a projeção dos pontos de V (incluindo os pontos no infinito ), que são singulares ou têm um hiperplano tangente paralelo ao eixo do indeterminado selecionado.

Por exemplo, seja f um polinômio bivariado em X e Y com coeficientes reais, tal que  f  = 0 é a equação implícita de uma curva algébrica plana . Vendo f como um polinômio univariado em Y com coeficientes dependendo de X , então o discriminante é um polinômio em X cujas raízes são as coordenadas X dos pontos singulares, dos pontos com uma tangente paralela ao eixo Y e de alguns de as assíntotas paralelas ao eixo Y. Em outras palavras, o cálculo das raízes do discriminante Y e do discriminante X permite calcular todos os pontos notáveis ​​da curva, exceto os pontos de inflexão .

Generalizações

Existem duas classes do conceito de discriminante. A primeira classe é o discriminante de um campo de número algébrico , que, em alguns casos incluindo campos quadráticos , é o discriminante de um polinômio que define o campo.

Discriminantes da segunda classe surgem para problemas dependentes de coeficientes, quando instâncias degeneradas ou singularidades do problema são caracterizadas pelo desaparecimento de um único polinômio nos coeficientes. Esse é o caso do discriminante de um polinômio, que é zero quando duas raízes entram em colapso. A maioria dos casos, onde tal discriminante generalizado é definido, são exemplos do seguinte.

Seja A um polinômio homogêneo em n indeterminados sobre um campo de característica 0, ou de uma característica principal que não divide o grau do polinômio. O polinômio A define uma hipersuperfície projetiva , que possui pontos singulares se e apenas as n derivadas parciais de A têm um zero comum não trivial . Este é o caso, se e apenas se o resultante multivariada destes derivados parciais é zero, e este resultante pode ser considerado como o discriminante de um . No entanto, por causa dos coeficientes inteiros resultantes da derivação, essa resultante multivariada pode ser divisível por uma potência de n , e é melhor tomar, como discriminante, a parte primitiva da resultante, calculada com coeficientes genéricos. A restrição na característica é necessária porque, caso contrário, um zero comum da derivada parcial não é necessariamente um zero do polinômio (consulte a identidade de Euler para polinômios homogêneos ).

No caso de um polinômio bivariado homogêneo de grau d , este discriminante geral é vezes o discriminante definido em § Polinômio bivariado homogêneo . Vários outros tipos clássicos de discriminantes, que são instâncias da definição geral, são descritos nas próximas seções.

Formas quadráticas

Uma forma quadrática é uma função sobre um espaço vetorial , que é definida sobre alguma base por um polinômio homogêneo de grau 2:

ou, em forma de matriz,

para a matriz simétrica , o vetor linha e o vetor coluna . Em característica diferente de 2, o discriminante ou determinante de Q é o determinante de uma .

O determinante Hessiano de Q é vezes seu discriminante. A resultante multivariada das derivadas parciais de Q é igual ao seu determinante Hessiano. Portanto, o discriminante de uma forma quadrática é um caso especial da definição geral de discriminante acima.

O discriminante de uma forma quadrática é invariante sob mudanças lineares de variáveis ​​(isto é, uma mudança de base do espaço vetorial no qual a forma quadrática é definida) no seguinte sentido: uma mudança linear de variáveis ​​é definida por uma matriz não singular S , altera a matriz a em e, assim, multiplica o discriminante pelo quadrado do determinante de S . Assim, o discriminante é bem definido apenas até a multiplicação por um quadrado. Em outras palavras, o discriminante de uma forma quadrática sobre um campo K é um elemento de K / ( K × ) 2 , o quociente do monóide multiplicativo de K pelo subgrupo dos quadrados diferentes de zero (ou seja, dois elementos de K são na mesma classe de equivalência se um for o produto do outro por um quadrado diferente de zero). Segue-se que sobre os números complexos , um discriminante é equivalente a 0 ou 1. Sobre os números reais , um discriminante é equivalente a -1, 0 ou 1. Sobre os números racionais , um discriminante é equivalente a um único quadrado livre inteiro .

Por um teorema de Jacobi , uma forma quadrática sobre um campo de característica diferente de 2 pode ser expressa, após uma mudança linear de variáveis, na forma diagonal como

Mais precisamente, uma forma quadrática em pode ser expressa como uma soma

onde o L i são formas lineares independentes e n é o número das variáveis (alguns dos a um i pode ser zero). Equivalentemente, para qualquer matriz simétrica A , existe uma matriz elementar S tal que é uma matriz diagonal. Em seguida, o discriminante é o produto do uma i , que está bem definida como uma classe de K / ( K × ) 2 .

Geometricamente, o discriminante de uma forma quadrática em três variáveis ​​é a equação de uma curva projetiva quadrática . O discriminante é zero se e somente se a curva é decomposta em linhas (possivelmente sobre uma extensão algebraicamente fechada do campo).

Uma forma quadrática em quatro variáveis ​​é a equação de uma superfície projetiva . A superfície tem um ponto singular se e somente seu discriminante for zero. Neste caso, ou a superfície pode ser decomposta em planos, ou ela tem um único ponto singular e é um cone ou um cilindro . Sobre os reais, se o discriminante for positivo, então a superfície ou não tem ponto real ou tem em toda parte uma curvatura gaussiana negativa . Se o discriminante for negativo, a superfície tem pontos reais e uma curvatura gaussiana negativa.

Seções cônicas

Uma seção cônica é uma curva plana definida por uma equação implícita da forma

onde a , b , c , d , e , f são números reais.

Duas formas quadráticas e, portanto, dois discriminantes podem ser associados a uma seção cônica.

A primeira forma quadrática é

Seu discriminante é o determinante

É zero se a seção cônica degenera em duas linhas, uma linha dupla ou um único ponto.

O segundo discriminante, que é o único considerado em muitos livros didáticos elementares, é o discriminante da parte homogênea do grau dois da equação. É igual a

e determina a forma da seção cônica. Se este discriminante for negativo, a curva ou não tem pontos reais, ou é uma elipse ou um círculo , ou, se degenerada, é reduzida a um único ponto. Se o discriminante for zero, a curva é uma parábola ou, se degenerada, uma linha dupla ou duas linhas paralelas. Se o discriminante for positivo, a curva é uma hipérbole ou, se degenerada, um par de linhas que se cruzam.

Superfícies quádricas reais

Uma superfície quádrica real no espaço euclidiano de dimensão três é uma superfície que pode ser definida como os zeros de um polinômio de grau dois em três variáveis. Quanto às seções cônicas, existem dois discriminantes que podem ser definidos naturalmente. Ambos são úteis para obter informações sobre a natureza de uma superfície quádrica.

Let Ser um polinômio de grau dois em três variáveis ​​que define uma superfície quádrica real. A primeira forma quadrática associada, depende de quatro variáveis, e é obtida homogeneizando P ; isso é

Vamos denotar seu discriminante por

A segunda forma quadrática depende de três variáveis ​​e consiste nos termos do grau dois de P ; isso é

Vamos denotar seu discriminante por

Se ea superfície tem pontos de reais, ou é um parabolóide hiperbólico ou um hiperbolóide de uma folha . Em ambos os casos, esta é uma superfície regulada que possui uma curvatura gaussiana negativa em todos os pontos.

Se a superfície for um elipsóide ou um hiperbolóide de duas folhas ou um parabolóide elíptico . Em todos os casos, ele tem uma curvatura gaussiana positiva em todos os pontos.

Se a superfície tiver um ponto singular , possivelmente no infinito . Se houver apenas um ponto singular, a superfície é um cilindro ou um cone . Se houver vários pontos singulares, a superfície consiste em dois planos, um plano duplo ou uma linha simples.

Quando o sinal de se não 0, não fornece nenhuma informação útil, pois a mudança de P em - P não muda a superfície, mas muda o sinal de No entanto, se e a superfície é um parabolóide , que é elíptico ou hiperbólico, dependendo de o sinal de

Discriminante de um campo de número algébrico

Referências

links externos