União disjunta - Disjoint union

Em matemática , uma união disjunta (ou união discriminada ) de uma família de conjuntos é um conjunto com uma função injetiva de cada um em A , de modo que as imagens dessas injeções formem uma partição de A (ou seja, cada elemento de A pertence a exatamente uma dessas imagens). A união disjunta de uma família de conjuntos disjuntos aos pares é a união deles . Em termos da teoria das categorias , a união disjunta é o coproduto da categoria dos conjuntos . A união disjunta é assim definida até uma bijeção.

Uma maneira padrão de construir a união disjunta é definir A como o conjunto de pares ordenados ( x , i ) de modo que e as funções injetivas por

Exemplo

Considere os conjuntos e . Podemos indexar os elementos do conjunto de acordo com a origem do conjunto, formando os conjuntos associados

onde o segundo elemento em cada par corresponde ao subscrito do conjunto de origem (por exemplo, o in corresponde ao subscrito in , etc.). A união disjunta pode então ser calculada da seguinte forma:

Definição da teoria dos conjuntos

Formalmente, seja uma família de conjuntos indexados por A união disjunta desta família é o conjunto

Os elementos da união disjunta são pares ordenados. Aqui serve como um índice auxiliar que indica de onde veio o elemento .

Cada um dos conjuntos é canonicamente isomórfico ao conjunto

Através deste isomorfismo, pode-se considerar que está canonicamente embutido na união disjunta. Pois os conjuntos e são disjuntos, mesmo que os conjuntos e não sejam.

No caso extremo em que cada um dos é igual a algum conjunto fixo para cada um, a união disjunta é o produto cartesiano de e :

Pode-se ocasionalmente ver a notação

para a união disjunta de uma família de conjuntos, ou a notação para a união disjunta de dois conjuntos. Esta notação pretende sugerir o fato de que a cardinalidade da união disjunta é a soma das cardinalidades dos termos na família. Compare isso com a notação para o produto cartesiano de uma família de conjuntos.

As uniões desarticuladas às vezes também são escritas ou

Na linguagem da teoria das categorias , a união disjunta é o coproduto na categoria dos conjuntos . Portanto, satisfaz a propriedade universal associada . Isso também significa que a união disjunta é o dual categórico da construção cartesiana do produto . Veja coproduto para mais detalhes.

Para muitos propósitos, a escolha particular do índice auxiliar não é importante e, em um abuso simplificador de notação , a família indexada pode ser tratada simplesmente como uma coleção de conjuntos. Nesse caso, é referido como uma cópia de e a notação às vezes é usada.

Ponto de vista da teoria da categoria

Na teoria das categorias, a união disjunta é definida como um coproduto na categoria dos conjuntos.

Como tal, a união disjunta é definida até um isomorfismo, e a definição acima é apenas uma realização do coproduto, entre outras. Quando os conjuntos são disjuntos aos pares, a união usual é outra realização do coproduto. Isso justifica a segunda definição na liderança.

Este aspecto categórico da união disjunta explica por que é freqüentemente usado, em vez de , para denotar coproduto .

Veja também

Referências

  • Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (quarta impressão corrigida, terceira edição revisada), Nova York: Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
  • Weisstein, Eric W. "Disjoint Union" . MathWorld .