Teorema do número primo - Prime number theorem

Na teoria dos números , o teorema dos números primos ( PNT ) descreve a distribuição assintótica dos números primos entre os inteiros positivos. Ele formaliza a ideia intuitiva de que os primos se tornam menos comuns à medida que se tornam maiores, ao quantificar com precisão a taxa em que isso ocorre. O teorema foi provado independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée Poussin em 1896 usando idéias introduzidas por Bernhard Riemann (em particular, a função zeta de Riemann ).

A primeira distribuição encontrada é π ( N ) ~ N/log ( N ), Onde π ( N ) representa a função de contagem de números primos (o número de números primos menos do que ou igual a N ) e log ( N ) é o logaritmo natural de N . Isso significa que, para N grande o suficiente , a probabilidade de que um inteiro aleatório não maior que N seja primo é muito próxima de 1 / log ( N ) . Consequentemente, um inteiro aleatório com no máximo 2 n dígitos (para n grande o suficiente ) tem cerca de metade da probabilidade de ser primo do que um inteiro aleatório com no máximo n dígitos. Por exemplo, entre os inteiros positivos de no máximo 1000 dígitos, cerca de um em 2300 é primo ( log (10 1000 ) ≈ 2302,6 ), enquanto entre inteiros positivos de no máximo 2.000 dígitos, cerca de um em 4600 é primo ( log (10 2000) ) ≈ 4605,2 ). Em outras palavras, o intervalo médio entre os números primos consecutivos entre os primeiros N inteiros é aproximadamente log ( N ) .

Demonstração

Gráfico mostrando a proporção da função de contagem de primos π ( x ) para duas de suas aproximações, x / log x e Li ( x ) . À medida que x aumenta (observe que o eixo x é logarítmico), ambas as razões tendem para 1. A razão para x / log x converge de cima muito lentamente, enquanto a razão para Li ( x ) converge mais rapidamente de baixo.
Gráfico log-log mostrando o erro absoluto de x / log x e Li ( x ) , duas aproximações para a função de contagem de primos π ( x ) . Ao contrário da relação, a diferença entre π ( x ) e x / log de x aumenta sem ligado como x aumenta. Por outro lado, os comutadores Li ( x ) - π ( x ) assinam um número infinito de vezes.

Seja π ( x ) a função de contagem de primos que fornece o número de primos menor ou igual a x , para qualquer número real  x . Por exemplo, π (10) = 4 porque há quatro números primos (2, 3, 5 e 7) menores ou iguais a 10. O teorema dos números primos afirma que x / log x é uma boa aproximação de π ( x ) (onde log aqui significa o logaritmo natural), no sentido de que o limite do quociente das duas funções π ( x ) e x / log x conforme x aumenta sem limite é 1:

conhecida como lei assintótica de distribuição de números primos . Usando a notação assintótica, este resultado pode ser reafirmado como

Esta notação (eo teorema ) faz não dizer nada sobre o limite da diferença das duas funções como x aumenta sem limites. Em vez disso, o teorema afirma que x / log x se aproxima de π ( x ) no sentido de que o erro relativo dessa aproximação se aproxima de 0 à medida que x aumenta sem limite.

O teorema dos números primos é equivalente à afirmação de que o n- ésimo número primo p n satisfaz

a notação assintótica significa, novamente, que o erro relativo dessa aproximação se aproxima de 0 conforme n aumenta sem limite. Por exemplo, o2 × 10 17 o número primo é8 512 677 386 048 191 063 , e (2 × 10 17 ) log (2 × 10 17 ) arredondado para7 967 418 752 291 744 388 , um erro relativo de cerca de 6,4%.

Conforme descrito abaixo , o teorema dos números primos também é equivalente a

onde ϑ e ψ são a primeira e a segunda funções de Chebyshev, respectivamente.

História da prova da lei assintótica dos números primos

Com base nas tabelas de Anton Felkel e Jurij Vega , Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 ou 1798 que π ( a ) é aproximado pela função a / ( A log a + B ) , onde A e B são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre a teoria dos números (1808), ele fez uma conjectura mais precisa , com A = 1 e B = -1,08366 . Carl Friedrich Gauss considerou a mesma questão aos 15 ou 16 anos "no ano de 1792 ou 1793", de acordo com sua própria lembrança em 1849. Em 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet surgiu com sua própria função de aproximação, a integral logarítmica li ( x ) (sob a forma ligeiramente diferente de uma série, que ele comunicou a Gauss). Ambas as fórmulas de Legendre e Dirichlet implicam na mesma equivalência assintótica conjecturada de π ( x ) e x / log ( x ) declarada acima, embora tenhamos descoberto que a aproximação de Dirichlet é consideravelmente melhor se considerarmos as diferenças em vez de quocientes.

Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnuty Chebyshev tentou provar a lei assintótica da distribuição dos números primos. Seu trabalho é notável pelo uso da função zeta ζ ( s ) , para valores reais do argumento " s ", como nas obras de Leonhard Euler , já em 1737. Os papéis de Chebyshev são anteriores às célebres memórias de Riemann de 1859, e ele conseguiu ao provar uma forma ligeiramente mais fraca da lei assintótica, a saber, que se o limite conforme x vai ao infinito de π ( x ) / ( x / log ( x )) existe, então ele é necessariamente igual a um. Ele foi capaz de provar incondicionalmente que essa razão é limitada acima e abaixo por duas constantes explicitamente dadas próximas a 1, para todo x suficientemente grande . Embora o artigo de Chebyshev não tenha provado o teorema dos números primos, suas estimativas para π ( x ) foram fortes o suficiente para ele provar o postulado de Bertrand de que existe um número primo entre n e 2 n para qualquer inteiro n ≥ 2 .

Um artigo importante sobre a distribuição de números primos foi o livro de memórias de Riemann, de 1859, " Sobre o número de primos menores que uma magnitude dada ", o único artigo que ele escreveu sobre o assunto. Riemann introduziu novas idéias no assunto, principalmente que a distribuição de números primos está intimamente conectada com os zeros da função zeta de Riemann analiticamente estendida de uma variável complexa. Em particular, é neste artigo que se origina a ideia de aplicar métodos de análise complexa ao estudo da função real π ( x ) . Estendendo as idéias de Riemann, duas provas da lei assintótica da distribuição dos números primos foram encontradas independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée Poussin e apareceram no mesmo ano (1896). Ambas as provas utilizaram métodos de análise complexa, estabelecendo como etapa principal da prova que a função zeta de Riemann ζ ( s ) é diferente de zero para todos os valores complexos da variável s que possuem a forma s = 1 + it com t > 0 .

Durante o século 20, o teorema de Hadamard e de la Vallée Poussin também se tornou conhecido como o teorema dos números primos. Várias provas diferentes foram encontradas, incluindo as provas "elementares" de Atle Selberg e Paul Erdős (1949). As provas originais de Hadamard e de la Vallée Poussin são longas e elaboradas; provas posteriores introduziram várias simplificações por meio do uso de teoremas de Tauber, mas permaneceram difíceis de digerir. Uma pequena prova foi descoberta em 1980 pelo matemático americano Donald J. Newman . A prova de Newman é indiscutivelmente a prova mais simples conhecida do teorema, embora não seja elementar no sentido de que usa o teorema integral de Cauchy da análise complexa.

Esboço de prova

Aqui está um esboço da prova referida em uma das palestras de Terence Tao . Como a maioria das provas do PNT, ele começa reformulando o problema em termos de uma função de contagem de primos menos intuitiva, mas melhor comportada. A ideia é contar os primos (ou um conjunto relacionado, como o conjunto de potências primárias) com pesos para chegar a uma função com comportamento assintótico mais suave. A função de contagem generalizada mais comum é a função Chebyshev ψ ( x ) , definida por

Isso às vezes é escrito como

onde Λ ( n ) é a função de von Mangoldt , a saber

Agora é relativamente fácil verificar se o PNT é equivalente à alegação de que

Na verdade, isso decorre de estimativas fáceis

e (usando notação grande O ) para qualquer ε > 0 ,

O próximo passo é encontrar uma representação útil para ψ ( x ) . Seja ζ ( s ) a função zeta de Riemann. Pode-se mostrar que ζ ( s ) está relacionado à função de von Mangoldt Λ ( n ) e, portanto, a ψ ( x ) , através da relação

Uma análise delicada desta equação e propriedades relacionadas da função zeta, usando a transformada de Mellin e a fórmula de Perron , mostra que para o não inteiro x a equação

é válido, onde a soma é sobre todos os zeros (triviais e não triviais) da função zeta. Esta fórmula notável é uma das chamadas fórmulas explícitas da teoria dos números , e já é sugestiva do resultado que desejamos provar, uma vez que o termo x (alegado ser a ordem assintótica correta de ψ ( x ) ) aparece à direita lado esquerdo, seguido por (presumivelmente) termos assintóticos de ordem inferior.

A próxima etapa da prova envolve um estudo dos zeros da função zeta. Os zeros triviais −2, −4, −6, −8, ... podem ser tratados separadamente:

que desaparece por um grande x . Os zeros não triviais, ou seja, aqueles na faixa crítica 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 , podem ser potencialmente de uma ordem assintótica comparável ao termo principal x se Re ( ρ ) = 1 , então precisamos mostrar que todos os zeros têm real parte estritamente menor que 1.

Não desaparecendo em Re ( s ) = 1

Para fazer isso, assumimos que ζ ( s ) é meromórfico no semiplano Re ( s )> 0 , e é analítico lá, exceto por um pólo simples em s = 1 , e que há uma fórmula de produto

para Re ( s )> 1 . Esta fórmula de produto segue da existência de fatoração única de números inteiros, e mostra que ζ ( s ) nunca é zero nesta região, de modo que seu logaritmo é definido lá e

Escreva s = x + iy ; então

Agora observe a identidade

de modo a

para todo x > 1 . Suponha agora que ζ (1 + iy ) = 0 . Certamente y não é zero, pois ζ ( s ) tem um pólo simples em s = 1 . Suponha que x > 1 e que x tenda a 1 de cima. Como tem um pólo simples em s = 1 e ζ ( x + 2 iy ) permanece analítico, o lado esquerdo na desigualdade anterior tende a 0, uma contradição.

Por fim, podemos concluir que o PNT é heuristicamente verdadeiro. Para completar rigorosamente a prova, ainda há sérios aspectos técnicos a superar, devido ao fato de que a soma sobre zeta zeros na fórmula explícita para ψ ( x ) não converge absolutamente, mas apenas condicionalmente e em um sentido de "valor principal". Existem várias maneiras de contornar esse problema, mas muitas delas requerem estimativas analíticas complexas bastante delicadas. O livro de Edwards fornece os detalhes. Outro método é usar o teorema de Tauber de Ikehara , embora este teorema seja bastante difícil de provar. DJ Newman observou que a força total do teorema de Ikehara não é necessária para o teorema dos números primos, e pode-se escapar com um caso especial que é muito mais fácil de provar.

A prova de Newman do teorema dos números primos

DJ Newman dá uma prova rápida do teorema dos números primos (PNT). A prova é "não-elementar" em virtude de confiar em análise complexa, mas a estimativa crítica utiliza apenas técnicas elementares de um primeiro curso no assunto: fórmula integral de Cauchy , teorema integral de Cauchy e estimativas de integrais complexas. Aqui está um breve esboço dessa prova:

A primeira e a segunda função Chebyshev são respectivamente

A segunda série é obtida retirando os termos com da primeira. PNT é equivalente a ou .

As somas para e são somas parciais dos coeficientes da série de Dirichlet

onde está a função zeta de Riemann . Tal como acontece com as somas parciais, a segunda série é obtida retirando-se os termos com da primeira. A série de Dirichlet formada por termos com é dominada pela série de Dirichlet para qualquer positivo , portanto, a derivada logarítmica de e difere por uma função holomórfica em e, portanto, têm as mesmas singularidades na linha .

Integração por partes dá para ,

Todas as provas analíticas do teorema dos números primos usam o fato de que não há zeros na linha . Outra informação necessária na prova de Newman é que é limitada. Isso pode ser facilmente provado usando métodos elementares.

O método de Newman prova PNT, mostrando a integral

converge e, portanto, o integrando vai para zero como . Em geral, a convergência da integral imprópria não implica que o integrando vá a zero, pois pode oscilar, mas como está aumentando, é fácil mostrar neste caso.

Para deixar

então

que é holomórfico na linha . A convergência da integral é provada mostrando isso . Isso envolve a mudança da ordem dos limites, uma vez que pode ser escrito

e, portanto, classificado como um teorema de Tauber.

A diferença é expressa usando a fórmula integral de Cauchy e, em seguida, as estimativas são aplicadas à integral. Fixe e tal que seja holomórfico na região onde e deixe ser sua fronteira. Uma vez que 0 está no interior, a fórmula integral de Cauchy

Para obter uma estimativa aproximada do integrando, deixe ser um limite superior para , então, para

Este limite não é bom o suficiente para provar o resultado, mas Newman introduz o fator

no integrando para . Como o fator de Newman é inteiro e , o lado esquerdo permanece o mesmo. Agora, a estimativa acima para e as estimativas em combinar para dar

onde está o semicírculo .

Deixe ser o contorno . A função é inteira , portanto, pelo teorema da integral de Cauchy , o contorno pode ser modificado para um semicírculo de raio no semiplano esquerdo sem alterar a integral de , e o mesmo argumento fornece o valor absoluto dessa integral como . Finalmente, deixando , a integral de sobre o contorno vai para zero desde que vai para zero no contorno. Combinando as três estimativas, obtenha

Isso vale para qualquer um , e o PNT segue.

Função de contagem principal em termos da integral logarítmica

Em uma nota manuscrita sobre uma reimpressão de seu artigo de 1838 " Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres ", que ele enviou a Gauss, Dirichlet conjecturou (sob uma forma ligeiramente diferente apelando para uma série em vez de uma integral) que uma aproximação ainda melhor para π ( x ) é dada pela função integral logarítmica de deslocamento Li ( x ) , definida por

Na verdade, essa integral sugere fortemente a noção de que a "densidade" de números primos em torno de t deve ser 1 / log t . Esta função está relacionada ao logaritmo pela expansão assintótica

Portanto, o teorema dos números primos também pode ser escrito como π ( x ) ~ Li ( x ) . Na verdade, em outro jornal em 1899 de la Vallée Poussin provou que

para alguma constante positiva a , onde O (...) é a notação O grande . Isto foi melhorado para

onde .

Em 2016, Trudgian provou um limite superior explícito para a diferença entre e :

para .

A conexão entre a função zeta de Riemann e π ( x ) é uma das razões pelas quais a hipótese de Riemann tem considerável importância na teoria dos números: se estabelecida, ela renderia uma estimativa muito melhor do erro envolvido no teorema dos números primos do que está disponível hoje. Mais especificamente, Helge von Koch mostrou em 1901 que se a hipótese de Riemann for verdadeira, o termo de erro na relação acima pode ser melhorado para

(esta última estimativa é de fato equivalente à hipótese de Riemann). A constante envolvida na grande notação O foi estimada em 1976 por Lowell Schoenfeld : assumindo a hipótese de Riemann,

para todo x ≥ 2657 . Ele também derivou um limite semelhante para a função de contagem de primos de Chebyshev ψ :

para todo x ≥ 73,2 . Este último limite demonstrou expressar uma variância para a lei de potência média (quando considerada como uma função aleatória sobre os inteiros) e1/f- ruído e também corresponder à distribuição de Poisson composta de Tweedie . (As distribuições Tweedie representam uma família de distribuições invariantes de escala que servem como focos de convergência para uma generalização do teorema do limite central .)

A integral logarítmica li ( x ) é maior do que π ( x ) para valores "pequenos" de x . Isso ocorre porque ele está (em certo sentido) contando não primos, mas potências primos, onde uma potência p n de um p primo é contada como1/nde um primo. Isso sugere que li ( x ) deve geralmente ser maior do que π ( x ) por aproximadamente li ( x ) / 2 e, em particular, deve ser sempre maior do que π ( x ) . No entanto, em 1914, JE Littlewood provou que as mudanças acontecem com uma frequência infinita. O primeiro valor de x onde π ( x ) excede li ( x ) é provavelmente em torno de x = 10 316 ; consulte o artigo sobre o número de Skewes para obter mais detalhes. (Por outro lado, a integral logarítmica de deslocamento Li ( x ) é menor do que π ( x ) já para x = 2 ; na verdade, Li (2) = 0 , enquanto π (2) = 1. )

Provas elementares

Na primeira metade do século XX, alguns matemáticos (notavelmente GH Hardy ) acreditaram que existe uma hierarquia de métodos de prova em matemática dependendo de quais tipos de números ( inteiros , reais , complexos ) uma prova requer, e que o teorema dos números primos (PNT) é um teorema "profundo" em virtude de exigir uma análise complexa . Essa crença foi um tanto abalada por uma prova do PNT baseada no teorema tauberiano de Wiener , embora isso pudesse ser posto de lado se o teorema de Wiener fosse considerado como tendo uma "profundidade" equivalente à dos métodos de variáveis ​​complexas.

Em março de 1948, Atle Selberg estabeleceu, por meios "elementares", a fórmula assintótica

Onde

para primos p . Em julho daquele ano, Selberg e Paul Erdős obtiveram, cada um, provas elementares do PNT, ambos usando a fórmula assintótica de Selberg como ponto de partida. Essas provas efetivamente eliminaram a noção de que o PNT era "profundo" nesse sentido e mostraram que os métodos tecnicamente "elementares" eram mais poderosos do que se acreditava. Sobre a história das provas elementares do PNT, incluindo a disputa de prioridade Erdős – Selberg , veja um artigo de Dorian Goldfeld .

Há algum debate sobre a importância do resultado de Erdős e Selberg. Não existe uma definição rigorosa e amplamente aceita da noção de prova elementar na teoria dos números, então não está claro exatamente em que sentido sua prova é "elementar". Embora não use uma análise complexa, é na verdade muito mais técnica do que a prova padrão de PNT. Uma definição possível de uma prova "elementar" é "aquela que pode ser executada na aritmética de Peano de primeira ordem ". Existem afirmações teóricas dos números (por exemplo, o teorema de Paris-Harrington ) prováveis ​​usando métodos de segunda ordem, mas não métodos de primeira ordem , mas tais teoremas são raros até hoje. A prova de Erdős e Selberg pode certamente ser formalizada na aritmética de Peano, e em 1994, Charalambos Cornaros e Costas Dimitracopoulos provaram que sua prova pode ser formalizada em um fragmento muito fraco de PA, ou seja, I Δ 0 + exp . No entanto, isso não aborda a questão de se a prova padrão do PNT pode ou não ser formalizada no PA.

Verificações de computador

Em 2005, Avigad et al. empregou o provador do teorema Isabelle para criar uma variante verificada por computador da prova Erdős-Selberg do PNT. Esta foi a primeira prova do PNT verificada por máquina. Avigad escolheu formalizar a prova Erdős – Selberg ao invés de uma prova analítica porque embora a biblioteca de Isabelle na época pudesse implementar as noções de limite, derivada e função transcendental , quase não tinha teoria de integração para falar.

Em 2009, John Harrison empregada HOL Luz para formalizar uma prova empregando análise complexa . Ao desenvolver a máquina analítica necessária, incluindo a fórmula integral de Cauchy , Harrison foi capaz de formalizar "uma prova direta, moderna e elegante em vez do argumento Erdős-Selberg mais envolvido 'elementar'".

Teorema dos números primos para progressões aritméticas

Seja π d , a ( x ) o número de primos na progressão aritmética a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... que são menores que x . Dirichlet e Legendre conjecturaram, e de la Vallée Poussin provou, que, se a e d são coprimes , então

onde φ é a função totiente de Euler . Em outras palavras, os primos são distribuídos uniformemente entre as classes de resíduos [ a ] módulo d com mdc ( a , d ) = 1. Isso é mais forte do que o teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas (que apenas afirma que há uma infinidade de primos em cada classe) e pode ser provado usando métodos semelhantes usados ​​por Newman para sua prova do teorema dos números primos.

O teorema de Siegel-Walfisz fornece uma boa estimativa para a distribuição dos primos nas classes de resíduos.

Bennett et al. provou a seguinte estimativa que tem constantes explícitas A e B (Teorema 1.3): Seja d um inteiro e seja a um inteiro que é coprime de d . Então, existem constantes positivas A e B tais que

para todos ,

Onde

se e se ,

e

se e se .

Corrida de números primos

Embora tenhamos em particular

empiricamente, os primos congruentes a 3 são mais numerosos e quase sempre estão à frente nesta "corrida dos números primos"; a primeira reversão ocorre em x = 26861 . No entanto, Littlewood mostrou em 1914 que existem infinitas mudanças de sinal para a função

assim, a liderança na corrida muda para frente e para trás infinitamente muitas vezes. O fenômeno de que π 4,3 ( x ) está à frente na maioria das vezes é chamado de viés de Chebyshev . A corrida dos números primos generaliza para outros módulos e é o assunto de muitas pesquisas; Pál Turán perguntou se é sempre o caso que pi ( x ; a , c ) e pi ( x ; b , c ) lugares de alteração quando um e b são primos entre si para c . Granville e Martin fazem uma exposição e um levantamento minuciosos.

Limites não assintóticos na função de contagem de primos

O teorema dos números primos é um resultado assintótico . Ele dá um limite ineficaz em π ( x ) como uma consequência direta da definição do limite: para todo ε > 0 , existe um S tal que para todo x > S ,

No entanto, melhor limites sobre π ( X ) são conhecidos, por exemplo Pierre Dusart s'

A primeira desigualdade vale para todo x ≥ 599 e a segunda para x ≥ 355991 .

Um limite mais fraco, mas às vezes útil para x ≥ 55 é

Na tese de Pierre Dusart, existem versões mais fortes desse tipo de desigualdade que são válidas para x maiores . Mais tarde, em 2010, Dusart provou:

A prova de de la Vallée Poussin implica o seguinte. Para cada ε > 0 , existe um S tal que para todo x > S ,

Aproximações para o n º número primo

Como consequência do teorema dos números primos, obtém-se uma expressão assintótica para o n- ésimo número primo, denotado por p n :

Uma melhor aproximação é

Considerando novamente o 2 × 10 17º número primo8 512 677 386 048 191 063 , isso dá uma estimativa de8 512 681 315 554 715 386 ; os primeiros 5 dígitos correspondem e o erro relativo é de cerca de 0,00005%.

O teorema de Rosser afirma que

Isso pode ser melhorado pelo seguinte par de limites:

Tabela de π ( x ) , x / log x e li ( x )

A tabela compara os valores exatos de π ( x ) com as duas aproximações x / log x e li ( x ) . A última coluna, x / π ( x ) , é o intervalo primo médio abaixo de  x .

x π ( x ) π ( x ) -x/log x π ( x )/x / log x li ( x ) - π ( x ) x/π ( x )
10 4 -0,3 0,921 2,2 2,500
10 2 25 3,3 1.151 5,1 40,000
10 3 168 23.0 1,161 10.0 5,952
10 4 1 229 143.0 1.132 17.0 8.137
10 5 9 592 906.0 1,104 38.0 10,425
10 6 78 498 6 116.0 1.084 130.0 12,740
10 7 664 579 44 158.0 1.071 339.0 15.047
10 8 5 761 455 332 774.0 1.061 754.0 17.357
10 9 50 847 534 2 592 592.0 1.054 1 701.0 19,667
10 10 455 052 511 20 758 029.0 1.048 3 104.0 21.975
10 11 4 118 054 813 169 923 159.0 1.043 11 588.0 24,283
10 12 37 607 912 018 1 416 705 193.0 1.039 38 263.0 26.590
10 13 346 065 536 839 11 992 858 452.0 1.034 108 971.0 28,896
10 14 3 204 941 750 802 102 838 308 636.0 1.033 314 890.0 31.202
10 15 29 844 570 422 669 891 604 962 452.0 1.031 1 052 619.0 33,507
10 16 279 238 341 033 925 7 804 289 844 393.0 1.029 3 214 632.0 35.812
10 17 2 623 557 157 654 233 68 883 734 693 281.0 1.027 7 956 589.0 38,116
10 18 24 739 954 287 740 860 612 483 070 893 536.0 1.025 21 949 555.0 40.420
10 19 234 057 667 276 344 607 5 481 624 169 369 960.0 1.024 99 877 775.0 42,725
10 20 2 220 819 602 560 918 840 49 347 193 044 659 701.0 1.023 222 744 644.0 45.028
10 21 21 127 269 486 018 731 928 446 579 871 578 168 707.0 1.022 597 394 254.0 47.332
10 22 201 467 286 689 315 906 290 4 060 704 006 019 620 994.0 1.021 1 932 355 208.0 49.636
10 23 1 925 320 391 606 803 968 923 37 083 513 766 578 631 309.0 1.020 7 250 186 216.0 51.939
10 24 18 435 599 767 349 200 867 866 339 996 354 713 708 049 069.0 1.019 17 146 907 278.0 54,243
10 25 176 846 309 399 143 769 411 680 3 128 516 637 843 038 351 228.0 1.018 55 160 980 939.0 56.546
OEIS A006880 A057835 A057752

O valor para π (10 24 ) foi originalmente calculado assumindo a hipótese de Riemann ; desde então, foi verificado incondicionalmente.

Analógico para polinômios irredutíveis em um campo finito

Existe um análogo do teorema dos números primos que descreve a "distribuição" de polinômios irredutíveis sobre um corpo finito ; a forma que assume é surpreendentemente semelhante ao caso do teorema dos números primos clássico.

Para afirmar com precisão, seja F = GF ( q ) o corpo finito com q elementos, para algum q fixo , e seja N n o número de polinômios irredutíveis mônicos sobre F cujo grau é igual a n . Ou seja, estamos olhando para polinômios com coeficientes escolhidos de F , que não podem ser escritos como produtos de polinômios de menor grau. Nesse cenário, esses polinômios desempenham o papel de números primos, uma vez que todos os outros polinômios mônicos são constituídos de produtos deles. Pode-se então provar que

Se fizermos a substituição x = q n , então o lado direito é apenas

o que torna a analogia mais clara. Uma vez que existem precisamente q n polinômios mônicos de grau n (incluindo os redutíveis), isso pode ser reformulado da seguinte forma: se um polinômio mônico de grau n for selecionado aleatoriamente, a probabilidade de ele ser irredutível é de cerca de 1/n.

Pode-se até provar um análogo da hipótese de Riemann, ou seja, que

As provas dessas afirmações são muito mais simples do que no caso clássico. Envolve um argumento curto combinatório , resumido da seguinte maneira: cada elemento da extensão de grau n de F é uma raiz de algum polinômio irredutível cujo grau d divide n ; contando essas raízes de duas maneiras diferentes, estabelece-se que

onde a soma é sobre todos os divisores d de n . A inversão de Möbius então produz

onde μ ( k ) é a função de Möbius . (Essa fórmula era conhecida por Gauss.) O termo principal ocorre para d = n , e não é difícil limitar os termos restantes. A declaração da "hipótese de Riemann" depende do fato de que o maior divisor próprio de n não pode ser maior quen/2.

Veja também

Notas

Referências

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