Dodecágono - Dodecagon

Dodecágono regular
Um dodecágono regular
Modelo	Polígono regular
Arestas e vértices	12
Símbolo Schläfli	{12}, t {6}, tt {3}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	Diédrico (D 12 ), ordem 2 × 12
Ângulo interno ( graus )	150 °
Polígono duplo	Auto
Propriedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotóxico

Em geometria , um dodecágono ou 12-gon é qualquer polígono de doze lados .

Dodecágono regular

Um dodecágono regular é uma figura com lados do mesmo comprimento e ângulos internos do mesmo tamanho. Tem doze linhas de simetria reflexiva e simetria rotacional de ordem 12. Um dodecágono regular é representado pelo símbolo Schläfli {12} e pode ser construído como um hexágono truncado , t {6}, ou um triângulo truncado duas vezes , tt {3 } O ângulo interno em cada vértice de um dodecágono regular é de 150 °.

Área

A área de um dodecágono regular de comprimento lateral a é dada por:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & = 3 \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) a ^ {2} = 3 \ left (2 + {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} \\ & \ simeq 11.19615242 \, a ^ {2} \ end {alinhados}}}$

E em termos do apótema r (veja também a figura inscrita ), a área é:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & = 12 \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) r ^ {2} = 12 \ left (2 - {\ sqrt {3}} \ right) r ^ {2} \\ & \ simeq 3.2153903 \, r ^ {2} \ end {alinhado}}}$

Em termos do circumradius R , a área é:

${\ displaystyle A = 6 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) R ^ {2} = 3R ^ {2}}$

O vão S do dodecágono é a distância entre dois lados paralelos e é igual a duas vezes o apótema. Uma fórmula simples para a área (dado comprimento lateral e vão) é:

${\ displaystyle A = 3aS}$

Isso pode ser verificado com a relação trigonométrica:

${\ displaystyle S = a (1 + 2 \ cos {30 ^ {\ circ}} + 2 \ cos {60 ^ {\ circ}})}$

Perímetro

O perímetro de um dodecágono regular em termos de circumradius é:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} p & = 24R \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 12R {\ sqrt {2 - {\ sqrt {3}}}} \\ & \ simeq 6.21165708246 \, R \ end {alinhado}}}$

O perímetro em termos de apotema é:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} p & = 24r \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {12}} \ right) = 24r (2 - {\ sqrt {3}}) \\ & \ simeq 6.43078061835 \, r \ end {alinhado}}}$

Este coeficiente é o dobro do coeficiente encontrado na equação apótema para área.

Construção de dodecágono

Como 12 = 2 ² × 3, o dodecágono regular é construtível usando construção de compasso e régua :

Construção de um dodecágono regular em um determinado circumcircle

Construção de um dodecágono regular
em um determinado comprimento lateral, animação. (A construção é muito semelhante à do octógono em um determinado comprimento lateral .)

Dissecação

12 cubos	15 romba dissecação	60 rombo dissecação

Dodecágono isotoxal

Coxeter afirma que cada zonoedro (um gonómetro de 2 m cujos lados opostos são paralelos e de igual comprimento) pode ser dissecado em m ( m -1) / 2 paralelogramos. Em particular, isso é verdadeiro para polígonos regulares com muitos lados uniformemente, caso em que os paralelogramos são todos losangos. Para o dodecágono regular , m = 6, e pode ser dividido em 15: 3 quadrados, 6 losangos de 30 ° largos e 6 losangos estreitos de 15 °. Esta decomposição é baseada na projeção do polígono de Petrie de um cubo de 6 , com 15 de 240 faces. A sequência OEIS sequência A006245 define o número de soluções como 908, incluindo rotações de até 12 vezes e formas quirais em reflexão.

Dissecção em 15 losangos

6 cubos

Uma das maneiras pelas quais os blocos de padrão de manipulação matemática são usados ​​é na criação de vários dodecágonos diferentes. Eles estão relacionados às dissecções rômbicas, com 3 60 ° rombos fundidos em hexágonos, trapézios de meio hexágono ou divididos em 2 triângulos equiláteros.

Outras dissecações

Regular		blocos de padrão

Simetria

As simetrias de um dodecágono regular, conforme mostrado com cores nas bordas e vértices. John Conway rotula essas simetrias inferiores com uma letra e a ordem da simetria segue a letra. Ele dá d (diagonal, diasimetria) com linhas espelhadas nos vértices, p com linhas espelhadas nas arestas (perpendicular, persimetria) i com linhas espelhadas nos vértices e arestas (isossimetria) e g para rotacional (girosimetria). a1 rotula assimetria. Essas simetrias mais baixas permitem graus de liberdade na definição de dodecágonos irregulares.

O dodecágono regular tem simetria Dih ₁₂ , ordem 24. Existem 15 subgrupos distintos de simetria diédrica e cíclica. Cada simetria de subgrupo permite um ou mais graus de liberdade para formas irregulares. Apenas o subgrupo g12 não tem graus de liberdade, mas pode ser visto como bordas direcionadas .

Exemplo de dodecágonos por simetria
r24
d12	g12	p12		i8
d6	g6	p6		d4	g4	p4
g3				d2	g2	p2
a1

Ocorrência

Revestimento

Um dodecágono regular pode preencher um vértice plano com outros polígonos regulares de 4 maneiras:

3,12,12	4.6.12	3.3.4.12	3.4.3.12

Aqui estão 3 exemplos de tilings planos periódicos que usam dodecágonos regulares, definidos por sua configuração de vértice :

1-uniforme		2 uniformes
3.12.12	4.6.12	3.12,12; 3.4.3.12

Dodecágono enviesado

Um dodecágono inclinado regular visto como bordas em zigue-zague de um antiprisma hexagonal .

Um dodecágono inclinado é um polígono inclinado com 12 vértices e arestas, mas não existe no mesmo plano. O interior de tal dodecágono não é geralmente definido. Um dodecágono inclinado em zigue-zague possui vértices alternando entre dois planos paralelos.

Um dodecágono inclinado regular é transitivo de vértice com comprimentos de aresta iguais. Em 3 dimensões, será um dodecágono inclinado em zigue-zague e pode ser visto nos vértices e bordas laterais de um antiprisma hexagonal com o mesmo D _5d , [2 ⁺ , 10] simetria, ordem 20. O antiprisma dodecagrama , s { 2,24 / 5} e antiprisma cruzado dodecagrama , s {2,24 / 7} também têm dodecágonos inclinados regulares.

Polígonos Petrie

O dodecágono regular é o polígono de Petrie para muitos politopos de dimensões superiores, vistos como projeções ortogonais nos planos de Coxeter . Exemplos em 4 dimensões são a -célula 24 , desprezar de 24 células , 6-6 duoprism , 6-6 duopyramid . Em 6 dimensões, 6 cubos , 6 ortoplexos , 2 ₂₁ , 1 ₂₂ . É também o polígono de Petrie para as grandes células de 120 e grandes células estreladas de 120 .

Dodecágonos inclinados regulares em dimensões superiores
E 6		F 4		2G 2 (4D)
2 21	1 22	24 células	Snub de 24 células	6-6 duopiramida	6-6 duoprisma
A 11	D 7		B 6
11-simplex	(4 11 )	1 41	6-orthoplex	6 cubos

Figuras relacionadas

Um dodecagrama é um polígono estrelado de 12 lados, representado pelo símbolo {12 / n}. Existe um polígono estrela regular : {12/5}, usando os mesmos vértices, mas conectando-se a cada cinco pontos. Existem também três compostos: {12/2} é reduzido para 2 {6} como dois hexágonos e {12/3} é reduzido para 3 {4} como três quadrados , {12/4} é reduzido para 4 {3 } como quatro triângulos e {12/6} é reduzido para 6 {2} como seis digons degenerados .

Estrelas e compostos
n	1	2	3	4	5	6
Forma	Polígono	Compostos			Polígono estrela	Composto
Imagem	{12/1} = {12}	{12/2} ou 2 {6}	{12/3} ou 3 {4}	{12/4} ou 4 {3}	{12/5}	{12/6} ou 6 {2}

Truncamentos mais profundos do dodecágono regular e dos dodecagramas podem produzir formas poligonais de estrela intermediárias isogonais ( transitivas de vértice ) com vértices espaçados iguais e dois comprimentos de aresta. Um hexágono truncado é um dodecágono, t {6} = {12}. Um hexágono quasitruncado, invertido como {6/5}, é um dodecagrama: t {6/5} = {12/5}.

Truncamentos transitivos de vértice do hexágono
Quasi-regular	Isogonal		Quasi-regular
t {6} = {12}			t {6/5} = {12/5}

Exemplos em uso

Em maiúsculas , as letras E , H e X (e I em uma fonte com serifa em bloco ) têm contornos dodecagonais. Uma cruz é um dodecágono, assim como o logotipo da divisão automotiva Chevrolet .

A igreja Vera Cruz em Segóvia

O dodecágono regular aparece com destaque em muitos edifícios. A Torre del Oro é uma torre de vigia militar dodecagonal em Sevilha , sul da Espanha , construída pela dinastia Almóada . A igreja Vera Cruz do início do século XIII em Segóvia , Espanha, é dodecagonal. Outro exemplo é a Porta di Venere (Porta de Vênus), em Spello , Itália , construída no século 1 aC, possui duas torres dodecagonais, chamadas de "Torres de Propércio".

Três pence britânico de 1942, reverso

Moedas dodecagonais regulares incluem:

• Três centavos britânicos pouco de 1937 a 1971, quando deixou de ter curso legal.
• British One Pound Coin , lançado em 2017.
• Moeda australiana de 50 centavos
• Fijian 50 centavos
• 50-seniti tonganês , desde 1974
• Ilhas Salomão 50 centavos
• 25 kuna croata
• Romeno 5000 lei , 2001–2005
• Penny canadense , 1982-1996
• 20 đồng do Vietnã do Sul , 1968-1975
• 50 ngwee da Zâmbia , 1969-1992
• 50 tambala do Malawi , 1986-1995
• 20 centavos mexicano , 1992-2009

Veja também

• Número dodecagonal
• Dodecaedro - um poliedro regular com 12 faces pentagonais .
• Dodecagrama

Notas

links externos

• Weisstein, Eric W. "Dodecagon" . MathWorld .
• Azulejo e Teorema de Kürschak
• Definição e propriedades de um dodecágono Com animação interativa
• O dodecágono regular na sala de aula , usando blocos de padrão